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1、5-1构件受力如图5-26所示。试：（1确定危险点的位置；（2用单元体表示危险 点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体.并画出应力）。题5-1图解：a 1危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。b 1危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。C1危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。dl）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。5-2试写出图5-27所示单元体主应力。1、。2和。3的值，并指出属于哪一种应 力状态（应力单位为MPa）。2010题5-2图解：a lo=5
2、0 MPa,2o=3o=0、属于单向应力状态ABA(a ) (c ) (d )364dFlabeda bb lo=40 MPa, 2o=0, 3o= - 30 MPa,属于二向应力状态 c lo=20 MPa, 2a=10MPa,3o=-30MPa,属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求 指定斜截面上的正应力和切应力。题5-3图解：a取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：xo=50MPa,yo=30Mpa,XT=0, a=-30 带入式（5-3） , （5-4）得 auxoooooct2s i n 2c o s 22XVXyX一十+=45MP
3、aaiaocta2cos 2siii 2XVX+-=-8.66MPab取水平轴为x轴，根据正负号规定：x o= -40MPa , y o=0 , x t=20 MPa , a=120带入公式，得:240sin 20240cos 2402040十+-=aa=7.32MPax T=240cos 20240sm 240 十=7.32MPac取水平轴为x轴，则x o= -lOMPa , y o=40MPa , x i= -30MPa,a=30代入公式得：60sin 30(60cos 2401024010十+-=aa=28.48MPax T=60cos 3060sin 2+=ao=30 MPa10-=-
4、36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法 求：（1指定斜截面上ab的应力；（2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；（3最大切应 力。题5-4图a解：（1）求指定斜截面的上应力取水平轴为x轴，则x o=100MPa , y o=40MPa , x 40Mpa,a=45带入公式，得:90sm 4090cos 240100240100-+ai=90cos 4090sm 240100+-= 30MPa（2求主应力及其方向，由公式（5-8）得:22nunmax 22XVXyX TOGOoaJIJ+=57. 262012040240100240 10
5、02 2 二十1十MPa按代数值321000生得1201=o MPa , 202=a MPa, 03=oMPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 33. 140100402220-=-x-=yX X tgo o TQ02a= 13. 53 , 0a=最大主应力1。的方向与x轴正向夹角为顺时针57. 263)最大切应力由公式(5-20) 602012023Imax =-=oorMPab)解：(1)求指定斜截面上的应力取水平轴为 x 轴，x o=60MPa , y o= -20MPa , x t= -30MPa,a= -30代入公式得：b ca60sin(30 60cos(220(60220(60
6、-十十ao=14.02MPaax=60cos(30 60sin(220(60-=-49.64MPa(2求主应力及其方向，由公式(5-8)得:22nunmax 22XVXyX TOGOoaJIJL+=3070 30(2 20(60220(6022+1-+=MPa按代数值32100。生得701=o MPa, 02=o MPa , 303-=o MPa 由公式(5-7)可求得主应力方向75.0 20(6030220=yXXtgooza02a= 87. 36 f 0a=43. 18最大主应力1。的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示：3）最大切应力由公式（5-20） 50230(7023Im
7、ax =-=ooTMPaC解：取水平轴为X轴，则x o=60MPa , y o=0 , x t= -40MPa,a= -150代入公式得：300sin( 40( 300cos(20602060-h=ao=79.64MPax T=300cos(40 300sm(24060=5.98Mpa(2求主应力及其方向，由公式(5-8)得:22nunmax 22xyXyX TOGOooJIJAL+=2080 40（2060206022十=MPa按代数值321。生得1201=0 MPa , 202=g MPa , 03=o MPa由公式（5-7）可求得主应力方向34060402220=-x -=yXXtgoo
8、za02a=13. 53, 0a= 57. 26最大主应力1。的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示:3)最大切应力由公式(5-20) 50220(8023Imax =ooi5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图 解法求：（1指定斜截面上的应力；（2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力 状态；（3最大切应力。题5-5图解：（1求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知 x o=40MPa , y o=20MPa , x i=10MPa, y i=-10MPa由此可确定。面内的D、D两点，连接D、D交于C。以C为圆心, DD，为直径可做应力圆，斜截面与
9、x轴正方向夹角为60,在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力： ao=E x =60MPa, ai=E y =3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：A x =max o =44.14MPa, B x =iniii o= 15.86Mpaa按照321000生得约定，可得三个主应力为：lo=44.14MPa. 2o=15.86MPa, 3o=0MPa由D转向A的角度等于20a。量得20a=45 （顺时针）因此，最大主应 力与x轴正方向夹角为顺时针22.5 o（3）最大切应力等于由1。3。画出的应力圆的
10、半径maxT=22.07MPab解：首 先做应力圆：其中D （0, -20） （50,十20）1）斜截面与y轴正方向夹角45 （逆），因此从D，逆时针量20a=90得 E 点：E x =ao=5MPa, E y =ai=25Mpa 2 A x =max o=57MPa, B x =min o= -7Mpa按照321000生得lo=57MPa, 2o =0MPa, 3o =-7MPa主应力方向：最大主应 力与y轴夹角为33.1921=ZCAD （顺）3最大切应力等于由31,。画出的应力圆的半径：32max =iMPa（C解：由图示应力状态可得应力圆上两点D （-20. 20）和D（30. -20
11、）连DD交。轴于C,以C为圆心，DD为直径作圆，即为应力圆，如图所示1）斜截面与x轴正方向夹角为60 （顺,因此由D顺时针量120得E点E x =aa=34.82MPa, E y =aT=11.65MPa2）主应力及其方位应力圆与。轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：A x =inax o=37MPa. B x =min o= -27Mpa 因此 lo =37MPa, 2。=0MPa, 3o =- 27MPa由D 到A的夹角为逆时针38.66 ,因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针 量19.33所得截面上的正应力。3）最大切应力为由31, oo画出的应力圆半径32max =rMPa5-6
12、矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：（1梁 上各指定点的单元体及其面上的应力；（2作出各单元体的应力圆，并确定主应力 及最大切应力。题5-6图解：1）各点的单元体及应力 由梁的静力平衡求得250=B AFFkNA,B,C三点所在截面上的弯矩6250025. 0102503=x x =MNm剪力250=Q F kN 2 2 .01.06 162500xx=W MA oPa=93.75MPa （压应力） 875. 462 1= A B o oMPa （压应力）75. 1822.01.010250233 =x X XPa C iMPa06. 1443=C B ttMPa2）
13、作各单元体的应力圆A 点：75. 93, 0, 0321-=oooMPa , max x=46.875MPa B点：9. 3 l=oA x MPa , 7. 503-=oB x MPa , 02=6 max x=27.3MPa C 点： =loAx 18.75MPa , =2oB x 0, 3o=-18.75 MPa, max x=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为 MPa）。AA题5-7图 bc a 解：a主应力501=o MPa ,由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有，23Imax oox-=50MPaob一个主应力为50MPa ,
14、其余两个方向应力状态如图所示xo=30MPa, y o=- 20MPa, XT=20MPa 代入公式(5-8)2737202 20(30220(3022一I JMPa 所以 1。=50MPa, 2。=37MPa, 3o = -27MPa max t=3loo-=5.3822750=-MPab一个主应力为-30MPa,其余两方向应力状态如图所示取 x o=120MPa. y o= 40MPaf x T=-30MPa代入公式22nunmax 22XVXyX TOGOoaJIJ+=30130 30(24012024012022十=MPa 所以 lo=130MPa, 2o=30MPa, 3o =0MP
15、amax t=23loo-=80230(130=-MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大 切应力。题5-8图解：a三个主应力为0, 321 =oooo三向应力圆可作如下b这是一个纯剪切应力状态tooto-=321, 0,其三向应力圆为max t=t三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得31,。再由21,。和32,。分别作应力圆 三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态223122TOOO+IJ也5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa) o题5-9图解：o= ? , y o=50MPa , x-
16、十画出二向应力状态的单元体，取水平方向为X轴，则X t= ? , a=30 时 ao=80MPa, at=O 代入式(5-3) (5-4)+=60sin 60cos 250250xxx Toooa=80Mpa。十-=60cos 60sin 250X X TOTQx a=70MPa , x x=310- MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为lo =80MPa, 2o =40MPa, 3o =OMPa最大切应力为max i=40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切 应力T和三个主应力。BA题5-10图解：画出二向应力状态单元体.取水平
17、方向为x轴则 x o=15MPa , y o=-15MPa , x t=t, a=135 时 ao=0, xt=0 代入式(5-3) (5-4)。-+-十-=270s 111270c o s 215( 15(215( 15(x Toa=0。十 =270cos 270sin 215( 15(x ira=0(自然满足由上式解得xi=15MPa主应力可由公式(5-8)求22niuimax 22XVXyX TOOooaJIJA+=300 15(2 15( 15(215（ 15（22二十口）（-十-=MPa因此三个主应力为：lo=0, 2o =0, 3o =-30MPa15230（023Imax =oo
18、rMPa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。 试画出单元体的受力图.并指出应力圆上A点所在截面的位置。a)&)c)def题 5-11 图5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：MPa 50MPa, 40MPa, 80=aoooyx o试求主应力和最大切应力。题5-12图解：x o=80MPa , y o=40MPa , x i=t, ao=50MPa, a=60 将以上已知数据代入公式 (5-3)(120s in 120c o s2408028050x T十+=X T=0再把X。yo, XT代入公式（5-8）求主应力 22m i nm a x
19、22XVXyX TOOooaJIJL+=40800240802408022十=MPa 因此三个主应力为：lo=80 MPa, 2o =40 MPa, 3o =-30MPamax t=23loo-=40MPa5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面a和p上的应 力分别为MPa 60MPa, 40=aaio ； MPa60MPa, 200=ppTOo试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径RoP 3PP题5-13图解：已知 ao=40MPa,po=200MPa,a.T=60MPa,pT=60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D 1,D 2,连D ID 2,作其垂直平分线交。轴
20、于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0半径228060+=R=1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变 和试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、V,圆杆直径d。aa题5-14图解：围绕K点取单元体，两截面分别沿，和”方向。如下图所示由广义胡克定 律(yXE poos-1 (xyEos-=1联求解得2ri.iJ.18SOEEx1卜iO-+=E E E y我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取根据单元体 任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：H80 O 0-4-=+=lM,EEy x又
21、。=AF所以 F=oA=24ll”dEE7qiS-+5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30。方向的线应 变30so试求外力偶矩T。已知圆轴直径d,弹性模量E和泊松比V。T题5-15图解：围绕K点沿30方向和与之垂直的方向取单元体如左图由沿横纵截面单元体如右图由公式（5-3、5-4得:4。23120s 1 n120c o s 20020060-=-十十=m21120cos 60-=tto23 60sin(30=m2160cos30=-=-)(由胡克定律(四甲卬ooS+=IIJ八七-123232311603030EEE(|.lSl+=13230 E又尸316dTWTP兀=
22、,163TTTd T =所以(|.iji|.ijr+=+=124313162303303EdEdT5-16刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为 lOxlOxlOniin 3,铝材的弹性模量E=70GPa, v=0.33o试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块 的三个主应力及相应的变形。解：F力作用面为一主平面，其上的正应力为23310106x-=-=AF oMPa = -60MPa前后面为自由表面，也为主平面，1。=。由题意知2=0由胡克定律2g=(31210OJ2+-E所以 MPa 8. 1932-=poo(608. 19(25. 00(102001193211x =
23、十-=ojiosE =6102. 376-x(8. 190(25. 060(102001192133-x=+-= oO|.IOE=6108. 763-x-所以 inmll3611110672.310102. 376x=xx= =Ae 0222=- =A11 snun 11 363331064. 710108. 763-x-=xx=. =Ae5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45。方向的正应变45储 空心圆轴外径为D ,内外径之比为心试求外力偶矩T。材料的弹性常数E、v均为已知。题5-17图解：受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和 135面上主应
24、力取得极大值和极小值，为主平面. 1O=T, 3o= -T由胡克定律1=(311O45s代入化简得45lT|.L=+e所以,s+145 E由受扭圆轴表面上一点剪应力公式43116a兀T-=DTWTP(兀 ra 兀+-=+x-=-=116114516116145434343EDEDDT)()(5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45。方向的线应变6451050- x=,材料的弹性模量PaG200E=,25.O=vo试求梁上的载荷F之值。题5-18图解：K点的应力状态如图所示其中t由公式(3-40)求得661060001010060322323x =x x x=FFbhFQt
25、又K点有to-=3, 135方向有to=1,代入到胡克定律有（2打T叫oe+=+=-=1113130EEE（gl+=145EPa比轴两式有（25.01106000456+xX =-sE F =48000N=48kN5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60。方向上的正应变460100. 4- 0x=3直径d=20mm,材料的弹性模量3.0MPa, 102003=x=vE。试求载荷F。A 60。60。F题5-19图解：A点应力状态如图所示由公式（5-3）6030 003cos 1200 sinl20 224001cos( 600 sm( 60224 1 16030E又60314
26、E 3E4 4 由胡克定律 60=所以FAI 20210 64200 109410 4 1 2 4E4=37233.7N=37.23 kNF Ad (34 30.35-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a,与轴线成45。，B点在中性层上，梁高为h,宽为b,弹性模量为E,泊松比为v,弯矩为M。MAMBb题5-20图解：求AB的伸长量需先求 AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其中=MyCIZh45= Mla sin 452 1 3 bh 12由此可求出AB方向及与其垂直方向的正应力AB AB 1 cos270 0 sni270 2 2
27、 200 1ABcos90 0 siii90 222由胡克定律00 ABiAB 12EMlasm4513Ma 2 sin 45 (1EE 2 2 2E)12 a3 1 3 Ebh bh 12 -61AB AB LAB 5-21用45。应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为 0=-267xl0 , 45=-570x -6 -6 10 及 90=79xl0 o 构件材料为 Q235 钢,E=210GPa, v=0,3o试求主应变.并求出该点处主应力的数值和方向。解：由公式(5-36)可求主应力：1 2E 090 E 0452459022 12 1=21010 9 21010 9267792 1
28、0.3 2 10.353 .6110 6110.0110 6267570 257079 2 10 6 Pa 53 .61MPa 110.01由公式(5-34)求主应变，在此之前先由(5-33求45902090 2 cos 279267 79 cos90 x sin90 222(5-34)12 x y2 x yx 2 sin 2925 10 62106267570 代入x2 226779267792 6 (952 10 2 22412.4610 660010 6主应力与主应变同方向：由(5-35) tg2 0x 9522.75 x y 26779 2a 0=70, a 0=355-22 在某液压
29、机上横梁的表面某点处.用45。应变花测得8 0。=51.6乂10 , 45。=169乂10及s-6 =-117x10 o上横梁的材料为铸铁，E=110GPa, v=0.25o试求该点处主应力的数值和方向。解：由公式(5-36) -6 -6 900 12, 311010 92 10.2551.6( 1171101092 10.2551.6169 2169117 210 614.44 MPa 24.03 所以 1 =14.44MPa,2=0,3 =-24.03MPa 主应力方向 tg2 045 4590045169 117 51.616990045169 117 51.6169 =2.393 2a
30、 0=67.32, a 0=33.665-23 单元体受应力如图5-46所示(应力单位为MPa)。试：(1作三向应力图，并比较两者的max ； (2将单元体的应力状态分解为只有体积改变及只有形状改变的应力状 态；(3求图5-46b所示应力状态的形状改变比能(E 200 G Pa, 0.3)。 30 120 160 60 50题5-23图a解：1作三向应力状态的应力圆31 1 160 600 3 =73.3MPa 11 m 160 73386.7 MPa 2,2 m 6073.3133MPa 33 m 073.373.3 MPa max b max 160 080 MPa 2 120 ( 30 75MPa 2 11 m ( 123(120 503046.7 MPa 3 3 1 f 1 m 120 46.773.3 MPa 22m 5046.73.3 MPa 3*3 m 3046.776.7MPa vd 1 v( 12 2( 23 2( 31 2 6E 10.3(12050 2(5030 2( 301202 620010 9 3 3 =36.617x10 J/m5-24试证明圆轴纯扭转时无体积改变。解：纯剪切应力状态x y 0因为 x y max min所以 max nuii 0而第三向主应力本 来就是零,因此 1230, m0体积变形比能与m成正比，