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1、导数有关的可转化为最值的多元问题1 a 2 1(本小题满分 12 分)设函数 f (x)x2 ax ln x( a R )2(1)当 a R时，讨论函数 f (x) 的单调性；( 2)若对任意 a (2,3) 及任意 x1 ， x2 1,2 ，恒有 ma ln 2 f (x1) f (x2 ) 成立， 求实数 m 的取值范围【答案】(1) a1时， f ( x )在(0,1) 单调减， (1,)单调增；111 a 2时， f ( x )在(0,1) 单调减，在(1,)单调增， (, ) 单调减；a 1 a 1当 a 2时， f (x)在(0, )上是减函数；当 a 2时， f(x)在 0, 1
2、 ,1, 为增函数 ， 1 ,1 为减函数 a 1 a 1( 2) m 0【解析】 试题分析：第一问对函数求导，导数大于零单调增，导数小于零单调减，注意对参数的 取值范围进行讨论，讨论的标准就是导数等于零时根的大小，得出相应的单调区间，第 二问 ma ln2 f (x1) f (x2) 恒成立，转化为 ma ln2大于 f(x1) f(x2) 的最大 值，而 f(x1) f(x2) 的最大值是函数在给定区间上的最大值与最小值的差距，从而求得结果，该问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，之后结合第一问，根据所给的 参数的取值范围，确定出函数的最值，从而求得结果2试题解析：(1) f (x) (
3、1 a)x a 1 (1 a)x2 ax 1 (1 a)x 1(x 1) x x xa 1时，(1 a)x 1 0，f ( x )在(0,1) 单减， (1, )单增； 1 a2 时，11，f ( x ) 在 (0,1)11单减，在(1,) 单增， (, )a1a 1 a 1单减；1当 11即 a2时，f (x) (x 1)20, f (x)在(0, ) 上是减函数；a1x当 11，即a2时，令 f (x)0 ，得 0 x111 或x 1，令 f (x) 0 ，得 1 x 1a1a 1 a 10, 1 ,1, 为增函数 ，1,1 为减函数a 1 a 12)由( 1)知，当 a (2,3) 时，
4、 f ( x)在1,2 上单调递减，当 x 1 时 ， f(x) 有 最 大 值 ， 当 x 2 时 ， f(x) 有 最 小 值 ，ln 2 ，0恒成立问题a 3a 3| f (x1)f (x2)| f(1)f (2)ln2，ma ln22 22 213113而 a0 经整理得m 13 由 2 a 3得1130, m22a422a考点：应用导数研究函数的单调性， 利用导数求函数在给定区间上的最值， 2(本小题满分 14 分)已知函数 f(x) ex(sin x cosx) a( a为常数)()已知 a3，求曲线 y f(x)在(0,f (0)处的切线方程；()当 0 x 时，求 f (x)
5、的值域；()设 g(x) (a2 a 10)ex ，若存在 x1，x 2 0, ，使得 f(x1) g(x2) 13 e2 成立，求实数 a 的取值范围【答案】() 2x y 2 0 ；() e a,e2 a ；() 1 a 3 【解析】试题分析：()由 f (x) 2ex cos x ，计算 f (0) 2， f (0)2，由直线方程的点斜式即得()应用导数研究函数的单调性、最值即得2() Q a2 a 10 0 ， g(x) 在0, 是增函数，2g(0) a2 a210， g( ) (a2 a 10)e ，g(x) 的值域为a2210,( a2 a 10)e 依题意，a22a0 ，解之即得
6、试题解析)f (x)(sin x cosx)ex(cos x sinx) 2ex cosx1分f (0)2，f(0)2分切线方程为： y2(x0) ，即2xy 2 0为所求的切线方程3分)由 f (x) 2ex cosx0 ，得 02 ，f (x) 2excosx0 ，得x2ymaxf (x) 在 0, 上单调递增，在2 , 上单调递减5分f (2) e2 a6分f (0) 1 a ， f ( ) e a f(0) , ymin f ( ) e a ,7分f (x) 的值域为 e a, e2 a8分) Q a2 a 10 0 ， g(x) 在0, 是增函数，22g(0) a2 a 10， g(
7、 ) (a2 a 10)e ，g( x)的值域为 a2 a 10,( a2 a 10)e 10 分Q a2 a 10 (e2 a) (a 1)2 (9 e2) 0 11 分 依题意， a2 a 10 (e2 a) 13 e2 ，12 分2即 a2 2a 3 0 ， 1 a 3 14 分考点： 1导数的几何意义； 2应用导数研究函数的单调性、最值；3转化与化归思11 与 x处都取得极值2想3 （本小题满分 12 分）已知 f x 2ax b ln x在 x x1）求 a， b的值；2）2设函数 g x x2 2mx m ，若对任意的 x112,21总存在 x2 1 , 2 ，使2得gx1x2ln
8、 x2 ，求实数m 的取值范围答案】（1）a=b= 1 ；(2) (3，3 51， 6 解析】试题分析：1）求导 数 f（x）1 处都取得极 值，得2f（ 1） 0，f 0 得关于 a，的方程组，解出a，b，然后检验； （ 2）对任意的x112,2总 存 在 x2112 ,2 使 得 gx1x2 ln x2 ， 等 价 于g( x)min (f x)lnxmin ，利用函数单调性易求 （f x） lnx min ，按照对称轴在区间g(x)min (f x)lnx min 可得答案试题解析：（1）Qbf x 2ax lnxb1x, f x 2a 2xxQ f xb2axxlnx在 x 1与 x1
9、 处都取得极值，21,2 的 左侧、2内 部、右 侧三种 情况进 行讨论可 求得 g（x）min ，然后解 不等式当 a=b =11 时， f3x21112 x 1 x233x2x3x2所以 f x2axbxln x 在x1与x12处都取得极值，所以 a=b=13( 2 )由(1)知函数yf x lnx21x 上 递 减 ，3 3x(f x)g(x)min2321327，6，1f( 1) 0， f0，22a b 10， a b2a 4b 202又函数 g(x) x2 2mx m图象的对称轴是 x m ，11 当 m 时， g( x) min g221当 2 m 2 时， g( x)ming2
10、7 2m m ， 6m 6m61171，Q成立，m；44622m mm351351，7 0，m662，3 516当 m 2 时， g( x)min g( 2)4 3m， 4 3m731， m，Q m 2， m618综上：实数 m 的取值范围为 (考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件4 (本小题满分 12 分)已知 f (x )mx a ln x m, g(x)exx ，其中 m, a 均为实数， e()求 g(x) 的极值；()设 m =1,a = 0 ，求证：对x1,x23,4(x1x2),f(x2)f (x1)ex2ex1恒成立；g(x2 ) g(x1)()设 a
11、2，若对 给定的 x0 0,e ，在区间 0,e 上总存在 t1,t2(t1 t2) 使得f (t1 )f(t2) g(x0)成立，求 m 的取值范围答案】()极大值 g (1) 1，无极小值；()证明见解析；3() me1【解析】试题分析：第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只 有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的 单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导 数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数 值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果试题解
12、析：() g(x) exx, g(x)e(xx 1), ,1 , 1, , g(x)极大ee值 g(1) 1 ，无极小值；) Q m=1,a= 0，f (x) x 1, 在 3,4上 是增函数ex xg(x) e ,在 3,4上是增函数设 3 x1x2 4 ，则原不等式转化为f (x2)- f (x1)ex2g( x2)ex1g( x1)即 f (x2)- ge(xx22) f (x1)- ge(xx11)ex令 h( x) = f ( x) - ex = x - ex - 1,g(x)即证 x1 x2, h(x2) h(x1) ，即 h(x) 在 3,4Q h(x) =1- ex F(1)=
13、0, F (3) =6( ln 3-1)0, F(4)=6(ln4-2)0 ， x0 ( 3,4 ),即可得 到结果；(3)当 b a 2时, F (x) a 2x (a 2) (2x a)(x 1), xx由题知 F (x)=0 在( 0,+ )上有两个不同根 x1,x2,则a0 且a-2,此时 F (x)=0的两 根为 a ,1,2a当 a 0, a -4, 此时 1 即可得到 F(x) 与 F (x) 随 x 的变化情况表；又2| F(x1)- F(x2) |= F(x) 极| F(x1)- F(x2) |= F(x) 极大值 - F(x) 极小值； 根据变化情况表可知大值 - F(x)
14、 极小值 =aln( a )+ 由题知 f(2) g(2) f (2) g (2) a 1,24设 (a) aln( a) 1a22411到 (a) 0 ，可知a21,可得 (a) ln( a) 1a 1，22(a)在( , )上4是增函数(a) 1 1 ,即可得a2(a) ( 4)=3 4ln 2 ，即可求出结果解得 a0 4 2b ,即1 a(4 b) 12) F(x)a 2x bx由题知F (2) 0,即F(1) 0a4b21 b 00 解得 a6,b F(x) 6ln x (x2 x) , F (x)6 2x1= (2x 3)(x 2)0 , 解得 x 2 x 0,由F (x) 0,解
15、得 0 x 2;由 F (x)F(x)在(0,2)上单调递增 ,在(2, ) 单调递减 , 故 F(x)至多有两个零点 ,其中 x1 (0, 2) , x2 (2, )3)当 b a 2时,F(x)=aln x x2 (a 2)x,F (x) a 2x (a 2) (2x a)(x 1) ,xx由题知 F (x)=0 在( 0,+ )上有两个不同根 x1, x2,则a1, 则 a + a +11, a2 +4a0 24a又 a0, a 12则F(x)与F (x)随x的变化情况如下表(0,1)1(1, - a )2-a2a ( - ,+ )2F (x)-0+0-F(x)极小值极大值a a 1|
16、F(x1)- F(x2)|= F (x) 极大值- F(x) 极小值 =F(- )F( 1) = a ln( )+ a21,1 2 2 2 4设 (a) aln( a12)a1,则(a)ln( a)1 a 12422111111(a), a 4,(a)0a2a4a2 (a) 在( ,)4上是增函数 ,(a) ( 4) =3-4 ln 2 所以 F(x1) F(x2) 3 4ln 2.考点： 1. 函数的极值； 2.导数在函数单调性中的应用； 3.导数在求函数最值中的应用 2236.已知函数 f (x) x2ax3(a 0),x R3(1)求 f (x) 的单调区间和极值；2)若对于任意的 x1
17、 (2,)，都存在 x2 (1, ) ，使得 f (x1) f (x2) 1 ，求 a 的 取值范围11【答案】(1)所以 f (x)的单调增区间是 (0, 1 ) ，单调减区间是 ( ,0) 和 (1, )，当 aa11x 0时， f (x) 取极小值 0，当 x 时， f(x) 取极大值 2 ；a3a2(2)433当1 3 2，即 3 a 3 时，有 f (2) 0，此时 f (x)在 (2, )上单调递减，故2a42A ( , f(2) ，因而 A ( ,0) ，由 f(1) 0 有 f (x) 在(1, )的取值范围包含( ,0) ，所以 A B ；3 3 1 当 1，即a 时，有 f
18、(1) 0，此时 f(x)在(1, )上单调递减， B ( ,0) ， 2a 2 f (1)A ( , f (2) ，所以 A 不是 B 的子集；33综上 a的取值范围为 3, 342考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数的值域, 2342【解析】 试题分析：对于第一问，注意应用导数，确定出函数的单调区间，进而得出函数的极值 点，代入求得函数的极值，第二问注意应用集合间的关系，找到满足的条件，注意分类 讨论1 2x 试题解析： ( 1)由已知有 f (x) 2x 2ax (a 0).令 f (x) 0，解得 x 0或 a ，列表如下：x( ,0)01(0, )a1 a1 (,a)f (
19、x)00f(x)0Z13a2所以 f (x) 的单调增区间是1(0, 1 ) ，单调减区间是1 ( ,0) 和 (1 ,) ，当 x0时，f(x)aa1取极小值 0 ，当 x 时，1f (x) 取极大值 2 ；a3a23 ) 时， f ( x)(23a,3(2)由 f (0) f( )0 及( 1 )知，当 x (0,0 ，当 x)2a2a2a时 ， f (x) 0 ，设 集 合 Af (x) | x (2,)，集合1B | x (1, ), f (x) 0 ，则“对于任意的 x1 (2, )，都存在 x2 (1, ) ， f ( x)使得 f (x1) f (x2) 1”等价于 A B，显然 0 B，下面分三种情况讨论：333当2，即0 a 时，由 f( ) 0可知0 A而0 B，所以 A不是 B的子集；2 a42a2f (x 1) g(x)=aln x (x2 bx), F (x)