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1、佩金教数学一元一次方程及其解法1. 一兀一次方程(1) 一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1,且等式两边都是整式的方程叫做一元一 次方程.如：75x= 3,3(x+ 2)=4x等都是一元一次方程.解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：只含有一个未知数(元)；未知数的次数都是一次；未知数的系数不能为 0;分母中不含未知数，这四个条件缺一不可.(2)方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解，也叫做方程的根.方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左
2、、右两边的值相等，则它是方程的 解.如x=3是方程2x- 4= 2的解，而y= 3就不是方程2x4= 2的解.(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程.方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值), 而解方程是指求出方程的解的过程.【例1 1】下列各式哪些是一元一次方程().1 1A. S=2ab; B.xy=0; C.x=0; 口“+ 3 =1； E.31 = 2; F.4y5=1; G2x2+2x+1 =0; H.x+2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是 2,所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程
3、；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有 C, F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程.答案：CF【例1 2】x= 3是下列方程()的解.A. - 5(x- 1) = - 4(x-2)B. 4x+2= 1C. 1x+5=5D. - 3x- 1 = 03解析：对于选项A,把x=3代入所给方程的左右两边，左边=5X(31)=20,右边=4X ( 3 2)=20,因为左边=右边， 所以x= 3是方程5(x1) = 4(x2)的解； 对于选项B,把x= 3代入所给方程的左右两边，左边=4X(3)+2=10,右边=1,因
4、为左边w右边，所以x= 3不是方程4x+2=1的解，选项C, D按以上方法加以判断，者B 不能使方程左右两边相等，只有A的左右两边相等，故应选 A.答案：A2 .等式的基本性质(1)等式的基本性质性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果 a=b, 那么 a+c= b+c, a c= b c.性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果 a=b,那么 ac=bc,，= c(cw0).性质3:如果a=b,那么b=a.(对称性)如由一 8=y,得 y= - 8.性质4：如果a=b, b=c
5、,那么a=c.(传递性)如：若/ 1 = 60, /2=/ 1,则/ 2=60.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换.谈重点应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式. 这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破 坏相等关系.(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别.(3)等式两边不能都除以 0,因为0不能作除数或分母.【例21】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是()._一4一
6、5A.若4y+2=3y1,贝U y= 1B.若7a=5,贝Ua=C.若工=0,则 x= 2D.若X 1 = 1,则 x- 6=126解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论.A根据等式的基本性质 1,等式的两边都减去3y+2,左边是v,右边是-3,不是1; C根据等式的基本性质 2,两边都乘以2,右边应为0,不是2; D根据等式的基本性质 2, 左边乘以6,而右边漏乘6,故不正确；只有 B根据等式的基本性质 2,两边都除以7,得 到 a=7.答案：B【例22】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x8=12; (2)4x 2=2x;
7、 (3)x+1 = 6; (4)3-x= 7.分析：利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质 1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上 8,得5x= 20.方程的两边同时除以 5,得x=4.(2)方程的两边同时减去 2x,得2x-2=0.方程的两边同时加上 2,得2x=2.方程的两边同时除以 2,得x= 1.(3)方程两边都同时减去1,得 x+11 = 61, x= 6 1.x= 5.(4)方程两边都加上x,得 3 x+ x=7 + x,3=7+x,方程两边都减去7,得 3-7=7 + x-7, 4= x,
8、 即 x= - 4.3 .解一元一次方程(1)移项移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边.移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程，如，2-3x=7,把2从方程的左边移到右边，2在原方程中前面带有性质符号，移到右边后需变成“ + ”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号. 所以由移项，得一3x= 7+2.要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移
9、项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变.如，3+ 5x=1,把3从方程的左边移到右边要变号，得 5x=1-3,是属于移项；而把 5x-15x + 11x=11变成5x+ 11x-r15x=11,是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变 号.辨误区移项时应注意的问题在移项时注意 “两变”：一变性质符号，即 “ + ”号变为“”号，而“”号变为 “十”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边.(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据注息事项去分母方程左右
10、两边的每一项 都乘以各分母的最小公 倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母 的项；分子是多项式 的去掉分母后，要加 小括号去括号可由小到大，或由大到 小去括号分配律；去括号的 法则不要漏乘括号内的 项；括号前是” 号的，去括号时括号 内的所有项都要交号移项移项就是将方程中的某 些项改变符号后，从方 程的一边移到另一边等式的基本性质1移项要变号合并同类项将方程化为ax=b的最 简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母 及其指数/、变化系数为1方程的左右两边同时除 以未知数系数或乘以未 知数系数的倒数等式的基本性质2分子、分母/、能颠倒解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不
11、一定全部都用到，也不一定按照顺序进行， 可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验.【例31】 下列各选项中的变形属于移项的是().A.由 2x=4,得 x=2B.由 7x+3 = x+5,得 7x+3=5+.xC. 由 8 x= x 5,得一x x= 1 5 8D.由 x+ 9= 3x- 1,得 3x-1 = x+ 9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项 B中x+ 5变成5+x是应用加法交换 律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项 D是应用等式的对称性a=b,则b=a”所作的变形.所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例32】解方
12、程专-5 = x=-1.3 4分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12,去掉分母得4(2-x)-60=3(x-1),再按照步骤求解，特别注意5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12,得 4(2 x) 60= 3(x 1).去括号，得 8-4x- 60=3x-3.移项，得4x 3x= 38+ 60.合并同类项，得7x=49.两边同除以一7,彳导x=-7.4 .解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础.
13、 解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x=a(a是一个已知数).(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同 的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算.(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘 以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.【例4】解方程0.4x 9 x 50.52TO03+0.02x0.03.分析：由于若和喝詈的分子、分母中含有小数,可利用分数的基本性质把小数化为整数,0 4
14、x9 . 一一在式子f的分子、分母中都乘以4x 9010,变为在式子0.03 + 0.02x003 3+ 2x 分子、分母中都乘以100,变为31rx,然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解.3解：分母整数化，得4x90 _x-5 3+ 2x52= 3 .去分母，得6(4x-90)-15(x-5) = 10(3+ 2x).去括号，得24x- 540-15x+75=30 + 20x.移项，得24x- 15x- 20x= 540 75 + 30.合并同类项，得-11x= 495.两边同除以一11,得x= - 45.5 .与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时
15、的主要命题点.解题的关键是理解方程的解的概念.(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立， 则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值.(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未 知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值.【例51】 关于x的方程3x+ 5=0与3x+3k=1的解相同，则k=().A.-2B.4C. 2D.-433解析：解方程3x+5=0,得x= - 3.将x= 5代入方程3x+ 3k=1, 3得一5+ 3k=1,解得k=2,故应选 C.答案：C【例52】 若关于x的方程(m 6
16、)x=m 4的解为x= 2,则m =.解析：把x= 2代入方程(m 6)x= m4,得(m6)x 2= m4,解得 m= 8.答案：86 .一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1,可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解 题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧.(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法
17、.(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快.有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便.巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣.【例61】解方程： x ： 4 =.x+1. 4 32分析：注意到34=1,把3乘以中括号的每一项，则可先去中括号，7x41x-I -3X4434432443113= 2x+1,再去小括号为11x- 4-3 = 3x+ 1 ,再按步骤解方程就非常简捷了.解：去括号，得2x 4 3=2x+ 1.移项，合并同类项，
18、得一x=17.4一 .一*-17两边同除以一1,得x=- 147.【例62】 解方程亨号=柴号. 7564分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母， 则两边乘以最小公倍5 x+ 3 7 x+22 x+ 1 3 x+ 435=12数420,运算量大容易出错，我们可两边分别通分, 把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.解：方程两边分别通分，得5 x+ 3 7 x+ 2352 x+ 1 3 x+ 412.化简,2x+ 135-x- 1012.去分母,得 r12( 2x+ 1) = 35(-x-10).去括号，得24x+ 12=- 35x- 350.移项、合并同类项，得 11x=
19、 362.两边同除以11,得x=-362.7 .列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可.(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值.列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系.再列出方程，解方程从而求出字母的取值.谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发
20、掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识.【例71 当a =时，式子2a+1与2a互为相反数.(2)若6的倒数等于x+ 2,则x的值为.解析：(1)根据互为相反数的两数和为0,可得一元一次方程 2a+1+(2 a)=0,解得a=3; (2)由倒数的概念：乘积为 1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x+2) = 1,解得x=11,、11答案：-3-161【例72】 已知x= 2是方程与U + 塔2-x = xk的解，求k的值.362分析：把乂= 2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出 k的值.解：把x= 2代入原方程，得2k 3k+ 234-2+ k (2) = i去分母，得2(2k)+3k+2(2)X 6=3(2+ k).去括号，得-4-2k+3k+2+12=- 6 +3k.移项、合并同类项，得-2k=- 16.方程两边同除以一2,得k= 8.