《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表1.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表1.wps（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3.22.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.32.3.3 平面向量的坐标运算 预习课本 P9498，思考并完成以下问题 (1)怎样分解一个向量才为正交分解？ (2)如何由 a，b的坐标求 ab，ab，a 的坐标？ 新知初探 1平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量 2平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i，j作为 基底 (2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实数 x，y，使得 axiyj，则有序 实数对(x，y)叫做向量 a的坐标 (3)坐标表示：a(x，y) (4)特殊向量的坐标：
2、i(1,0)，j(0,1)，0 (0,0) 点睛 (1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个 基向量 e1和 e2互相垂直 (2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即 ab x1x2且 y1y2，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2) 3平面向量的坐标运算 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表： 文字描述 符号表示 加 法 两个向量和的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和 ab(x1x2，y1y2) 减 法 两个向量差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的差 ab(x1x2，y1y2) 数 乘 实数与向量的积的
3、坐标等于用这个实 数乘原来向量的相应坐标 a(x1，y1) 1 重要结论 已 知 A ( x ， y ) ， 1 1 一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去起点的坐标 B(x2，y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1) 点睛 (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关 (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)两向量
4、差的坐标与两向量的顺序无关( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2若 a(2,1)，b(1,0)，则 3a2b的坐标是( ) A(5,3) B(4,3) C(8,3) D(0，1) 答案：C 3若向量 AB (1,2)， BC (3,4)，则 AC ( ) A(4,6) B(4，6) C(2，2) D(2,2) 答案：A 4若点 M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量 MN _. 答案：(1，4) 平面向量的坐标表示 典例 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD中，AB与 x轴正半轴成 30角求点 B和点 D的坐标和 AB 与 AD 的坐标
5、 2 解 由题知 B，D 分别是 30，120角的终边与单位圆的交点 设 B(x1，y1)，D(x2，y2) 由三角函数的定义，得 3 1 3 1 x1cos 30 ，y1sin 30 ，B 2). 2 ( ， 2 2 1 3 x2cos 120 ，y2sin 120 ， 2 2 1 3 D( . 2) ， 2 3 1 1 3 AB ( 2)， AD ( 2). ， ， 2 2 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标 (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减 去起点坐标得到该向量的坐标 活学活用 已
6、知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA |4 3，xOA60， (1)求向量OA 的坐标； (2)若 B( 3，1)，求 BA的坐标 解：(1)设点 A(x，y)，则 x4 3cos 602 3， y4 3sin 606，即 A(2 3，6)，OA (2 3，6) (2)BA(2 3，6)( 3，1)( 3，7). 平面向量的坐标运算 典例 (1)已知三点 A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量 3AB 2CA_， BC 2AB _. (2)已知向量 a，b 的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求 ab，ab,3a,2a3b 的坐标 解析 (1)A(2，1)，B(3,4)，C
7、(2,0)， AB (1,5)，CA(4，1)， BC (5，4) 3AB 2CA3(1,5)2(4，1) 3 (38,152) (11,13) BC 2AB (5，4)2(1,5) (52，410) (7，14) 答案 (11,13) (7，14) (2)解：ab(1,2)(3，5)(2，3)， ab(1,2)(3，5)(4,7)， 3a3(1,2)(3,6)， 2a3b2(1,2)3(3，5) (2,4)(9，15) (7，11) 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再
8、进行向量的坐标运算 (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 活学活用 1设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b( ) A(7,3) B(7,7) C(1,7) D(1,3) 解析：选 A 2b2(2,1)(4,2)， a2b(3,5)(4,2)(7,3) 1 2已知 M(3，2)，N(5，1)， MP MN ，则 P 点坐标为_ 2 解析：设 P(x，y)， MP (x3，y2)， MN (8,1)， 1 1 1 MP MN (8,1) 2)， 2 (4， 2 Error!Error! 3 答案：(1，2) 向量坐标运算的综合应用 4 典例 已知点 O(0,0)，A(1,2
9、)，B(4,5)及 OP OA t AB ，t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ 解 因为OP OA t AB (1,2)t(3,3)(13t,23t)， 若点 P 在 x 轴上，则 23t0， 2 所以 t . 3 若点 P 在 y 轴上，则 13t0， 1 所以 t . 3 若点 P 在第二象限，则Error! 2 1 所以 t . 3 3 一题多变 1变条件本例中条件“点 P 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，点 P 在第二象限”若换为“B 为线段 AP ”的中点 试求 t 的值 解：由典例知 P(13t,23t)， 则Error!解得 t2.
10、 2变设问本例条件不变，试问四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 值；若 不 能，说明理由 解：OA (1,2)， PB (33t,33t)若四边形 OABP 为平行四边形，则OA PB ， 所以Error!该方程组无解 故四边形 OABP 不能成为平行四边形 向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量 的点的坐标的位置会随之改变 (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解 这个方程(组)，就能达到解题的目的 层级一 学业水平达标 1如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，则 AB 可 以表示为( ) A2i3j B4i2j C2ij D2ij 5