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1、微分算子法中D 的运算D：微分的意思，如Dx2=2x ， D3x2=01 : 积分的意思，如1 x= x 2DD2*定理 1： F( D )ekxekx F (k )注意使用公式时的前后顺序例： (D21)e2 xe2 x ( k21) e2 x (221) 5e2 x推论：1ekxekx1F(D )F (k )（ F(k) 0）例： yy e2 x(D 21) ye2xy*1e2 xe2 x11 e2 x( D 21)2215*定理 2： F( D 2 )sin axsin axF ( a2 )F( D 2 ) cosaxcosax F ( a2 )推论：1sin axsin ax1F(D2
2、)F ( a 2 )（ ）y2cos3x例： y4注意使用公式时的前后顺序（ F(-a 2)0）(D 41) y 2cos3x*111 cos3x111y 2(D 41)cos3x2(D2)22 cos3x(32) 21282cos3x41cos3x遇到 sinax,cosax时，要凑出22，即可代换为2F(D) 。D 来。 F(D) 里有 D-a ，代换后继续算*定理 3： F( D )ekxv( x)ekxF ( Dk)v(x) 注意使用公式时的前后顺序推论：1ekxv(x) ekx1k)v( x)F(D)F ( D例： y4 y4yx2e2 x(D 24D4) yx2e2xy*12)2
3、e2 x x2e2x12 x2e2x12x2e2 x 1x4( D( D2) 2)D12例： y3y3 yyex(D1)3 yexy*11)3ex此时不能用定理1，故( Dy*ex11)3ex 13ex 13 1 ex 1 x3( D1)DD6*例：（4）yxyey*11)ex111ex111ex 111 ex11 1ex( D 4D1D1D21D 1D22D121214D11 ex11 ex 11 ex x4D114D4此处不能用定理1，只能用定理 3例： yyx2x2(D 21) yx2x2y*11)(x2x2)( D 2用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同
4、。1D 21D2) 1*2)( x2x2)1D 2y (1Dx2x 22D 2x2xD 2D 4D 41 除法举例： F(D)=D2-2D-3F(D)x最高阶为2，所以除到D 的 2 次幂即可12 D7 D 2392732DD2)12 D1 D 21332 D1 D 2332 D4 D 22 D 33997 D 22 D 3997 D 214 D37 D 49272720 D37 D 42727注意：对 sinax 和 cosax 不适用，因为除不到尽头。 *推论：1 （ f1 (x)f2 ( x)）1f1 ( x)1f2 (x)F (D)F(D)F (D)11 sin ax1sin ax111sin ax11D2nD2 nD2)nsin ax( a2)nna2 ncosax( aD( 1)a1b sin axkDbsin ax1( kDb)sin ax1(ka cosax bsin ax)kDk 2 D 2b2k 2 (a2 )b2k 2a2b211sin x1x cosx11cosx1xsinxD 22D 22