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1、专题5物系相关速度国内、外中学物理竞赛中多见求解物系相关速度，或解题的“瓶颈卡在物系相关速度的试 题，这类问题往往表达简洁而条件隐蔽，情景相像而方法各异，使参赛者思路混沌，无从入 手.例如：类型1 质量分别为m i、m 2和m 3的三个质点A、E、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳AE和EC连接，/AEC=n a,a为锐角，如图5 -1所示.今有一冲量I沿EC方向作用于质点C,求质点A开始运动时的速度.全国中学物理 竞赛试题图5- 2图5-1类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R,放在与水平面成a角的光滑斜面上，如图5 - 2所示当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速
2、度为3此时绳未松弛，试求此刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的速度.全国中学生奥林匹克物理竞赛试题类型3 直线AE以大小为v i的速度沿垂直于 AB的方向向上移动， 而直线CD以大小为 v 2的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动，两条直线交角为a,如图5- 3所示.求它们的交点P的速度大小与方向.全国中学生力学竞赛试题图5- 3图5- 4以上三例展示了三类物系相关速度问题.类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度;类型2求接触物系接触点速度；类型3那么是求相交物系交叉点速度.三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们假设能抓住它们的共性与个性，解 决物系相关速度问题
3、便有章可循.首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可 伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点 之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成 的如图5- 4所示，三角板从位置ABC移动到位置AEC，我们可以认为整个板一 方面做平动，使板上点E移到点E,另一方面又以点E为轴转动，使点A到达点A、 点C到达点C.由于前述刚体的力学性质所致，点A、C及板上各点的平动速度相同，否 那么板上各点的相对位置就会改变这里，我们称点B为基点分析刚体的运动时，基点可 以任意选择于是我们得到刚体运动的速度
4、法那么：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同 的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.我们知道转动速度V是转动半径，3是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度那么与基点的选择无关.根据刚体运动的速度法那么，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时 刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他 点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度与基点相同的平动速度因此，我 们可以得到下面的结论.结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方 向的分速度.我们再来研究接触物系接触点速度的特征由刚体的力学性质及“接触的约束可知
5、， 沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否那么将别离或形变，从而违反接 触或刚性的限制至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，那么取决于该方向上双 方有无相对滑动，假设无相对滑动，那么接触双方将具有完全相同的速度因此，我们可以得到 下面的结论.结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触 面切向的分速度在无相对滑动时相同.相交物系交叉点速度的特征是什么呢？我们来看交叉的两直线a、b，如图5- 5所示,设直线a不动，当直线b沿自身方向移动时，交点P并不移动，而当直线b沿直线a的方向 移动时，交点P便沿直线a移动，因交点P亦是直线b上一点，故与
6、直线b具有相同的沿直 线a方向的平移速度同理，假设直线b固定，直线a移动，交点P的移动速度与直线a沿直 线b方向平动的速度相同.根据运动合成原理，当两直线a、b各自运动，交点P的运动分 别是两直线沿对方直线方向运动的合运动于是我们可以得到下面的结论.图5- 5结论3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和.这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法那么运用于三类相关速度问题，得到了 这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法那么、相对运动法 那么，解题便有了操作的章法.下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原那么在不同情景中的应用.例1
7、 如图5- 6所示，杆AE的A端以速度v做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半 圆周相切，半圆周的半径为R,当杆与水平线的交角为0时，求杆的角速度 3及杆上与半圆相切点C的速度.0图5-6分析与解 考察切点C的情况由于半圆静止，杆上点C速度的法向分量为零，故点C速度必沿杆的方向.以点C为基点，将杆上点A速度v分解成沿杆方向分量vi和垂直于杆方向分量v 2 (如图5- 7所示)，那么v i是点A与点C相同的沿杆方向平动速度，v2是点A对点C的转动速度，故可求得点C的速度为图5-7v C=v l=vCOS0,又v 2=v，sin0=3AC.由题给几何关系知，A点对C点的转动半径为AC=Rcot0,代
8、入前式中即可解得23 = ( vsin 0 )/( Rcos0 ).例2 如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3 : 2 : 1,顶点A 3以速2的速度v B2.度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点E分析与解 顶点E 2作为E 2A1杆上的一点，其速度是沿E 2A 1杆方向的速度v 1及垂直于 B 2A i杆方向速度v i的合成；同时作为杆E 2A2上的一点，其速度又是沿E 2A 2杆方向的速 度v 2及垂直于E 2A 2杆方向的速度v 2的合成.由于两杆互成直角的特定条件，由图5- 9显见，V 2=V 1 ,V 1 =v 2.故顶点E 2的速度可通过V 1、
9、V 2速度的矢量和求得，而根据杆 的约束的特征，得2 ) vA 1;v 2=(2 ) vA 2,于是可得由几何关系可知v a i : v a 2 : v a3=A 0 A i : A 0 A 2 : A o A 3=3：5：6,那么va i=v / 2,v a 2= ( 5 / 6 ) v,由此求得v B2=(上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点E2的速度的当然我们也可以选取其他适宜的点为基点来分析如图5-1 0所示，假设以A i、A 2点为基点，那么B 2点作为E 2A1杆上的点，其速度是与A 1点相同的平动速度vA 1和对A 1点的转动速度vn 1 之合成，同时E
10、2点作为B 2A2杆上的点，其速度是与A 2点相同的平动速度vA 2和对A 2点的 转动速度vn 2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知v B2=(代入前式可得两解殊途同归.例3 如图5-11所示，物体A置于水平面上，物体A上固定有动滑轮B, D为定滑轮,一根轻绳绕过滑轮D、B后固定在C点，BC段水平当以速度v拉绳头时，物体A沿水平 面运动，假设绳与水平面夹角为a,物体A运动的速度是多大？图 5-11分析与解 首先根据绳约束特点，任何时刻绳ED段上各点有与绳端D相同的沿绳ED段方向的分速度v,再看绳的这个速度与物体A移动速度的关系：设物体A右移速度为vx,那
11、么相对于物体A 或动滑轮B的轴心，绳上E点的速度为v x，即v BA=V x ,方向沿绳BD方向；而根据运动合成法那么，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系A 或动滑轮B的轴心的速度v x与参照系A对静止参照系速度vxcosa的合成，即v = v ba+v x cosa；由上述两方面可得v x=v / 1 + cosa .例4 如图5-12所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动，带动从动杆AE沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其顶点.求当ZAOP=a时，AE杆的速度.图 5-12图 5-13分析与解 这是接触物系相关速度问题.由题可知，杆与凸轮在A点接触，杆上A点速度v a
12、是竖直向上的，轮上A点的速度vo是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即vAcosa = v o sina,贝 Uv a =v o tana.故AE杆的速度为v o tana.例5 如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上,以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成a角时，求线轴中心O的运动速度v。.设线轴的外径为R,内径为r,线轴沿水平面做无滑动的滚动.分析与解 当线轴以恒定的速度 v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动.从绳端速度v到轴 心速度v 0,是通过绳、轴相切接触相关的.考察切点E的速度：此题中绳与线轴间无滑动， 故绳上E
13、点与轴上E点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度.图5-15是轴上E点与绳上E点速度矢量图：轴上E点具有与轴心相同的平动速度v。及对轴心的转动速度为轴的角速度)，那么沿切向轴上E点的速度为r-vosin a；而绳上E点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度v,于是有关系式，即A图 5-14图 5-15rw-v osina = v.又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点C的速度为零，那么轴心速度为v o=Rw,由、两式可解得v o= ( Rv )/( r-Rsina ).假设绳拉线轴使线轴逆时针转动，vo= ( Rv )/( r-Rsina )，请读者自行证明.例
14、6 如图5-16所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v,方向 水平.以铰链固定于点E的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R.试确定木板的 角速度w与角a的关系.分析与解 设木板与线轴相切于C点，那么板上C点与线轴上C点有相同的法向速度Vn：而板上C点的这个法向速度正是C点关于E轴的转动速度，如图5-17所示，即v n=3EC = 3Rcot ( a / 2).现在再来考察线轴上C点的速度：它应是C点对轴心O的转动速度VCn和与轴心相同的平动速度V 0的矢量和，而vC n是沿C点切向的，那么C点法向速度Vn应是v n=v osina.又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水
15、平面切点为基点，应有V 1( R+f ) =v 0 R.将、两式代入式中，得3 = ( 1cosa )/( R+f ) v.例7 如图5-18所示，水平直杆AE在圆心为O、半径为f的固定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为$.图 5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为$的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解，那么M的速度为v = u / sin$.例8 如图5-19所示，直角曲杆OEC绕O轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动.OE=10 cm，曲杆的角速度3=0
16、 . 5fad/s，求 $ = 60 时，小环M的速度.C分析与解 此题首先应该求出交叉点M作为杆BC上一点的速度v,而后根据交叉点速 度相关特征，求出该速度沿OA方向的分量即为小环速度.由于刚性曲杆OBC以O为轴转动，故其上与OA直杆交叉点的速度方向垂直于转动半 径OM、大小是v = 3M=10cm/s.VM=vMA = vtancm/ s.将其沿MA、MB方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环M的速度为图 5-21图 5-22例9 如图5-21所示，一个半径为R的轴环Oi立在水平面上，另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A的速度va与两环中心之距离d之间的关系.轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.分析与解轴环O 2速度为v,将此速度沿轴环Oi、O 2的交叉点A处的切线方向分解成v i、v 2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A的速度 即为沿对方速度分量vi注意到图5-22中显示的几何关系便可得