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1、北京邮电大学20132014学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的 班号和选课单上的学号，班内序号！，填空题：(每空3分，共30分)1 .给定集合A,则定义在上的包含A的最小-代数是. , ,A,A)2 .若A,A是 上的两个非空集合类，i是A (i 1,2止的测度，若满足：(1) (2) A A有1(A)2(A),则称2是1在A2上的扩张。A A3 .某集代数包含了所有的左开右闭区间 (实数集上的).该集代数上有一 个测度P ,对于任意可测集(a,b，其中a b ,均有P (a,
2、b b a.将该测度扩张到某-代数上记为.对单点集1 ,1.0114 .设概率测度空间，F,P , A F,B F,AB , PA -，PB -，23两个简单函数f a 2 A g b2 B,则Ef , Efg 3 7 2,35 .设X为定义某概率空间上的随机变量，若 X的分布函数为F(x),则数 学期望EX的L-S积分形式为.xdF(x)6 .设三维随机变量(X,Y,Z)服从正态分布N(a, B),其中a 1,2,3 ,211B121,则 EEX |YZ =11217 .设随机过程X(t),t为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为1，相关函数R(s,t) 2e t s ,均方积分
3、：X2(t)dt记为随机变量.则E( ) .8 .设N(t)为泊松过程，则条件概率P(N(2) 2|N(3) 3) .499. 设W(t)为参数为2的维纳过程，W(0) 0,则cov W(1),W(2) =.2二.(8分)设A是系，证明A是单调类；若A也是系，证明A是-代数。证明：由A是系，若An A, n=1, 2,，且An ，则 An A. n 1若 Bn , Bn A, n=1, 2,，由 A 是系，Bn A 且Bn ，则Bn A.n 1所以Bn a.即 BnA,所以A是单调类。4分n 1n 1A是 系，A对余集运算封闭且A,若A也是 系，A对交集运算封闭，所以A是集代数。因为A是单调类
4、，所以A是-代数。4分(x -)三.(16分)设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y) -e x ,x 0,y 0x(1) 求边缘密度fX (x)；(2) 求x 0时条件密度fY|X(y|x);(3) 求 E(Y|X),E(Y EY)2|X,EX Y|X.1 (x)解(1) fX(x)-e x dy e x, x 0.4分0 x1 y(2)当 x 0 时，丫供(丫以)=e x,y 0.4 分x(3)由(2)知E(Y |X x) x,所以 E(Y|X) X .E(Y) 1222_2_EY2|X 2X2,所以 E(Y EY)2 |X 2X2 2X 1.EX Y |X= X EY |X 0.8分
5、 五.(14分)设随机过程Z(t) X sin t Y cost,其中X ,Y是两个独立同分布 的随机变量.四.(14分)设随机变量X的分布列为kPX k e ,k 0,1,2,k!(D求随机变量X的特征函数X(t);(2)求PX为偶数.解(1)itXX(t) E ekitke ek 1 k!ik k(e ) aaeek 1 k!(eit 1)(2)易知ek一,e k 0 k !k，所以 0 k!P X为偶数2ke k 0 2k!(1)若X,Y都以2/3和1/3的概率取值-1和2,证明Z(t)为平稳过程；(2)若X,Y都服从标准正态分布，证明Z(t)为高斯过程.(1)证明 EX 0 EY, E
6、X2 EY2 2,EXY EXEY 0,EZ(t) EXsint EYcost 0,RZ(t,s) EX 2sintsins EXY(sint coss cost sins) EY2costcoss 2cos(t s)所以，均值函数为常数，自相关函数只依赖于时间差，Z(t)为平稳随机过程。7分(2)对于任意正整数n ,取任意时间点t1,t2, ,tn,任意实数c1,c2, ,cn,nnGZ(t1) qZ(t2)cnZ(tn) Xcksintk Y ck costk ,因为 X,Y 相互独立且k 1k 1服从正态分布，X,Y的线性组合仍然服从正态分布，所以GZ(t1) c2Z(t2)cnZ(tn
7、)服从一维正态分布。故 Z(t)为高斯过程。7分七.(18分)设马氏链Xn,n 0的状态空间为1,2,3,4,5,6,转移概率矩阵(1)确定该链的状态分类；(2)各状态的周期；(3)求平稳分布;求nimp黑，n0p(n)2,61,4,5 ,3,2,6解.(1)链可分，32,6是不可分闭集,状态空间E 3(2)正返态,1,4,5为非常返.周期 d 2,d(5) 2,d(i) 1,i 1,2,.,6 .(3)设平稳分布为(2,6),则P,610,i 1,2, ,6.解之得(0, p,q,0,0,p),其中o,q0,2 p q 1 .(4)p33)P Xn3|XoP Xn 3|X1 i(1) p3ip331)p33)1.141lim p33n(n)Piin 0