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1、+b0（系数不为0的情况）二、重要公式（1）lim= 1XTO(3) lim亦(a o) = l(4) lim亦=1(5)T8liinarctaiix = 2A-007t lmi arc tan x =2(7) limarccotx = 0(8) lun aiccotx=(9).tTX(10) liin ex = oo(11) lim xr = 1x-0*三、下列常用等价无穷小关系sinx xtanx xaicsinx xarctanx 兀l-COSX- ix22ln(l + x)xer -1 x四、导数的四则运算法则五、基本导数公式(cj = O(2) #=“严(3)(sinx) =cosx
2、(4)(cosxj = - sin x(5)(tanx) = sec2 x(6)(cotx) =-csc2 X(7)(secx) =secxtanA(8)(cscx) =-cscxcotx(j “f(10)(67 J =axna(ll)(lnx)=丄f1(13)(arcsinx) = _2yjl-x2:G4)(arccosx)=(15)(arctanx)=】,G6)(arccotx) =_】【、(17)(兀)=1 (18)(妖)(HV)= UV+UV(M V)=ll V六、高阶导数的运算法则VI-x212yfx1) M(x)v(x)(n) =M(x)(n)v(x)(n)(2) cw(x)(w)
3、=cw(n)(x)(3) “(ox+b)何=q”汕)(ox+b)(4) (%) v(x)(n) =k=0七、基本初等函数的n阶导数公式（*） =川（2）（严）（）=* 严冗、2丿(4) sin(ox + b) = a sin| ax + b + n- cos(ox+b) = a cos(ax+b + n 彳 禽）=（-1）n（八、微分公式与微分运算法则 d（c） = 0 J（xA） = /ixdx班 CQSx) = -snxdx(5) J(tanx) = sec2 xdx(3) d (sin x) = cos xdx (cot x) = - esc2 xdx d(exj = exdx(10)
4、d (&) = axnadx(11) d (In x)=丄(7) d (sec x)二 sec x tan xdx(8) d (esc x) = - esc x cot xdx(12)d(log.;) = J dx(13)d (aicsiiix)=】 dx (14)d (arccos x)=.dx、7 xnay/i-x2yji_x2(16) d (arc cot x) = -】,dx(15) d (aictaii x)=】,dx九、微分运算法则(1) d (u 土 v) = du dv(3) d (mv) = vdu + udv十、基本积分公式Jx2 a2 + c十三、分部积分法公式形如 J
5、xedx,令 u = xn,dv = edx形如 sinxdx 令“ =/dv = snxdx形如 J xn cos xdx 令“ =xn,dv = QQsxdx形如 ja/ aictaiixdx,令h = aictanx, dv = xndx形如 jxn nxdx,令w = liix, dv = xdx 形如 J 严 sin xdx, j eax cos xdx 令“ =eax, sin x, cos x 均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式(1) yja2 -x2x = asint (2) y/a2 +x2x = aXant(3) yx2 -a2 x=asect【特殊角的三角函数值】
6、(1)sinO = O(2).7t sin =612.7t(3) sm =32(4) sin2=1)(5) sin = 0(1)cosO = 1(2)n cos =更,、71(3) cos _ 1(4) cos=0 )(5) cos” = -l623_ 22(1)tan0 = 0(2)tan=羽7t(3) tail = /371(4) tan 不存在(5) tan = 06332(1)cot 0不存在(2)7C cot =5/3(3) cot = (4) cot(5) cot龙不存6332十五、三角函数公式1. 两角和公式sin(A -B) = sin A cos B - cos A sill
7、 Bsiii(A + B) = sill A cos B + cos A sill Bcos(A + B) = cos A cos B-sinA sin Bcos(A-B) = cos A cos B + sin A sin Btan(A + B) =tan A + tail B1-tail A tail Btan(A -B) =tail A - tail B1 + tan A tail Bcot(A + B) =cot A cot B -1cot B + cot Acot(A 一 B)=cot A cot B +1cot B - cot A2. 二倍角公式sin 2 A = 2 sin A
8、cos Acos2A = cos2 A-sin2 A = l-2siir A = 2cos2 A-ltaii2A =2 tan Al-tan2AA /1-cos Asin Atan = J=2 v 1 + cos A 1+cos AA /1 + cos Asin Acot = J=2 v 1-cos A 1-cos A4. 和差化积公式a-bI ca + bsina + sinb = 2sin22. - a+ba-bcosa + cos彷=2cos2coscos., -a + b . a-bsin a sin Q = 2 cossm2 2.-.a + b . a-bcos a 一 cos b
9、= -2 smsin2, sin(a + b)tan a + tan b =-cos a cos b5. 积化和差公式sinasinb = 一扌cos(a + b)-cos(a-b) sinacosb = *sin(a + b) + sin(a-b)cos a cos b =扌cos(a + b) + cos(a-b) cosasinb = *sin(a + b)-sin(d-b)6. 万能公式2 tan 2sin a =, al+tan 21 - tail2 cos a =1 + tan2 22 tan 7tana =. al-tan 27 平方关系siii2x+cos2x = lsec2
10、x-tarr x = iesc2 x-cot2 x = l8. 倒数关系 taiixcotx = l9. 商数关系siiixtanx=cosxsecxcosx = lC5CX-sillX=lcosx cot x =sinx十六、几种常见的微分方程1. 可分离变量的微分方程：牛= /(x)g(y) ,(x)gx(y)dx+f2x)g2(y)tfy = 02. 齐次微分方程：=axI x 丿3. 阶线性非齐次微分方程：字+p(x)y = 0(x)解为： ax尸汁皿胆皿dx+c三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cos
11、AsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(l-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotBl)/(cotB+cotA) cot(A-B)二(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A = 2tanA/(ltan2 A)Sin2A=2SinA*CosACos2A = Cos2 A-Sin2 A二2Cos2 A1=12sin2 A三倍角公式sin3A = 3sinA
12、-4(sinA)3; cos3A = 4(cosA) 3 3cosAtan3a = tan a tan(n/3+a) tan(n/3a)半角公式sin(A/2) = J (1cosA)/2 cos(A/2) = J (1+cosA)/2tan(A/2) = V (1cosA)/(1+cosA) cot(A/2)二 V (1+cosA)/(lcosA) tan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积sin(a)+sin(b) = 2s in(a+b)/2cos(ab)/2cos(a)cos(b)sin(a)-sin(b) = 2cos(a+b)/2s in(
13、ab)/2 cos(a)+cos(b) 二 2cos (a+b)/2cos(a-b)/2 -2sin(a+b)/2sin(a-b)/2tanA+tanB二sin(A+B)/cosAcosB 积化和差sin(a)sin(b) = -l/2*cos(a+b)-cos(ab) sin (a) cos (b) = 1/2* sin(a+b) +sin (a-b) 诱导公式sin(a) = sin (a)cos (a) = cos (a)cos ( n /2_a) = sin (a) sin (刃/2+a) = ccos(a)cos(b)二 1/2*cos(a+b)+cos(a-b)cos(a)sin(
14、b) = 1/2*s in(a+b)-sin(ab)sin(n/2a) = cos (a)(a) cos(n/2+a)二-sin(a)sin(n-a) = sin (a)cos (口-a) = cos (a)sin (兀+a) = -sin (a)cos(n +a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA万能公式sin(a)二2tan(a/2)/(l+tan(a/2) 2cos(a)=1-tan(a/2)2/l+tan(a/2) 2)tan (a) = 2tan(a/2) / l-tan (a/2) 2其它公式a sin (a) +b*cos (a) = V (a2+b2
15、) *sin(a+c)其中，tan (c) =b/aa*sin(a)-b*cos (a) = V (a2+b2) *cos (ac)其中，tan(c)=a/b 1+sin(a) = sin(a/2)+cos(a/2)J 2; lsin(a) = sin(a/2)-cos(a/2)2; 其他非重点三角函数esc(a) = l/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)双曲函数sinh(a) = e a-e (_a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2k
16、n + a )二 sin a cos (2k n + a ) = cos atan (2k n + a ) = tan acot (2k 刃 + a ) = cot a公式二：设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin ( Ji + a )二 sin acos ( Ji + a ) = -cos a tan ( Ji + a ) = tan acot公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin (a ) = -sinacos (一 a )二 cos a tan (- a ) = 一tan acot (-a )二 cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n
17、-a与a的三角函数值之间的关系: sin ( n - a ) = sina公式五：利用公式-和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：sin (2 n - a ) = -sin a cos (2 - a ) = cos atan (2 n - a ) = tan acot (2 n - a )二 _cot a公式六：H /2 a 及3 n /2 a 与 a的三角函数值之间的关系：sin ( n/2+ a ) = cos acos ( 口/2+a ) = -sin atan ( n /2+ a ) = cot acot(n /2+a ) = -tanasin ( n /2 a ) =
18、cos acos ( n /2- a ) = sin atan ( n /2- a ) = cotacot(n /2-a ) = tanasin (3 兀/2+a ) = -cos acos (3 刃/2+a ) = sin atan (3 n /2+ a ) = -cot acot(3 n /2+ a ) = -tan a sin(3 口/2_a )= -cos a cos (3 n /2 a ) = sin a tan(3 n /2 a ) =cot acot (3 n/2-a ) = tan a求导公式c二0 (c 为常数)(xa)二a (a-1), a 为常数且 aHO(ax)二axlna(ex)二ex(logax)二 1/(xlna), a0且 aHl(lnx)二1/x (sinx)* =cosx (cosx)* =-sinx(tanx)二(secx)2(secx)二secxtanx(cotx)=(cscx) 2(cscx)二-csxcotx(arcsinx)*=1/ V (l-x 2)(arccosx)*=1/ V(lx2)(arctanx)二1/(l+x2) (arccotx)* =1/(l+x2) (shx)二chx(chx)二shx(uv)二uv +u v (u+v) =u +v(u/) =(u v-uv*)/2