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1、新人教版-八年级（上）-数学-第十一章,11.2.1 三角形的内角,学 习 目 标,1,1.掌握三角形内角和定理及其推论2.会用添加辅助线的方法进行证明3.灵活运用三角形内角和定理,重点 ：,1、能用多种方法证明三角形内角和定理 2、会在证明中添加合适的辅助线。,三角形两边的夹角叫做三角形的内角,三角形的内角,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？Z xxk,
2、内角三兄弟之争,如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?,想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?,思考与探索,把三个角拼在一起试试看,三角形的内角和是180度。,方法一：,演示,下一页,方法二: 将各角沿着一边所在的直线折叠,如果ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把A、B撕下来再分别放在1、2的位置上，那么又如何论证A+B+C= 180呢？,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,于是CEBA,(内错角相等，两直线平行).,B=2 Z xxk,(两直线平行，同位角相等).,1+2+ACB=180,A+B+A
3、CB=180,在ABC的外部，以CA为一边，,CE为另一边作1=A，,证法一,(等量代换),2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,过C作CEBA，, A=1,(两直线平行，内错角相等),B=2,(两直线平行，同位角相等),1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,证法二,(等量代换),F,2,1,E,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,过A作EFBC，,B=2,(两直线平行,内错角相等),C=1,(两直线平行,内错角相等),2+1+BAC=180,B+C+BAC=180,证法三,(等量代换),C,B,E,A,三角形的内角和等于1800.,过A作A
4、EBC，,B=BAE,(两直线平行,内错角相等),EAB+BAC+C=180,(两直线平行,同旁内角互补),B+C+BAC=180,证法四,(等量代换),在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。,为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.,思路总结,三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.即在ABC中， A +B +C=180 ,A+B+C=1800的几种变形:A=1800 (B+C).B=1800 (A+C).C=1800 (A+B).A+B=1800-C.B+C=1800-A.A+C
5、=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。即在直角 A B C 中，若C =90， 则A +B =90 。 Z x xk直角三角形ABC，记作：RtABC,定理应用,三角形的三内角和是180 ，所以三内角可能出现的情况：,一个钝角 两个锐角,钝角三角形,锐角三角形,一个直角 两个锐角,直角三角形,三个都为锐角,(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?,（2）60， 40， 90,（3）30， 60， 50,（1）3， 150， 27,（是 ）,（ 不是）,（ 不是）,巩固练习,已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
6、,解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,由三角形内角和为180得,x+3x+5x=180,解得x=20,所以三个内角度数分别为20,60,100。,（1）在ABC中，A=35， B=43 C= . （2）在ABC中， A :B:C=2:3:4则A = _ B= C= . （3） A ： B ：C=3：2：1，问 ABC是_三角形.（4） A C =35 B C =10 ，则B =？,（5）一个三角形中最多有 个直角，最多有_ 个钝角，最多有_个锐角，至少有 个锐角。（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .,应用新知,7.在ABC中，若A+B=2C，则C= 。8.ABC中,若AB
7、C,则ABC是（ ）9、如图：= 。,320,440,480,A,B,C,已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC边上的高，求DBC的度数。,解：设Ax0，则ABCC2x0,x2x2x180,（三角形内角和定理）,解得x36,C2360720,DBC1800900720（三角形内角和定理）,在BDC中，BDC900(三角形高的定义）,DBC180,?,例题讲解1,如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。求下面各题.,（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _,A,(2)从C岛看A 、B两岛的视角C是多少?,50,80,40,北,解： AD
8、BE, DABABE180, ABE 180DAB, 180 80 100,在ABC中,C 180 CAB ABC, 18030 60 90, ABCABECBE,30 ,1004060,例题讲解2,方法一,D,C,E,北,A,50,B,40 ,北,M,N,在AMC中 AMC=90, MAC=50,解：过点C画MNAD分别交AD、BE于点M、N,1,2,方法二,1=180 -90-50 =40, ADBE, AMC+ BNC =180 , BNC =90,同理得2 =50, ACB =180 -1 -2,=180 -40-50 =90,B,你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗？,1,2,50
9、,40,解： 过点C画CFAD 1DAC50 ,F, CFAD, 又AD BE, CF BE,2CBE 40 , ACB12 50 40 90 ,方法三,解：在ACD中 CAD 30 D 90 , ACD =180 -30 -90 =6 0 ,在BCD中 CBD = 45 D 90 , BCD = 180 - 90-45 =45 , ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 =15,巩固练习,1.如图,从A处观测C处时仰角CAD30,从B处观测C处时仰角CBD45.从C处观测A、B两处时视角ACB是多少?,2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完
10、全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( ),(A)带去(B)带去(C)带去(D)带和去,C,巩固练习,3.ABC中,若ABC,则ABC是( )A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形,4. 一个三角形至少有（ ） A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角,B,B,巩固练习,5. 如图ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度数.,解:,A70,ACB=180 -A-B,=180-70-50,=60,DE/BC,B=ADE50, CD平分ACB,巩固练习,证明： DE BC （已知） AED= C（两直线平行，同位角相等） C=700（已
11、知） AED= 700 （等量代换） A+ AED+ ADE=1800（三角形的内角和定理） A=600（已知） ADE=1800600700=500（等量代换） 即 ADE= 500,（第1题）,6、已知:如图在ABC中，DEBC,A=600, C=700. 求证： ADE=500,7、如图，直线ABCD,在AB、CD外有一点P，连结 PB、PD，交CD于E点。 则 B、 D、 P 之间是否存在一定的大小关系？,他们是怎样的，并加以证明？,甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？,甲,乙,450,？,450,16米,解:由题意知,A,B,C,BC=AB=16,答:两楼的距离是16米.,拓展与思考1,2、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？,解:设A=x,那么B=2x,C=3x,根据题意得:,解得,A=30,B=60,C=90,所以是直角三角形,拓展与思考2,小结,1、三角形的内角和定理：三角形内角和为180,2、由三角形内角和等于180，可得出,(1)推论： 直角三角形中，两锐角互余；,(2)一个三角形最多有一个直角或一个钝角或三个锐角，最少有两个锐角；,(3)一个三角形中至少有一个角小于或等于60,3、三角形按角分类：,斜三角形,钝角三角形,再见,