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1、2001 年全国初中数学联赛 一、选择题（每小题 7 分，共 42 分） 1、a，b，c 为有理数，且等式成立，则62532cba 2a+999b+1001c 的值是（ ） （A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若，且有 5a2+2001a+9=0 及，则的值是（ 1ab0520019 2 bb b a ） （A）（B）（C）（D） 5 9 9 5 5 2001 9 2001 3、已知在ABC 中，ACB=900，ABC=150，BC=1，则 AC 的长为（ ） （A）（B）（C）（D）32 32 3023 4、如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的一点，下面四种情
2、况中， ABDACB 不一定成立的情况是（ ） （A） （B）BDABBCADACADAB 2 （C）ABD=ACB （D）BDACBCAB 5、在实数范围内，一元二次方程的根为；0 2 cbxax a acbb x 2 4 2 在ABC 中，若，则ABC 是锐角三角形；在ABC 和 222 ABBCAC 中，a，b，c 分别为ABC 的三边，分别为的三边，若 111 CBA 111 ,cba 111 CBA ，则ABC 的面积 S 大于的面积。以上三个命题中， 111 ,ccbbaa 111 CBA 1 S 假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规
3、定：如一次购物不超过 200 元，则不予折 扣；如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；如 一次购物超过 500 元的，其中 500 元按第条给予优惠，超过 500 元的部分则 给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次 购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8 元（B）510.4 元（C）560.4 元（D）472.8 二、填空题（每小题 7 分，共 28 分） 1、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0，1） ，O 为坐标原点， QPO=1500，且 P 到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为 。 2、已知半径分
4、别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P，则点 P 到两圆外公切线的 距离为 。 3、已知是正整数，并且，则= yx,120,23 22 xyxyxxy y22 yx 。 4、一个正整数，若分别加上 100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个 正整数为 。 三、解答题（共 70 分） 1、在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直线 上横坐标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求的值使得baxyba, AD2+BE2+CF2达到最大值。 （20 分） （1） 证明：若 取任意整数时，二次函数总取整数值，那么xcbxaxy 2 都是整数；cbaa,2
5、（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。 （25 分） 3、如图，D，E 是ABC 边 BC 上的两点，F 是 BC 延长线上的一点， DAE=CAF。 （1）判断ABD 的外接圆与AEC 的外接圆的位置关系，并证 明你的结论；（2）若ABD 的外接圆的半径的 2 倍，BC=6，AB=4，求 BE 的 长。 解答题： 1、如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线 EG 和 FH 所 夹的锐 角为，且BEG 与CFH 都是锐角。已知 EG=k，FH= ，四边形 EFGH 的面l B B 楃楃D D A A B BC C D D E E F F G G H H
6、O O 积为 S。 （1）求证：sin=； kl S2 （2）试用来表示正方形的面积。Slk , 2、求所有的正整数 a，b，c，使得关于 x 的方程，023 2 baxx ， 023 2 cbxx 的所有的根都是正整数。023 2 acxx 3、在锐角ABC 中，ADBC，D 为垂足，DEAC，E 为垂足， DFAB，F 为垂足。O 为ABC 的外心。 求证：（1）AEFABC； （2）AOEF 4、如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，直线 平行于 BD，且l 与 AB、DC、BC、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M、N、R、S 和 P。 求证：PM PNPR PS l A B D MNP O C R S