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1、初二数学全章复习华东师大版同步教育信息】. 本周教学内容：全章复习1. 了解数的平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用其概念进行计算。2. 了解最简二次根式、同类二次根式的概念。3. 掌握二次根式的性质并能用其对二次根式进行变形。4. 掌握二次根式乘除和加减的运算方法。1. 学习重点：（ 1）二次根式的化简。（ 2）如何将分母中的根号去掉。2. 学习难点：（ 1）二次根式的变形。（ 2）如何找到有理化因式。1. 知识要点：（ 1 ）平方根与算术平方根的联系与区别：正数 a 的平方根有两个，它们互为相反数，记为 a 。 而它的算术平方根只有一个， 记为 a 。 0 的平方根与算术平方根均为0
2、。负数没有平方根与算术平方根。（ 2）算术平方根a 具有双重非负性：被开方数a是非负数，a 0； 算术平方根a是非负数，a 0（ 3）平方根与立方根的区别：正数有两个平方根，并且只有一个立方根。负数没有平方根，但有立方根。 a 中 a 的取值是非负数， 典型例题： 例 1. 如果某个数的平方根是a+3 及 2a 15，那么这个数等于（）A. 49B.441C. 7 或 21D. 49 或 441 a 中 a 的取值是一切实数。解：某数的平方根是a+3 及 2a 15， a+3 与 2a 15互为相反数，即（a+3） +（ 2a 15）0 a 4， a+3 7， 2a 157（7） 2 49这个
3、数是49，故选A.例 2. 求下式中的x4（ 3x+1 ） 2 1解：（1 ） 21241 3x+1 2当 3x+1 1 时，x126当 3x+1 1 时，x122（二）二次根式1. 知识要点：（ 1） a 2与 a2的区别： a 2中必须 a 0，而 a2中 a是任意数。2所得结果不同，aa，而a2a。（ 2） a b ab（a 0， b 0）可以正、 逆向使用，正向表示先求算术平方根再求积，逆向表示先求积再求算术平方根。（ 3） a a （a0， b 0）bb可以正向逆向使用，正向表示先求算术平方根再求商，逆向表示先求商，再求算术平方根。（ 4）最简二次根式：被开方数的因数是整数或整式；被
4、开方数中不会有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式。（ 5）分母有理化：将分母中的根号去掉方法： （ a）2a和 （ x y）（ x y） x y（ 6）在混合运算中，按四则运算的顺序进行。 （ 7）关于最简二次根式： 被开方数的因数是整数或整式。被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫最简二次根式。（ 8）关于同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这个二次根式叫同类二次根（ 9）二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式。2. 典型例题：例 1. 已知4a2 13b2 27 0，求ab的值。分析： 因为a、 b为实数，所以4a2 1 0，
5、3b2 27 0又 4a2 1 3b2 27 0故|4a21|0，3b2270解： 因为4a2 13b2 27 0故4a210，3b2270得： a21 ， 3b227 a 1 ， b 342因此， ab 32例 2. 化简及计算：2 y3 8n31. (1)x(x, y 0)(m,n 0)x2 3m解：(1)x2 y x2 yx2 xy x xyxxx解： （ 1）原式24mn33m3 8n33 8n33( ) 2 3m2 3m212n (2n) 6mn 6mn2mm2. ( 1)32352(2)( 0.5 2 13 )( 1875)53235253235210 2 3122) (3 5 3
6、)14 2 4 13 3例 3. 已知 x 31，求 12x2的值。x2 2x分析： 此题直接将x 的值代入计算较为麻烦，应先将二次根式化简，再代入进行计算。解：x221x2xx2 xx0 x1又x 311，故3133113 1333例 4. 化简：a 2b22a 4ab 4b(a 2b)解：22a 4ab 4ba 2baa 2ba 2b 2a2baa 2b2baa 2ba 2ba 2b又 a 2b，故a 2ba 2b故原式a例 5. 化简： Sx2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9解： Sx2 2x 1 x2 4x 4 x 2 6x 9x 12 x 22 x 3x1 x2x3x 1
7、0时， x 1， x 2 0时， x 2， x 3 0时，x故应分四种情况讨论：x3时，Sx1 x2 x3x43 x 1时，Sx1 x2x3 x21 x 2时， S x 1x 2 x 3 3xx2时，S x 1x2 x3 x4例 6. 已知： a 2， b 2，求：a2 ab b2的值.7575分析： 多项式a2 ab+b2 可转化为用a+b 与 ab 表示的式子，因此可根据条件中a、 b 的值，求得a+b 与 ab 的值，计算中先把a、 b 的式子有理化分母，可使计算简便。解：275757575275275757575a b 2 7， ab 2a2 ab b2 a b 2 3ab 2 7 2
8、 6 22小结： 此例是代数式求值，一般注意两点：（ 1）如果已知条件为含二次根式的式子，先把它化简；（ 2）如果代数式是含二次根式的式子，应先把代数式化简，再求值。例 7. 已知： a b 1，且 a m a ， b n a ，其中 m、 n均为 22有理数，求m2 n2的值。解： 因为 a b 1a 2a2aa2a1 b21ab2b 2b2b b b 1 a 1 ( a b)222且 ( a b)( a b) a b所以， a 21a2 b1 ab22a b1 ab22b1 a b1222a b a b 1 ab2a b 22故而， mnab2ab2121222121212221. 知识要
9、点：（ 1）理解实数的意义。（ 2）理解实数与数轴上的点一一对应，体会数形结合的思想。（ 3）能估计无理数的大小，提高自己的数感和估算能力。2. 典型例题：例 1. 已知 a、b 为数轴上的点（如图所示），化简：a 12b 12 ab2解： 因 a1，所以 a 1b 1，所以b 1 0而 a b，所以a b 0所以 a 1 2 b 1 2a b2a1 b1 ab a1b1ba 2例 2. 已知 5+ 11 的小数部分为a， 511 的小数部分为b，求：（ 1 ） a+b 的值； （ 2）a b 的值。解： （ 1 ） 1（ 2）2 11 7例 3. 将下列各式在实数范围内进行因式分解344（
10、1） x 5x （ 2） a4 4b4解： （ 1 ）原式 x（x2 5） x（x 5）（x5）2222（ 2）原式（a22b2）（a22b2 ）（a22b2）（a2b）（a2b）本课小结：（ 1）初步掌握用类比的方法探索新规律，会从特殊的现象中得到一般规律。（ 2）掌握二次根式的加减乘除运算。（ 3）理解找有理化因式的方法。（ 4）逐渐理解将二次根式变形的规律，找到完成变形的方法。【模拟试题】一、选择题1. 在实数 0.3,0, 7 ,0.123456中，其中无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 化简 （ 2） 4 的结果是（）A. 4B. 4C. 4D.无意义3. 下列各
11、式中，无意义的是（）A.32B. 3 ( 3)3C. ( 3)2D.1034. 如果x 1+ 9 x 有意义，那么代数式|x 1|+ (x29）2 的值为（A. 8B. 8C. 与 x 的值无关D. 无法确定5. 在 Rt ABC 中，C 90 ,c 为斜边，a、 b 为直角边，则化简（a b c）2 2|c ab|的结果为（）A. 3a+b cB. a 3b+3cC. a+3b 3cD. 2a6. 4 14 、226 、 15 三个数的大小关系是（）A. 4 14 15 226B.226 154 14C. 4 14 226 15D.226 4 14 157. 下列各式中，正确的是（A. 25
12、 5B.（ 5）2 5C. 164 42922D. 6238. 下列计算中，正确的是（）A. 2 3 +3 2 5 5B. （3 + 7 ） 10 10 10 10C. （ 3+2 3 ） （ 3 2 3 ）3D. （ 2a b ） （ 2a b ） 2a+b9. 25 的算术平方根是.10. 如果 x 3 2,那么（ x+3） 2 .11. 3 的相反数是，的倒数是.64212. 若xy2 ,x y 5 2 1,则（x+1 ） （ y 1 ）13. 若 2a 2 与 |b+2|互为相反数，则（a b） 2 .14. 若 3 4，那么2a b 的值是 .abb15. （2 3） 2002 （2
13、 + 3） 2003 .16. 当a 2 时， |1（1 a）2 | .17. 计算下列各题：1） 112322)200210 31020033（ 3） 2 3 3 2 2 3 3 26（ 4） 12233 218. 若 y x 11 x 2 ，求 x 2 3xy y3 的值。19. 已知 a， b，求25253ab3 ab 的值。20. 化简：222 ab（ 1） ab b（a b 0）ab21. 求证： a 是大于1 的实数，n 是正整数，求证：1an1 an111a1 a2 a2 a3 a3 a4an a11. B 2. B 3. A 4. B5. B 6. A 7. D 8. C二、
14、9.510. 1611. 142312. 6 2315.216. a 21013. 914.217. （ 1） 112321）233213232200220032） 10 310 32002103 10 310310 33） 2 332 2 33 262 323226664）因为2 1，32， 23故12233221322318. y x 11 x 2 ，故而 x 1 0， 1 x 0得： x 1 0x1y2x3 3yx y31 6 8 1519.1 252a25， a 9 4 52 525251 252b5 2， b 9 4 52 52525而 a3bab3ab a2b2255 29 45 9 4520.1)1818ab b2a2 b2ab2 ab bab b2ababba bab2)2a2 3a 2a2 6a 9a31a2aa2a1 2a 32a 2 a 1a3a2a1a3a1a2a 3 时，原式2 a 1当 2 a 3 时，原式0121. 证明：因为a n 1 a n aan1a2 a1 a3 a2 an anan a1