《33计数综合二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《33计数综合二.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、【内容概述利用对应法求解的计数问题.所谓对应法，即建立起所考察对象和另一类对象之间的对应关系，通过对后者的计数而求得问题的答案 .与平面和立体图形相关的复杂计数问题，其他具有相当难度的计数综合题.供型问题】卷国级数二*1 . 10只无差别的橘子放到 3个不同的盘子里，允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法？【分析与解】注意到橘子是没有区别的，所以不能简单使用乘法原理为310.我们将10个橘子从左到右排成一列，其中有9个间隙，在间隙内插入2个“木棍”，即可将10个橘子 分成3个部分.但是，题中允许有盘子空着，这又为计数造成了障碍，于是做如下变换：“借来”三个同样的橘子，每个盘中各放一个，这
2、样每个盘子就不会空着 ，而且这种变换得出的分配方法与原来的分配方法对应.即现在将10+3=13个橘子分成3部分，每部分不少于1个.将13个橘子从左至右排成一列，在12个间隙中插入2个“木棍”，每个间隙最多插入一个“木棍”2共有012=66种分配万法.评注：这类问题可以与不定方程解的组数联系起来：有X+X+X+Xn = k（k为自然数）,其自然数（可以取0）解就有cn ： 1组，其非零自然数的解有 C：；组（要求kn）.大家可以利用上面的方法来解释.励级数：*2 .小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法？分析与解我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果
3、在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”，则将10块糖分成了两部分.我们记从左至右，第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，如：。|。表示第一天吃了3粒，第二天吃了剩下的7粒：OOOO | OOO |。表示第一天吃了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不难知晓，每一种插入方法对应一种吃法 ，而9个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法.廷励级数：*3 .若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”.问一共有多少个“上升的”自然数 ？【分析与解】 我们知道，如果选好了数字，那么
4、“上升数”的排列顺序也就确定了，如选好3,6,2,那么对应的“上升的”自然数只能是236.又因为0不能作为首位，所以不能取0,即只能从9个数字中选取.我们知道9个数字任意选择（一个不选也算一种，则每个数字可选可不选，故共有29=512种选法.但是，“上升的”自然数至少 2位，则不能9个数字一个不选，也不能只选1个，即有1 + 011=10种不同的选法是不满足的.所以，共有512-10=502种不同的选择数字方法，对应有502个“上升的”自然数.殿级数*4 .在8X8的方格表中，取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“ L”形，一共有多少种 不同的方法？【分析与解】 观察发现，对于每个“L
5、”形，都有一个点M与其对应，而每个2X2的方格中W点都对应 4个不同的“L” .在8X8的方格中，类似M点的交叉点有7X7=49个（不包括边上的交叉点）.所以共有“ L”形4X49=196种不同的取法.评注：通过上面两个范例我们知道，当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候，可考虑采用相等的原则，把问题转化成求另一个集合的元素个数；嫡级数：*5 .从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？2n ! n!【分析与解】我们知道对于一个任意的三位数 n+1 !,1且只有1个数的数字和是 4的倍数,即10004999这4000个数中有4000+ 4=1000个数的数字和是
6、 4的倍而对于一个任意的两位数,9、8、7、6 中必有1个数的数字和是 4的倍数，也就是说999600这400个数中有400+ 4=100个数的数字和是 4的倍数.同理在599200之间有100个数的数字和是 4的倍数.剩下的10199之间，160199,120159,这两组数各有10个数的数字和是 4的倍数.而6099,20 59,这两组数也各有 10个数的数字和是 4的倍数.而100119,1020中只有13,17,103,107,112,116 这6 个数的数字和是4的倍数.所以104999之间共有1000+100+100+1CK 4+6 =1246个数的数字和能被 4整除.6 .有一批
7、规格相同的均匀圆棒 ，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以 得到多少种着色方式不同的圆棒 ？【分析与解】 如图 团回E| 每根原棒的5节记为A、B C、D、E,特别得注意到原棒可以左右倒置，即 30口8已 有可能与X bc|dE 是同种情况.不难彳#知，当原棒上的5节对称时，即A BRl 8Ai I a b |C jB a 与是同种情况.一. .一区叵回亘囚，其中A有3种颜色可选,B也有3种颜色可选，C还是有3种颜色可选，故有3X3X3=27种不同的染法.考虑不对称时 曷 bcde 则A有3种原色可选，B、C D E也各有3种颜色可选，于是有3X3X3X3X3=2
8、43种不同的染法.所以，其中不对称有 243-27=216种，不对称的 旧1。口8间 与 X B |C 回重复计算了，而对称的a|bcba vg0述没有重复计算.所以，共有216+2+27=135种实质不同的着色方式.励级数：*I19%年全国小学班学奥林匹克我爱数学”夏令管第7题7 .用剪刀沿图33-2中小方格的边界把 4X4正方形格纸.剪开成形状、大小都相同的两部分，共有多少种不同的剪法？（凡经过旋转和翻转能重合的剪法视为相同的剪法.）【分析与解】因为必须剪成形状、大小都相同的两部分，所以剪刀必定通过正方形的中心 ，即得到的两部分在原图中为中心对称.况）.中粗实线是剪刀必须通过的两条边，然后
9、就不难得到下面的6种情况（不考虑旋转的情8 .如图33-3,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点 A出发，沿棱爬行,要求恰好经过每个顶点一次问共有多少种不同的走法？【分析与解】A B,A D,A E,A F,这4类走法，每类走法的种数一样多，所以只用考察 A B的后续步骤有多少种：B E C D F, B E C F D,BE D F C,B E D C F,C, B F D C E, BF, B C F DE（从 BFCED, B F C D E,C后三步只能是顺时针或逆时针 ，只用2种）.共10种.所以从A点出发共有10X4=40种不同的满足题中条件的走法购河9 .纸上画有一个4X4
10、的方格表，在它的四条边的旁边分别写有东、南、西、北这4个字.现在要用8个1X2的长方形将它盖住，共有多少种不同的覆盖方法 ？【分析与解】 在4X4的方格内，横着放的长方形必然是偶数个，于是一一列出：第一种情况:有8个横着放,0个竖着放,只有1种方法：第二种情况:有6个横着放,2个竖着放,竖着放的这两个长方形必须在同两行内,如下图可知,这时只有3种方法；上图是当这两行在第一、二行时情况 ，这两行还可以在第二、三行 ，还可以在第三、四行. 于是.共有3X3 =9种不同的方法.，第一种，为4个竖着第三种情况 有4个横着放,4个竖着放，这时又可以分成三种不同的情况来考虑的长方形占据两行;第二种，为4个
11、竖着的长方形占据三行;前两行有如上的3种方法，后两行也有如上的 3种方法，所以共有3X3=9种不同的方法，如下所示.精品j型L所以,4个横着放,4个竖着放共有3+4+9=16种方法;第四种情况：有2个横着放,6个竖着放，因为可以由第二种情况旋转得到 ，所以也是有9种方法第五种情况：有0个横着放,8个竖着放,因为可以由第一种情况旋转得到,所以也是有1种方法.所以共有1+9+16+9+1=36种不同的方法.卷竣级数工*率*年三届、华罗庚金杯”少年敷学说请寡决褰二试第5题10 .某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动
12、以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块.试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？【分析与解】总可以使下底面为红色.如果上底面也是红色，通过翻过，可以使前面为黄色 色，有2种.如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色 (1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色 (2)前面与上面不同色，通过番S动，可以使上面为黄色 有2种.因此，共可涂成2+2+2=6种不同的积木块.，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝.这时又分两种情况：，有2种.，前面为蓝色这时右面可以是黄色 ，也可以是蓝色，11 . 10人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不
13、同的选法 ？【分析与解】 我们先从10人中选出一个人，有10种选法；再在与此人不相邻的7人中选择连续的两个人，有6种选法，所以满足题意的选法共有 10X 6=60种.修嬖笆W澧j12 .有8个队参加比赛，采用如图33-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【分析与解】我们标上字母，如下图.如果全排列为 德=8!因为A,B; B,A实质赛程一样；同理 C/D,E/F,G/H,I/J,K/L,M/N 均是，所以除以7 个2.于是，共有8! +2 7=315种实质不同的赛程安排.豌建级数率*13 . 4个数如果具有下面两个特点：它们都是非零的一位数，两两之差恰好是
14、1,2,3,4,5,6,那么就称这4个数组成了一个好数组.好数组中的数不计顺序.问共有多少个不同的好数组？【分析与解】 设abcd为满足题意的“好数组”中的四个数，有两两数的差为(a-b)+(a-C)+(a-d)+(b-d)+(b-c)+(c-d)=3(a-d)+ (b-C)=1+2+3+4+5+6=21,因为 a-d 是最大数减去最小数，所以应为 6.b-c=3好数组中最小和最大的数只有3种可能：1和7,2和8,3和9.即好数组在不计顺序下，共有 6 组，依次为(7,6,3,1); (7,5,2,1); (8,7,4,2); (8,6,3,2); (9,8,5,3) (9,7,4,3)顿级如
15、 * * * *1询隼第5第冰型求学有奖征卷第I题14 .游乐园的门票1元1张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱 ？【分析与解】方法一：按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确定排队的方案，共有五个万案:带1元的5个小朋友都排在前边，即1111l22222,只有1种情况；带1元的小朋友有 4个排在前面，即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212 ，共有4种情带1元的小朋友有3个排在前边，如1112112222，共
16、有9种情况；带1元的小朋友有2个排在前边，如1121112222，共有14种情况；带1元的小朋友只有1个排在前边，如1211112222,，共有14种情况.五个方案共有1+4+9+14+14=42(种)情况.因为10个小朋友互不相同，所以每种情况有5! X5! 种排队方法，使售票员总能找得开零钱.方法二：如下左图，先将拿1元的小朋友看成相同的,2 表拿l元的小朋友，每条小竖线代表拿 2元的小朋友.从A到B的不论在网格中的何点均有横线数不小于竖线 数.=14400(种)排队方法，总共有42X14400=604800元的小朋友看成相同的.在下图中，每条小横线代相当于求A至ij B的走法：我们再由上
17、右图知：从A B的走法有42种.因为各个小朋友都是不同的,所以共有42X5! X 5! =42X 120X 120=604800种情况.评注：游乐园的门票1元1张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中n个小朋友只有1元2n ! n!的钞票，另外n个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱.则有种排队方法，使售票员总能n+1 !找得开零钱.级数；*第七届日本算水奥林匹克决赛第5题15 .有一只表没有秒针，时针和分针无法辨别.在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确时间.请问从中午12时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法 判断的情况（不
18、包括中午12点和夜里12点）？【分析与解】 方法一：凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间从12点到1点这段时间里，分针在0分到5分时恰有1次判断不出，分针在5分到10分时恰有1次判 断不出，.所以在12点到1点这段时间里恰有11次判断不出.同理，在其余每一个小时里都恰有11次判断不出.所以一共有12X11=132次无法判断的情况.方法二：时针走一圈时（12小时），分针走12圈，时针与分针相交时，这个相对应的分针要走（12 X 12）圈. 当这个分针与原来的时针所走的位置可以互换时，不能判断出正确的时间.这样的情况在12小时中可能发生（12 X 12-2）次.只有在分针、时针
19、重合在一起时，即使分不出长短，也能判断出正确的时间，这种情况会发生（122）次，因此.把判断不出的次数减去这个次数，即可找到答案：（12 X 12-2）-（12-2）=132（ 次）.方法三：凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间两针位置互换，当时针、分针共走 60格，由于时针走1格,分针走12格，所以两针位置互换的时间间隔1125是60 553（分），可以出现在中午 12点多至1点多,1点多至2点多,2点多至3点多，伐里12 11310点多至11点多，共11次（注意12点是可以判断的）.同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正确时间的次数共有（11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1* 2 =132 次.