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1、1234常用数学公式代数绝对值与不等式a, a 绝对值定义： |a| a, a a,a00a2 |a|，| a| |a|a|a |a|若|a| b (b 0) ，则bab 若|a|b (b 0) ，则 ab 或 a b（三角不等式） |ab| |a|b|，|ab| |a|b|ab | |a| |b|ab|a| (b 0)|b|指数运算ax ay ax yx a ayax yx(ax)y axy (ab)x axbx(a)xaxbbxx ayyaxx a1x a a0 1对数运算（ a 0,a1）零和负数没有对数loga a 1loga 1 0log a(xy)loga xlogayloga x
2、 loga x log a yylog a xbblog a x对数恒等式 aloga y y换底公式log a ylogb logby ae 2.718 281 828 459lg e log10 e 0.434 294 481 903 ln10 log e 10 2.30 258 509 299乘法及因式分解公式(xa)(xb)x(a b)x ab(xy)22 x2xy2 y(xy)33 x3x2 y233xy y2 2 2 2 (x y z) x y z 2xy 2yz 2xz223x y 3xy223y2z 3yz2223x z 3xz 6xyz2x2 y(xy)(xy)3 x3 y(
3、xy)(x22 mxy y )n xn y(xy)(xn1 n 2xyn xn y(xy)(xn1 n 2 xyn xn y(xy)(xn1 n 2xy3 x3 y3 z3xyz(x y z (x y z)3333 xyz x4 x2 y2n x32 yn2xyn y1)n x32 yn2xyn y1)(n为偶数）n x32 yn2xyn y1)（n为奇数）222(xyz xyyzxz)4 2 2 2 2y (x xy y )(x xy y )5数列 等差数列前n项和 Sn(a1 an)n na1 n(n 1)d2 1 2特例：1 2 3(nn(n 1)1) n2135(2n3) (2n 1)
4、 n2246(2n2) 2n n(n 1) 等比数列通项公式 anna1q1（ a1为首项， q为公比， q 1）通项公式 an a1 （n 1）d （ a1为首项， d 为公差）a1前n项和 Sna1(1 qn)1q1anq q 12 22 32n2 1n(n 1)(2n 1)622 13 23 33n3 n (n 1) 12 32 52(2n 1)2n(4n2 1)(ab)nn n 1 n(n a na b2!1)an2 2 n(n b1)(n3!2)an 3b3n(n 1)(n k1)n k k bnabn1nbnk0k n k kCna bk!a二、三角1基本关系式tansincotc
5、ostan1cossincotcsc12 sin2 cos11 tan22 secsin seccos 1 cot2csc2333135(2n1)32 n(2n2 1)12(n1), n为奇数1 2 3 (1)n1n2nn为偶数21 2 2 3 3 4n(n1)11n(n 1)(n 2)36牛顿二项公式2诱导公式角A函数A2A3 A2A2sin AcosmsincossincosAmsincossincostanAmcottanmcottancot Amtancotmtancot3和差公式tan()tantantan1mtansinsin2sincos22coscos2coscos22sinc
6、os1 sin()sin(2coscos1 cos()cos(2 sin() sin cos cos sincot()cot cot m1cot cotsinsin2cossin22coscos2sinsin22)cossin1 sin( )2sin( )sinsin1 cos() cos2 cos() cos cos sin sin4倍角和半角公式 sin2 2sin cos cos2cos2sin 2 tan2 sin 22tan1 tan21 cos1 c2os cot2 tan 211coscos cos2 cot 2cot212cot三、初等几何在下列公式中，字母 R、 r 表示半径
7、，h 表示高， l 表示斜高，s 表示弧长。1圆；圆扇形圆周长 2 r ；圆面积 r 2 圆扇形：圆弧长 s r (圆心角 以弧度计)r (圆心角 以度计)180扇形面积 1rs 1r 2222正圆锥；正棱锥正圆锥：体积 1 r 2h3侧面积 rl全面积 r(r l)正棱锥：体积 1 底面积 高31侧面积 1 斜高 底周长23圆台：体积h(R2 r 2 Rr ) ；侧面积 l(R r)34球：体积 4 r3 ；表面积 4 r23四、导数和微分1基本求导公式 (C) 0(C 为常数) (xn) nxn 1 ；一般地， (x ) x特别地： (x) 1，(x2)2x，1 ()12 ， ( x)1x
8、x2x (ex) ex ；一般地，(ax)ax lna (a 0,a 1)。1 (ln x) ；x一般地，(log ax)1(a 0,a xlna1)。 (sin x) cos x ， (cos x)sin x ， (tan x) sec2 x，2(cot x) csc x ， (secx) tanxsecx ， (csc x) cot x csc x 。 (arcsin x)， (arccos x)1 x211 x2(arctan x)11 x2(arc cot x)11 x21x x2 1(arc sec x)， (arc csc x)x x2 12求导法则 四则运算法则设 f(x)， g
9、(x)均在点 x 可导，则有：() ( f (x) g(x) f (x) g (x) ；() (f (x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf (x) Cf (x) (C为常数)；()( f(x) f (x)g(x)2 f(x)g(x), (g(x) 0)，g(x)g2 (x)特别( 1 )g2(x) 。g(x)g2 (x) 复合函数求导法则设函数 y = f(u)， u( x)均可导，则 y f( (x)关于 x的导数恰为 f(u)及 (x)的导数的乘积：dy df ( (x) dy du ( )。f (u) (x)( yx yu ux )。dx dx du dx推广
10、 若 y f (u),u g(v),v h(x)，则：dy dy du dvf (u) g (v) h(x)( yx yu uv vx)。dx du dv dx3微分 函数 y f(x)在点 x 处的微分： dy y dx f (x)dx 微分规则设函数 u = u(x)， v = v(x)均可微， C为常数，则有() d(Cu) Cdu； d(u v) du dv；) d(uv) vdu udv ；u vdu udv() d( ) 2 (v 0) 。 vv若函数 y f(u),u( x)均可微，则复合函数 y f( (x)也可微，且有dy f (u)duf (u) (x)dx 。五、不定积分
11、1常用的不定积分公式 0dx C ；1 dx ln | x| C ；xx axdx a C(a 0,a 1) ；lna sin xdx cosx C ；11 x dx x 1 C (1) ；1 ex dx ex C ； cosxdx sinx C ；2 sec xdx tanx C ； csc2 xdx cotx C ；dx arcsin x C1 x2arccos x C ；2 dx arctan x C1 x2arccot x C 2不定积分的性质和法则 ( f (x)dx) f (x) 或d f (x)dx f (x)dx F (x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C (
12、f (x) g( x) dx f (x)dx g(x)dx kf ( x)dx k f(x)dx(k 为常数) 凑微分法设 F(u)是 f(u)的原函数，u =( x)可导，则F (x)是 f (x) ( x)的原函数。即若 f(x)dx F(x) C，则 f (x) (x)dxf (x)d (x) F (x) C 换元积分法设x (t)可导，且 (t) 0，又 f (t) (t)有原函数 F(t)，则1f(x)dx f (t) (t)dt F(t) C F 1(x) C其中t1(x)是 x(t)的反函数 分部积分法vduu(x)v (x)dx u( x) v( x) v(x)u (x)dx
13、或简写成 udv uv六、定积分1定积分性质和运算b a k1 f (x) k2g(x)dxabk1 f (x)dxk2ba g(x)dx其中 k1,k2为任意常数。bcf (x)dx f (x)dxaabf(x)dx cba g(x)dxbf (x)dx M (b a) ab若 f(x) g(x),x a,b，则 f (x)dx a若m f(x) M ,x a,b ，则m(b a)定积分中值定理设 f(x)在区间a，b上连续，则在 a，b上至少存在一点 ，使ba f (x)dx f( ) (b a) a2由上式，得 f ( ) b牛顿莱布尼兹公式1bf (x) dx ，此值称为函数 f (x)在区间 a， aab上的平均值。3若函数 f(x)在区间 a，bf (x)dx a积分法b上连续， F(x)是 f(x)的一个原函数，即 FF(x) |ba F(b) F(a)(x) f (x)，则换元积分法设函数 f(x)在区间 a，b上连续，作变换 x (t) ，如果 (t)在区间 , 上连续； 当 t从 变到 时， (t)从 ( ) a 单调地变到 ( ) b，则有ba f (x)dx f (t) (t)dt a分部积分法bba a v(x)du(x)a设 u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数 u (x),v (x) ，则bu(x)dv(x) u(x)v(x) a