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1、.初中九年级数学上册第1讲：一元二次方程一：思维导图二：知识点讲解知识点一：一元二次方程的定义及一般形式 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系统；是常数项 构成一元二次方程的三个条件： 是整式方程 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程 “”是一元二次方程的重要组成部分。当，时，它就成为一元一次方程。若方程未指明，则它不一定是一元二次方程例1：下面关于的方程：；(为任意实数)；。其中，为一元二次方程的有
2、（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个知识点二：一元二次方程的根 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根例2：若是方程的一个根，则的值为（ ）A.B.C.D.知识点三：根据实际问题列出一元二次方程 步骤1 正确理解题目的含义2 找出其中的数量关系和等量关系3 列出一元二次方程例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地
3、面长比宽多2米。求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。若设该矩形铁皮的宽是米，则根据题意，可得方程 。三：知识点复习知识点一：一元二次方程的定义及一般形式1. 若关于的方程是一元二次方程，则（ ）A.B.C.D.2. 若方程是一元二次方程，则的值为（ ）A.0B.1C.2D.33. 一元二次方程的一次项系数及常数项之和为 。4. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。知识点二：一元二次方程的根5. 求一元二次方程的根？知识点三：根据实际问题列出一元二次方程6. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九
4、年级共有多少个班。设九年级共有个班，根据题意列出的方程是（ ）A.B.C.D.7. 有一个矩形铁皮，长是30cm，宽是20cm，中间挖去144cm的矩形，剩下的铁框四周一样宽，若设宽度为cm，根据题意可得方程 。三：题型分析题型一：应用一元二次方程的定义求值例1：已知是关于的一元二次方程，则= 。题型二：应用一元二次方程的解的定义求值例2：若、是方程的两个实根，则= 。题型三：对含有参数的方程的讨论例3：若是关于的方程，求的值。易错点一：未整理成一般形式就确定各项及系数，导致错解确定一元二次方程的各项系数及常数项时，必须将方程化为一般形式。若二次项系数为负数，一般将二次项系数化为证书，再确定各
5、项系数及常数项。例4：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A.B.C.D.A. 4，0，1 B. 4，1，1 C. 4，1，-1 D. 4，1，0易错点二：理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件在二次项系数含有字母的一元二次方程中，一定要注意二次项系数不为0是一元二次方程的概念中不可缺少的条件，不能忽略。例5：方程是关于的一元二次方程，则= 。五：习题1：选择题1) 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A.0B.1C.2D.42) 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ）A.1B.-1C.3D.-33) 下列方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ）A.B.C.D.
6、4) 生物兴趣小组的学生将自己收集的标本想本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有名学生，则根据题意列出的方程是（ ）A.B.C.D.5) 若2是方程的一个根，则常数的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-26) 有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A.B.C.D.7) 若关于的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，则的值是（ ）A.B.C.D.8) 我们知道方程的解是，。现给出另一个方程，它的解是（ ）A.，B.，C.，D.，2：填空题9) 若是关于的方程的一个根，则代数式的值是 。10) 一元二次方程的一个根是1，且、满足，则= ，= ，= 。11) 已知是方程的一个根，则代数式的值是 。12) 把一元二次方程化为二次项系数大于零的一般式是 。13) 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 。14) 已知是关于的方程的一个根，则= 。15) 已知是关于的方程的一个根，则= 。16) 关于的一元二次方程的一个根为2，则= 。3：解答题17) 已知关于的一元二次方程。1 若，求证：必是该方程的一个根2 当、之间的关系是 时，方程必有一根是。*;第 5 页