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1、半角模型例题已知，正方形 ABCD 中， EAF两边分别交线段 BC 、DC于点 E、F，且 EAF 45结论 1：BE DF EF 结论 2：SABESADFSAEF结论 3：AH AD 结论 4：CEF的周长 2 倍的正方形边长 2AB 结论 5：当 BE DF时， CEF的面积最小结论 6：BM2DN2MN2结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA 、FA是CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10： ANE和AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11：MN 22EF（可由相似得到）结论 12：SAEF 2SAMN （可由相似的性质得到）结论 5 的证
2、明：设正方形 ABCD 的边长为 1 则 SAEF1S1S2S3112x12y12(1x)(1 y) 1212xy 所以当 xy 时， AEF的面积最小结论 6 的证明：将ADN顺时针旋转 90使 AD与 AB重合DN BN易证 AMN AMNMN MN在 RtBMN中，由勾股定理可得：BM2BN2MN2即 BM2DN2MN2结论 7 的所有相似三角形：AMN DFN AMN BME AMN BAN AMN DMA AMN AFE 结论 8 的证明：因为 AMN AFE 32 因为 AMN BAN 34 24 因为 AB CD 14 12 结论 9 的证明：因为 EAN EBN 45A、B、E
3、、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M 、F、D四点共圆C、E、M 、F 四点共圆* 必会结论 - 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且45EAF，AE、AF分别交BD于H、G，连EF. 一、全等关系（1）求证：EFBEDF；DG2BH2HG2；AE平分BEF，AF平分DFE. 二、相似关系（2）求证：DGCE2；BHCF2；HGEF2. （3）求证：DHBGAB2；HGBGAG2；21CFDFCEBE. 三、垂直关系（4）求证：EGAG；FHAH；BEABHCFtan. （5)、和差关系求证：BEDGBG2；D
4、HDFAD2；|2|DGBHDFBE. 例 1、在正方形 ABCD 中，已知 MAN 45，若 M 、N 分别在边CB 、DC的延长线上移动，. 试探究线段 MN 、BM 、DN之间的数量关系 . . 求证： AB=AH. 例 2、在四边形 ABCD 中，B+D 180，AB=AD ，若 E、F分别在边 BC 、CD上，且满足 EF=BE +DF. 求证： EAF 12BAD例 3、在 ABC中，AB=AC ，BAC=2 DAE=120 ，若 BD=5 ，CE=8 ，求 DE的长。例 4、请阅读下列材料：已知： 如图 1 在RtABC中，90BAC，ABAC， 点D、E分别为线段BC上两动点，
5、若45DAE 探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明图1ABCDE图2ABCDE例 5、探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F分别是 BC 、CD上的点，且 EAF 45，试判断 BE 、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）
6、如图 2，若把(1) 问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB AD ，BD180，E、F 分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF=21BAD ”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将 AEF绕点 A逆时针旋转，当点分别E、F运动到 BC 、CD延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变， 则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 .练习巩固 1：如图，在四边形ABCD 中， BD 90，AB AD ，若 E、F 分别在边 BC 、CD 上的点，且 EAF 12BAD . 求证： EF=BE +DF. 练习
7、巩固 2：如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ，CAD 12BAE ，求BAE的度数练习巩固 3：已知：正方形 ABCD 中，45MANo，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点 M 、N（1）如图 1，当MAN 绕点A旋转到 BMDN 时，有 BMDNMN 当MAN绕点A旋转到BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN 绕点A旋转到如图 3 的位置时，线段 BMDN，和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固 4 (1) 如图，在四边形ABCD
8、中，AB AD ，BD90，E、F分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF 12BAD 求证：EFBEFD; (2) 如图在四边形 ABCD 中，AB AD ，BD180，E、F分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF 12BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？不用证明(3) 如图，在四边形 ABCD 中，AB AD ，BADC 180，E、F分别是边 BC 、CD延长线上的点，且 EAF 12BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明NMDCBANMCDBANMDCBAEFDCBAEFDCBAEFDCBA（4）如图，将边长为4cm的正
9、方形纸片 ABCD 沿 EF折叠（点 E、F分别在边 AB 、 CD上） ，使点 B落在 AD边上的点 M处，点 C落在点 N处，MN与 CD交于点 P，连接 EP （1）如图，若 M为 AD边的中点，AEM 的周长cm ；求证： EP AE DP ；（2）随着落点 M在 AD边上取遍所有的位置（点M不与 A、D重合） ，PDM 的周长是否发生变化？请说明理由（5）. 如图 17，正方形 ABCD ，E、F 分别为 BC 、CD边上一点（1）若 EAF 45o求证： EFBE DF （2）若 AEF绕 A 点旋转，保持 EAF 45o，问 CEF的周长是否随AEF位置的变化而变化？（3）已知正
10、方形ABCD 的边长为 1，如果 CEF的周长为 2求 EAF的度数练习巩固 5、如图，已知在正方形ABCD 中，MAN 45，连接 BD与 AM ，AN分别交于 E、F 两点。求证： （1）MN MB DN ；（2）点 A到 MN 的距离等于正方形的边长；（3）VCMN的周长等于正方形ABCD 边长的 2 倍；（4）WVABCDCMNS2ABSMN；（5）若MAB20，求AMN；（6）若oppMAB045，求AMN ；（7）222EFEBDF；（8）VAEN与VAFM是等腰三角形；（9）VVAEFAMNS1S2。FEDCBA图 17 练习巩固 6、在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有
11、两点MND， ，为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线ABAC，上移动时，BMBNMN，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1） 如图， 当点MN，在边ABAC，上， 且DMDN时，BMNCMN，之间的数量关系式 _；此时QL_ （2）如图，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，猜想 (1) 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点MN，分别在边AB CA，的延长线上时， 若ANx，则Q_(用xL，表示) 练习巩固 7、如图所示， ABC是边长为 1 的等边三角形， BDC 是顶角为 120的等腰三角形，
12、以D为顶点作一个 60的 MDN ，点 M ，N分别在 AB ，AC上，求 AMN 的周长练习巩固 8、如图，在正方形 ABCD 中，BE=3 ，EF 5，DF 4，求 BAE DCF 为多少度。图MNDCBA图MNDCBAN图MDCBA巩固练习 9、如图 1，RtABC RtEDF ，ACB F90，AE30。EDF 绕着边 AB的中点 D旋转， DE ，DF分别交线段AC于点 M ，K(1) 如图 2、图 3，当 CDF 0 或 60时， AM CK_MK( 填“”，“”或“”)(2) 猜想：如图 1，当 0 CDF 60时， AM CK_MK ，证明你所得到的结论(3) 如果222AMCKMK，请直接写出CDF 的度数和AMMK的值