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1、必修1第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 aA二、集合间的基本关系任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定
2、: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(即找公共部分)记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）四、函数的有关概念定义域补充能使函数式有意义的实数
3、x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示7函数单调性（
4、1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当ab时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当ab 时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当ab时，总有f(a)f(b) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那
5、么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取a，bD，且a10a10a L AB公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间
6、的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线： 同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0，
7、 )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内
8、的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P =ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a = ab= b作用：利用该定理可解决直线间的
9、平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a = ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“
10、直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴
11、平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)
12、求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （6）两直线平行与垂直 当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，
13、要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；点与圆的位置关系：当，点在圆外当=，点在圆上当0 抛物线与x轴有2个交点；性描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的
14、圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”质经过同一直线上的三点不能作圆. 四、教学重难点：dr 直线L和O相离.图象d=r 直线L和O相切.定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或
15、相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则23、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；（）；（）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式
16、：（，）26、，其中必修5第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式：，；，；（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则附：三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三
17、边上的高相交于一点第二章 数列11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差符号表示:。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： 2() (为常数12、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项13、若等差数列的首项是，公差是，则14、通项公式的变形：；15、若是等差数列，且（、），则；若是等差数列，且（、），则16、等差数列的前项和的公式：；18、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：（注：等
18、比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： (，)(为非零常数).正数列成等比的充要条件是数列（）成等比数列.19、在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则称为与的等比中项（注：由不能得出，成等比，由，）20、若等比数列的首项是，公比是，则21、通项公式的变形：；22、若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，且（、），则23、等比数列的前项和的公式：24、对任意的数列的前项和与通项的关系：非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等
19、差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.第三章 不等式一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论. 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 对于a0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数12、均值不等式定理： 若，则，即13、常用的基本不等式：； ； 14、极值定理：设、都为正数，则有：若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值