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1、初中数学二次函数-求表达式教案求表达式 授课时间:2012年12月1日 授课地点:南楼407 授课人:戴权 教学目标: 1、会利用给定条件求出相应的二次函数表达式。 2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，注意常见的三种形式。 重点:确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题。 难点:确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题。 本节知识点 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程。 教学过程: 一、引入: 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m。施工前要先
2、制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢, 二、新课: 1、课前阅读: 函数表达式 开口方向 增减性 对称轴 顶点坐标 2y,ax 2y,ax，c 2 ，y,ax,h2，y,ax,h，k 1 2y,ax，bx，c 二次函数的三种形式: 1、一般式: 2、顶点式: 3、交点式: 学生在课前利用阅读完成。 2、课中阅读: 阅读材料一: ，例1:已知一个二次函数图象经过,1,10、2,7和1,4三点，那么这个函数的解析式是_。 2y,ax，bx，c分析:已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为,将三个点的坐标代2y,2x,3x，5入，易得,。故所求函数解析式为。这种方法是将坐标c,5b,3a,22cy
3、,ax，bx，cab代入后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数,2y,ax，bx，c进而获得解析式。 问题1:题目中给了什么条件, 问题2:求解过程中怎样设的表达式, 问题3:你有什么猜想, 阅读材料二: 2y,ax，bx，c，1,2，A,1,4例2:已知抛物线的顶点是且经过点求其解析式。 2，y,ax,h，k，h,k分析:此类题型可设顶点坐标为，故解析式为。在本题中可设12a,y,a(x，1)，4，1,2，再将点代入求得。 211722，y,x，1，4y,x,x，? 即 222a由于题中只有一个待定的系数，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 问题1:题目中给了什么条件,
4、 问题2:求解过程中怎样设的表达式, 问题3:你有什么猜想, 阅读材料三: 22y,ax，bx，cy,2x,8x，9AA例 3:已知抛物线的顶点为，若二次函数的图象经过x，B0,0，C3,0点，且与轴交于、两点，试求这个二次函数的解析式。 2 ，y,axx,3x分析:要求的二次函数的图象与轴的两个交点坐标，可设,再求也12a,，y,axx,3y,2x,8x，9A的顶点，。将点的坐标代入,得到。 A2,121132，y,xx,3y,x,?,即。 222问题1:题目中给了什么条件, 问题2:求解过程中怎样设的表达式, 问题3:你有什么猜想, 通过学生自己阅读，完成相应问题，在学生的阅读过程中，会自
5、然地发现三种基本求解类型，并加以总结和归类。最后，老师加以总结。教师对于阅读材料加以板书。 2y,ax，bx，c一、三点型 2，y,ax,h，k二、顶点型 三、交点型 ，y,ax,xx,x12求二次函数表达式的方法:待定系数法 解决问题。 3、练习: 练习1.已知二次函数的图象过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的关系式。 分析:三个普通点，采用三点型。 练习2.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析:一个顶点+一个普通点，采用顶点型。 练习3:已知抛物线与x轴交于A(,1，0)，B(2,0)并经过点M(0,1)，求
6、抛物线的解析式。 分析:两个交点+一个普通点，采用交点型。 注意:该练习除了交点型，还有没有其它方法求解,课后思考。 3 三、小结: 2y,ax，bx，c一、三点型 2y,a，x,h，k二、顶点型 ，y,ax,xx,x12三、交点型 求二次函数表达式的方法:待定系数法 四、课后阅读: 4、平移型 2y,x，bx，c例4:二次函数的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数2则与分别等于 cy,x,2x，1b(A) 2 ,-2; (B) -6 ,6; (c)-8 ,14; (D) -8 ,18. 2，1,0y,x,2x，1分析:逆用平移分式，将函数的顶点先向下平移3个单位，再向右平，3,
7、3移两个单位得原函数的图象的顶点为。 22? ，y,x，bx，c,x,3,32 ,x,6x，6b,6,c,6? 因此选(B) 5、弦比型 4 2xy,ax，bx，c例5:已知二次函为时有最大值2，其图象在轴上截得的线段长为x,22，求这个二次函数的解析式。 ,分析:弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式就d,a本题而言，可由对称性求得两交点坐标为，。再应用交点式或顶点式求得解析A1,0B3,02y,2x，8x,6式为。 6、识图型 12例6:如图1， 抛物线，y,x，b，2x，c 212P与其中一条的顶点为， ，y,x，b,2x，d2M另一条与X轴交于、两点。 Nx
8、M(1)试判定哪条抛物线与轴交于、点, N(2)求两条抛物线的解析式。 12xM解:(1)抛物线与轴交于、两点(过程从略); ，y,x，b，2x，cN212，0,1(2)因的顶点坐标为， ，y,x，b,2x，d2b,2b,2,0,d,1?, ? 12? y,x，1212b,2将点的坐标与分别代入得。 ，y,x，b，2x，cNc,6212? y,x，4x，627、面积型 2y,x，bx，cyy，Q0,3例7:已知抛物线的对称轴在轴的右侧，且抛物线与轴交于，与ABP,PABx轴的交点为、，顶点为，的面积为8。求其解析式。 2y,x，bx，c，Q0,3解:将代入得. c,32由弦长公式，得 AB,b
9、，12212,bP点的纵坐标为 4由面积公式，得 5 21,12,b2 b，12,824解得 b,2y因对称轴在轴的右侧,?. b,22所以解析式为 y,x,2x,38、几何型 2y,x,mx，2m,4例8:已知二次函数如果抛物线与轴相交的两个交点以及抛物线的顶点x组成一个等边三角形，求其解析式。 2解:由弦比公式，得 ，AB,m,42m,4,m,42，4m,顶点的纵坐标为 C, 4?为等边三角形 ,ABC2，m,41? ,3,m,4 42解得故所求解析式为 m,4,23,扇形的面积S扇形=LR22 ，y,x,4，23x，4，43互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)2
10、或 ，y,x,4，23x，4,43(4)面积公式:(hc为C边上的高);9、三角型 212,y,x，bx，cAB2,，sinA,0sinB,0例9:已知抛物线的图象经过三点、且、为,25,dr 直线L和O相离.直角三角形的两个锐角，求其解析式。 ,解:?，? A，B,90sinB,cosA则由根与系数的关系，可得 sinA，cosA,b, ,sinA,cosA,c,1212,2,将代入解析式，得 c,2525,1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。2,得 ，sinA，cosB,2sinA,cosA6 7242? b,b,15257?，? b,b,057122所以解析式为 y
11、,x,x，52510、综合型 2ABy例10:如图2，已知抛物线与x轴交于、两点,与轴交于点， Cy,x，px，q定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）,若，且,求其解析式。 ，ACB,90tan，CAO,tan，CBO,2（2）顶点式：AB解:设、两点的横坐标分别为x,x，则12q,x,x,OA,OB122由,可得， OC,OA,OB,AOC,COB二次函数配方成则抛物线的2q,qq,1q,0?，解得,(舍去)， 12OCOC又由得 tan，CAO,tan，CBO,2,2OAOB11即 ,2xx12和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.x，x,2xx?，即 p,21212(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.2y,x，2x，1所以解析式为 7