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1、小学数学归一问题应用题、归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多 少（即单一量），然后以单一量为标 准，求出所要求的数量。这类应用题叫 做归一问题。【数量关系】 总量份数 1 份数量1 份数量所占份数所求几 份的数量另一总量（总量份数）所 求份数【解题思路和方法】 先求出单一量， 以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的 铅笔 16 支，需要多少钱？例 2 3台拖拉机 3 天耕地 90公顷，照 这样计算， 5 台拖拉机 6 天耕地多少公 顷？例 3：王师傅用 3 小时加工了 42 个零 件，照这样计算， 8 小时可以加工多少 个零件？例 4：王师傅用
2、 3 小时加工了 42 个零 件，照这样计算，几小时可以加工 224 个零件？例 5：工程队用 3 台压路机 5 小时可以 压路 3000米。照这样计算， 5 台压路机 8小时可以压路多少米？例 6 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢 材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105吨 钢材，需要运几次？例 7： 3台车床 4 小时可以加工零件180个。照这样计算， 5 台车床加工 600 个零件要几小时？例 8： 某工人生产一种零件， 13 分钟 生产 45 个，照这样计算，生产 180个零件需要多少分钟？现在你可以解归一问题了，找一些 题练练吧。解归一问题时要记住：先求 出“单一量”；分析是
3、“顺归一”还是“逆归 一”；注意有时要用倍比方法来解。通过分析和解题，我们得到解归一问题的基本方法： 先求出“单一量”。 顺归一：单一量份数 =总量 逆归一：总量单一量 =份数运用上面的方法我们就可以顺利解题：鸡兔同笼例题 1. 笼子里有若干只鸡和兔。从上面 数，有 8 个头，从下面数，有 26 只脚 和兔各有多少只？解题方法： 假设法： 如果笼子里都是鸡，那么就有2=16只脚，这样就多出26-16=10 只脚；一只兔子比一只鸡多 2 只脚，也就是 有 102=5 只兔。所以笼子里有 3 只鸡，5 只兔（总脚数总头数 2） 2= 兔子数总头数兔子数 =鸡数 假设法： 如果笼子里都是兔，那么就有
4、4=32只脚，这样就少了32-26=6 只脚；一只鸡比一只兔子少 2 只脚，也就是 有 62=3只鸡。所以笼子里有 3 只鸡， 5只兔 （总头数 4-总脚数 ） 2=鸡数 总头数 鸡数=兔子数 抬腿法： 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬 起两只脚，还有 262=13 只脚；这时每 只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多 1；这时脚的总数与头的总数之差 13- 总脚数 2-总头数 =兔子数 . 总头数 -兔子数 =鸡数=5，就是兔子的只数 解方程法： 解：设有只兔子，那么就有（-只鸡鸡兔总共 26 只脚，就是： 4 +28- ) =26=55=3只例题 2.买一些
5、 4 分和分的邮票，共花角。已知分的邮票比 4 分的邮票多40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张分的邮票，余下的邮票中分与 4 分的张数就一样多(680-8 40) (8+4)=30 (张)，这就知道，余下的 邮票 中，分和 4分的各有 30 张因此 8 分邮票有40+30=70 （张） .答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张。 也可以用任意假设一个数的办法 . 解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张分。以分作为计算单位，此时邮票总值是 420+860=560.比 680 少，因此还要增加邮票。为
6、了保持差是 40，每增加 1 张 4 分，就要增 加 1 张 8 分，每种要增加的张数是(680-4 20-8 60) (4+8)=10 (张) .因此 4 分有 20+10=30 （张），分有60+10=70 (张)例 3. 一项工程，如果全是晴天， 15 天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：类似于例 3，我们设工程的全部 工作量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天完成份.用上一例题解一的方法，晴天有(150-8 3) (10+8)= 7 (天) .雨天是 7+3=10 天，总共7+10=17 (天) 答：这项工程 17 天完成。请注意，如果把 雨
7、天比晴天多 3 天去 掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又 回到上一节的问题 .差是 3，与和是 17，知 道其一，就能推算出另一个。这说明了例7，例与上一节基本问题之间的关系总脚数是 两数之和 ,如果把条件换成 两数之差 ,又应该怎样去解呢例 4. 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的 脚数少 28. 问鸡与兔各几只？解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 282=14 （只），鸡与兔脚数就相 等，兔的脚是鸡的脚 42=2 （倍），于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍。兔的只数是(100+28 2) (2+1)=3鸡是100-38=62 (只) .答：鸡 62 只，兔 3当然也可以去
8、掉兔 284=7（只） .兔的只数是(100-24) (2+1)+7=3也可以用任意假设一个数的办法解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50 （只） .此时脚数之差是450-2 50=100,比 28 多了 72. 就说明假设的兔数多了鸡数少了） .为了保持总数是 100 ，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只 鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是 2）. 因 此要减少的兔数是(100-28) (4+2)=12 (只) . 兔只数是50-12=3只）另外，还存在下面这样的问题：总头数 换成两数之差 ,总脚数也换成 两数之差 . 例 5. 古诗中，五言绝句是四句诗，每句
9、都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都 是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20 个字. 问两种诗各多少首？解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280字）每首字数相差字）因此，七言绝句有280(28-20)=35 (首) .五言绝句有35+13=4答：五言绝句 4首，七言绝句 35解二：假设五言绝句是 23 首，那么根 据相差 13 首，七言绝句是 10 首 .字数分别是 2023=460 （字）， 2810=280 （字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180 （字） .与题目中 少 20 字相差18
10、0+20=200 （字） .说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25 （首）五言绝句有23+25=4七言绝句有10+25=35 （首） 例 6 . 从甲地至乙地全长 45 千米，有上坡 路，平路，下坡路 . 李强上坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下 坡速度是每小时 6 千米。从甲地到乙地， 李强行走了 10 小时；从乙地到甲地，李强 行走了 11 小时. 问从甲地到乙地，各种路 段分别是多少千米 ?解：把来回路程 452=90 （千米）算 作全程。去时上坡，回来是下坡
11、；去时下 坡回来时上坡 .把上坡和下坡合并成 一种 路程，根据例 15，平均速度是每小时 4 千 米。现在形成一个非常简单的 鸡兔同笼 问 题.头数 10+11=21 ，总脚数 90 ，鸡，兔脚 数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是（90-4 21） （5-4）=6 （小时） . 单程平路行走时间是 62=3（小时） .从甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7 （小时）行走路程是：45-5 3=30 （千米） .又是一个 鸡兔同笼 问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：（6 7-30） （6-3）=4 （小时） . 行走路程是 34=12 （千米） . 下坡行走的时间是 7-4=3 （小
12、时） .行走路程是 63=1千米）答：从甲地至乙地，上坡 12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米。例 7. 学校组织新年游艺晚会，用于奖品 的铅笔，圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了 300 元. 其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍。已 知铅笔每支 0.60 元，圆珠笔每支 2.7 元， 钢笔每支 6.3 元。问三种笔各有多少支 ?解：从条件 铅笔数量是圆珠笔的 4 倍, 这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支 圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算 作(0.60 4+2.7) 5=1.02 (元) . 现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种 笔。用鸡兔同笼 公式可算出，钢笔支数是(30
13、0-1.02 232) (6.3-1.02)=12 (支) . 铅笔和圆珠笔共232-12=220 (支) .其中圆珠笔220(4+1)=44 (支) .铅笔220-44=176 （支）答：其中钢笔 12 支，圆珠笔 44支，铅笔 176 支 例 12. 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包含不答） 1题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次 测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比 第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验 各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题全对，得 524=120 （分） .
14、那么第二次只做 对 30-24=6 （题）得分是6-2 (15-6)=30 (分)两次相差120-30=90 （分）比题目中条件相差 10 分，多了 80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少 .第一次答对减少一题，少得 5+1=6 （分），而第二次答对增加一题不但不倒 分。两者两差数就可减少扣 2 分，还可得分，因此增加+2=106+10=16 （分） .（90-10） （6+10）=5 （题） . 因此第一次答对题数要比假设（全 对）减少 5 题，也就是第一次答对 19 题， 第二次答对 30-19=11 （题） .第一次得分519-1 (24- 19)=90. 第二次得分11-2 (1
15、5-11)=80.答：第一次得 90 分，第二次得 解二：答对 30 题，也就是两次共答错24+15-30=9 （题） .第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6 （分），第二次答错一题，要从满分中扣去+2=10 （分） .答错题互换下，两次得分要相差 6+10=16 （分） .如果答错 9 题都是第一次，要从满分 中扣去 69.但两次满分都是 120 分。比题 目中条件 第一次得分多 10 分,要少了 69+10.因此，第二次答错题数是（6 9+10） （6+10）=4 （题） 第一次答错 9-4=5 （题） . 第一次得分 5（24-5）-1 5=90 （分） 答：第一次得 90 分，第二次得第二次得分(15-4)-2 4=80 (分) .