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1、DOC-初三二次函数知识点和练习题初三二次函数知识点和练习题 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1(二次函数的概念:一般地，形如y ax2,bx,c(a，b，c是常数，的函数，叫做二次函数。 这a 0)里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c可以为零(二次函数的定义域是全体实数( 2. 二次函数y ax2,bx,c的结构特征: ? 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2( ? a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项( 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:y ax2的性质: a 的绝对值越大，抛物线的开口
2、越小。 2. y ax2,c的性质: 上加下减。 3. y a,x,h,的性质: 左加右减。 2 第 1 页 共 14 页 4. y a,x,h,k的性质: 2 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式y a,x,h,k，确定其顶点坐标,h，k,; ? 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到,h，k,处，具体平移方法如下: 2 向右(h0)【或左(h平移|k|个单位 【或左(h0)】 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移;k值正上移，负下移”( 概八个字“左加右减，上加下减”( 方法括成二: ?y ax,bx,c沿y轴平移:向上
3、(下)平移m个单位，y ax,bx,c变成 y ax 2 2 2 ,bx,c,m(或y ax 2 2 ,bx,c,m) 2 ?y ax,bx,c沿轴平移:向左(右)平移m个单位，y ax,bx,c变成 y a(x,m),b(x,m),c(或y a(x,m),b(x,m),c) 2 2 四、二次函数y a,x,h, 2 ,k 与y ax2,bx,c的比较 2 从解析式上看，y a,x,h,k与y ax2,bx,c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 b 4ac,bb4ac,b ,h ,，k 者，即y a x,，其中( 2a 4a2a4a 2 2 2 第 2 页 共 14 页 五、二次函数
4、y ax2 ,bx,c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数y ax2,bx,c化为顶点式y a(x,h)2,k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点,0，c,、以及,0，c,关于对称轴对称的点,2h，c,、与x轴的交点,x1，0,，,x2，0,(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y ax2,bx,c的性质 2 b4ac,b 1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ,，顶点坐标为 , ( 2a2a4a
5、 b 当x ,值 b2a 2 时，y随x的增大而减小;当x ,( b2a 时，y随x的增大而增大;当x , b2a 时，y有最小 4ac,b4a 2 b4ac,b b 2. 当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ,，顶点坐标为 ,时，y随 (当x , 2a2a2a4a b x的增大而增大;当x , b2a 时，y随x的增大而减小;当x , b2a 时，y有最大值 4ac,b4a 2 ( 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:y ax2,bx,c(a，b，c为常数，a 0); 2. 顶点式:y a(x,h)2,k(a，h，k为常数，a 0); 3. 两根式:y a(x,x1)(x,x2)
6、(a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2,4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y ax2,bx,c中，a作为二次项系数，显然a 0( ? 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大; ? 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大( 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正
7、负决定开口方向，a的大小决定开口的大小( 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴( ? 在a 0的前提下， 当b 0时，, b2a 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧; 第 3 页 共 14 页 当b 0时，, 当b 0时，,b2ab 2a 0 0，即抛物线的对称轴就是y轴; ，即抛物线对称轴在y轴的右侧( ? 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b 0时，, 当b 0时，, 当b 0时，,b2ab2ab 2a 0 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧; ，即抛物线的对称轴就是y轴; ，即抛物线对称轴在y轴的左侧( 0 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线
8、对称轴的位置( ab的符号的判定:对称轴x ,b 2a在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab 0，概括的说就是 “左同右异” 总结: 3. 常数项c ? 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ? 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ? 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负( 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置( 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析
9、式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y a2x,bx,关于cx轴对称后，得到的解析式是y ,ax,bx,c; y a,x,h,k2关于x轴对称后，得到的解析式是y ,a,x,h,k; 2 2. 关于y轴对称 2x,bx,关于
10、cy轴对称后，得到的解析式是y ax,bx,c; y a2 y a,x,h,k2关于y轴对称后，得到的解析式是y a,x,h,k; 2 3. 关于原点对称 2x,bx,关于原点对称后，得到的解析式是cy ,ax,bx,c; y a2 第 4 页 共 14 页 y a,x,h,关于原点对称后，得到的解析式是ky ,a,x,h,k; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) y ax,bxy ,ax,bx,c,关于顶点对称后，得到的解析式是c2222b2 2a; y a,x,h,k2关于顶点对称后，得到的解析式是y ,a,x,h,k( 2 5. 关于点,m，n,对称 y a,x,h,k2
11、关于点,m，n,对称后，得到的解析式是y ,a,x,h,2m,2n,k 2 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 一元二次方程ax2,bx,c 0是二次函数y ax2,bx,c当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数: ? 当
12、b2,4ac 0时，图象与x轴交于两点A,x1，0,，B,x2，0,(x1 x2)，其中的x1，x2是一元二次 方程ax,bx,c 0,a 0,的两根(这两点间的距离AB x2,x1 2. ? 当 0时，图象与x轴只有一个交点; ? 当 0时，图象与x轴没有交点. 1 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0; 2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0( 2. 抛物线y ax2,bx,c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c); 3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; ? 求二次函数的最大(小)
13、值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ? 根据图象的位置判断二次函数y ax2,bx,c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号 判断图象的位置，要数形结合; ? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一 个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2,bx,c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 第 5 页 共 14 页 二次函数图像参考: 2 2-3 2y=-2x2 十一、函数的应用 刹车距离二
14、次函数应用 何时获得最 大利润 最大面积是多少 第 6 页 共 14 页 y=3(x+4)2 y=3x2 2 y=-2(x-3)2 二次函数考查重点与常见题型 1( 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 已知以x为自变量的二次函数y (m,2)x2,m2,m,2的图像经过原点， 则m的值是 2( 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 如图，如果函数y kx,b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2,bx,1的图像大致是( ) 3( 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现
15、的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如: 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x 5 3，求这条抛物线的解析式。 4( 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如: 3已知抛物线y ax2,bx,c(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y 2 (1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 (1)二次函数y ax2,bx,c的图像如图1，则点M(b,)在( ) ac A(第一象限
16、B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 (2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a?0)的图象如图2所示，则下列结论:?a、b同号;?当x=1和x=3时，函数值相等;?4a+b=0;?当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键( O)、(x1，0)， 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，且1x12，与y轴的正半轴的交 点在点(O，2)的下方(下列结论:?abO;?4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C.
17、3个 D(4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 第 7 页 共 14 页 例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线22 x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案:C 例4、如图(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合(设 2x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym( (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2，3.5时，y分别是多少, (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间,求抛
18、物线顶点坐标、 对称轴. 125例5、已知抛物线y=x+x-( 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 例6、 “已知函数y 1 2x,bx,c的图象经过点A(c，,2)， 2 求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 (2)请你根据已有的信息，在
19、原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 (1)根据y 1 2 2x,bx,c的图象经过点A(c，,2
20、)，图象的对称轴是x=3，12 2c,bc,c ,2, 得 b 3, ,1 2 2 b ,3,解得 c 2. 所以所求二次函数解析式为y (2)在解析式中令y=0，得1 2122x,3x,2.图象如图所示。 5,x2 3,5. 2x,3x,2 0，解得x 1 3, 共 14 页 第 8 页所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3,5,0). 令x=3代入解析式，得y , 所以抛物线y 1 2252, 52), x,3x,2的顶点坐标为(3, 5 2所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。 函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)
21、了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2，BF=1(试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积( 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力(同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间( 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: 若日销售量y是销售价x (1)求出日销售量
22、y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时每日销售利润是多少元, 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则 15k,b 25, 2k,b 20 解得k=-1，b=40，即一次函数表达 式为y=-x+40( (2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时，什么最大(或
23、最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 第 9 页 共 14 页 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数y x2,4x,7的顶点坐标是( ) A.(2,11) B.(,2，7) C.(2，11) D. (2，,3) 2. 把抛物线y ,2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( ) A. y ,2(x,1)2 B. y ,2(x,1)2 C. y ,2x2,1 D. y ,2x2,1 3.函数y kx2,k和y kx (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数y ax2,bx,c(a
24、 0)的图象如图所示,则下列结论: ?a,b同号;?当x 1和x 3时,函数值相等;?4a,b 0?当y ,2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数y ax2,bx,c(a 0)的顶点坐标(-1，-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2,bx,c 0的两个根分别是x1 1.3和x2 ( ) ,(,., B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y ax,bx,c的图象如图所示，则点(ac,bc)在( ) A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 7.方程2x,x 2 2
25、 2x 的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y x,x,2 B. y ,x,x,2 C. y x,x,2或y ,x,x,2 D. y ,x,x,2或y x,x,2 2 2 2 2 2 2 二、填空题 9(二次函数y x2,bx,3的对称轴是x 2，则b _。 10(已知抛物线y=-2(x+3)?+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_. 11(一个函数具有下列性质:?图象过点(,1，2)，?当x,0时，函数值y随自变量x的增大而增大;满足上述两条性质的函
26、数的解析式是 (只写一个即可)。 12(抛物线y 2(x,2)2,6的顶点为C，已知直线y ,kx,3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数y 2x2,4x,1的图象是由y 2x2,bx,c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14(如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14). 三、解答题: 15.已知二次函数图象的对称轴是x,3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,(1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
27、(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式h v0t, 2 52 ). 第15题图 12 gt (0t?2)，其中重 2 力加速度g以10米/秒计算(这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， (1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米, (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线y x2,bx,c经过直线y x,3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点
28、P为抛物线上的一个动点，求使S APC:S ACD 5 :4的点P的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)(当每吨售价为260元时，月销售量为45吨(该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销(经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨(综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元(设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)( (1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
29、 (3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元, (4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大(”你认为对吗,请说明理由( 练习试题答案 一，选择题、 1(A 2(C 3(A 4(B 5(D 6(B 7(C 8(C 二、填空题、 9(b ,4 10(x,-3 11(如y ,2x2,4,y 2x,4等(答案不唯一) 12(1 13(-8 7 14(15 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为y ax2,bx,c,由题意可得 b ,2a ,3 a,b,c ,6 5 c , 2 解得a , 12 ,b ,3,c , 52 所以y , 12 x,3x, 2 52 (2)x ,1或-5 (2
30、)x ,3 16(1)由已知得，15 20t, 12 10 t，解得t1 3,t 2 2 1当t 3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃 后1秒离地15米(2)由题意得，h ,5t2,20t,5(t,2)2,20，可知顶点的横坐标t 2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升( 9,3b,c 0 b ,2 17(1)直线y x,3与坐标轴的交点A(3，0)，B(0，,3)(则 解得 ,c ,3c 3 所以此抛物线解析式为y x,2x,3(2)抛物线的顶点D(1，,4)，与x轴的另一个交点C(, 2 1，0).设P(a,a,2a,3)，则( 4 a,2a,3):
31、( 4 4) 5:4.化简得a2,2a,3 5 2 1 2 1 22 当a,2a,3,0时，a,2a,3 5得a 4,a ,2 ?P(4，5)或P(,2，5) 当a,2a,3,0时，,a,2a,3 5即a,2a,2 0，此方程无解(综上所述，满足条件的点的坐标为(4，5)或(,2，5)( 2 2 2 22 18(1)45, y , 34 2 94.234.29加与减（二）4 P49-56260,240 1.圆的定义：10 (2)y (x,100)(45, 7.5=60(吨) 6 确定圆的条件:34 二、学生基本情况分析：x,315x,24000 2 53.264.1生活中的数3 P24-292
32、60,x10 7.5)，化简得: (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)y ,x,315x,24000( , 函数的增减性：34 (x,210),9075 2 ( 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元( (4)我认为，小静说的不对( 理由:方法一:当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额 W x(45, 260,x10 7.5) , 八、教学进度表3 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。(x,160)2,19200来说， 4 当x为160元时，月销售额W最大(?当x为210元时，月销售额W不是最大(?小静说的不对( 方法二:当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元; 而当x为200元时，月销售额为18000元(?17325,18000， ?当月利润最大时，月销售额W不是最大(?小静说的不对( 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。谢谢使用