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1、精品导学案：2. 1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.二预习内容1 .什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？2 .圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3 .椭圆的定义： 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫做 。4 .椭圆标准方程的推导：建系；以 为 轴， 为 轴，建立直角坐标系，则 的坐标分别为：写出点集；设 P ()为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知： 坐标化；化简(注意根式的处理和令a2-c2=b2)类似的，焦点在-轴上的椭圆方程为：其中焦点坐标为：三、提出疑惑同学们
2、，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内谷课内探究学案一、学习目标1.通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力， 增强运用坐标法解决几何问题的能力。2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.重,点:：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1 .思考：图 2-23(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？ 得出结论：在平面上到两个定点 F1, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹为椭圆伽由场)； 线段(2a =因为|);、不存在&国马|).2 .推导椭圆的标准方程.1)建
3、系：以F1, F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设 椭圆上任意一点的坐标为M(x , y),设两定点坐标为：F1(-c, 0), F2(c, 0),2)则 M 满足:|MF1|+|MF2|=2a , 思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？+ c)3 +y2 = 2a-靖+y两边平方得】(x + c)2 + ya - 4a2 -4a(x - c)a + y2 + (x - c)2 +/ , 即:waJ.水+y3,两边再平方得： a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ,整理得： (a2-c2)x2+a2y2=a2(a
4、2-c2).b2=a2-c22 2x y -T = 1 a b 0 得：a b3 .例题但31例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是(一2,0),(2,0),并且经过点I22),求它的标准方程.设椭圆的标准方程为,因点I2 2 J在椭圆上,代入化简可得标准方程。22例2如图，在圆x +y =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD, D为垂足.当点P在圆上运动时，线段 PD的中点M的轨迹是什么?22例3如图，设AB的坐标分别为(-5,0)(5,0直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率之积为49 ,求点M的轨迹方程.分析：若设点M(x，V ),则直线amBM的斜率就可以用含x，y的 二至 u式子
5、表示，由于直线 AM , BM的斜率之积是49,因此，可以求出AV之分析：点P在/x +y =4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M 是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求 点M的轨迹方程12间的关系式，即得到点 M的轨迹方程.三、反思总结1 .椭圆方程得标准形式为：2 .求动点轨迹方程的步骤是什么?四、当堂检测1 .求适合下列条件的椭圆的标准方程：0)(4, 0),椭圆上一点P到两焦点距离的和(1)两个焦点的坐标分别是(-4等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0, 2),并且椭圆经过点5552.方程。平面内两个定点的距离为8,动点M到
6、两个定点的距离的和为10,求动点M的轨迹课后练习与提高L椭圆+ =的焦距是2,则切的值是（） m 4A、5B、5 或 8 C、3或 5 D、202、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是（）A、（0,+8 ）B、（0,2）C、（1,+8）D、（0,1）3.己知椭圆4+弓=1一点尸到桶圆一个焦点的距离是3,则尸点到另一个焦点的距离为（）A、2B、3C、5D、74、已知外 居是椭圆三_= 0）的两个焦点，以3为过斤的弦，则&4E玛的周长为（）a bA、2aB、4aC、8aD、2a+2b5、若关于x、y的方程x2sin a-y2cos a =1所表示的曲线是椭圆，则
7、方程（x+cos a ）2+（y+sin a ）2=1所表示的圆的圆心在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限 D、第四象限6、已知椭圆的焦点是 F1 （-1 , 0）, F2 （1, 0）,点P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与 |PF2|的等差中项，则椭圆的方程是（）32222222月二十 2二12=1匕=1 。乙 +2=1169343434J 2+ = 17、已知椭圆 25 16 上一点p到其一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为（）A、2 B、3C、5D、78、如果椭圆E： 4x2+y2=k上两点间的距离最大是8,则k值为（）A、32 B、 16C、8 D、422江+
8、匕=19、已知F1、F2是椭圆169的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5 ,则|AF1|+|BF1| 的值为（）A、 11 B、 10C、 9D、 1610、已知椭圆的标准方程是+ = 125 9,M1、M2为椭圆上的点。(1)点M1 (4, 2.4 )与焦点的距离分别是 ,；(2)点M2到一个焦点的距离等于 3,则它到另一焦点的距离等于 答案:15 C D D E D69 C A C C10. (1) a 412)72.1.1椭圆及其标准方程教学目标：1 .掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2 .能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭
9、圆的标准方程；3 .通过对椭圆概念的引入 教学，培养学生的观察能力和探索能力；4 .通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结 合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；5 .通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的 学习兴趣和创新意识.重,点:：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导教学过程一、复习并引入新课思考问题：1 .在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线.曲线和方程的关系是什么？(如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x, y)=0的解，同时以方程f(x, y
10、)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线.)2 .圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹； 那么当动点满足哪些条件时 轨迹仍然是圆？(平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值 a(a2d2)的点的轨迹是圆；平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆.)由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究.二、讲授新课1.请学生观察计算机演示如图2-23,并思考两个问题.图 2-23(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？(3)是否到两个定点距离之和等于定值
11、的点的轨迹就一定是椭圆呢？观察后请学生回答.(学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考.)图 2-24(4)当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？从而得出结论：在平面上到两个定点 F1, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹为椭圆(2但闻)；线段(2d =罔用|)孑、不存在& |F1F2|.顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫 做焦距，用2c(c0)表示.2.推导椭圆的标准方程.思考问题：(1)求曲线方程的步骤是什么？(2)求到两个定点 F1, F2距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.(求曲线方程的步骤是：建立坐标系设动点坐标：寻找
12、动点满足的几何条件； 把几何条件坐标化；化简得方程；检验其完备性.)注：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.(让学生思考后回答)教师归纳大体上有如下三个方案：取一个定点为原点，以 F1, F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图 2-25;以F1, F2所在直线为以F1 , F2所在直线为 案，如图2-27,推导出方程.y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26;x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方图 2-2T解1)建系：以F1, F2所在直线为x轴，线段F1F
13、2的中点为原点建立直角坐标系, 并设椭圆上任意一点的坐标为M(x , y),设两定点坐标为：F1(-c, 0), F2(c, 0),2)则 M 满足:|MF1|+|MF2|=2a ,3)坐标化即：J(x + cp +亍+忘方+炉=2“十C十/=2a- /(x c尸+/两边平方得:(x 4-c)2 4- yJ - 4a2 -4a(x - c)2 + yJ + (x - c)J +y2,即-cx = ajR-c)“ ,两边再平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ,整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).启发学生观察图形如图 2-28,看看a
14、与c的关系如何？（根据椭圆定义知道 a2c2,且如图所示，a与c可以看成RtMOF2的斜边和直角边.）不妨令b2=a2-c2,则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2 ,再化简,22二 乌=1 a . b . 0a b（* ）（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1）方程中条件a b0不可缺少（结合图形）,当a=b 0时，就化成圆心在原点的圆的 方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；（这实际上是一种极限情况.）2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2;3）请学生猜想：若用方案（即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？（启发学生根据对
15、称性进行猜想）三、例题,（ 但a例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）, （2,0 ），并且经过点122J,求它的标准方程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,3c.引导学生用其他方法来解.22x y=1 a b 0另解：设椭圆的标准方程为 a b,因点I22在椭圆上,总且=14a2 4b212 2则 a -b =4a - 10b = % 6例2如图，在圆22,x y =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD, D为垂足.当点P在圆上运动时，线段 PD的中点M的轨迹是什么?22,分析：点P在圆x y =4上运动,由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点
16、M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点 M的22巴旦=1259，点M的轨迹方程为2x -32514;伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A, B的坐标分别为（一5,0（5,0直线AM , BM相交于点M ,4且它们的斜率之积为9 ,求点M的轨迹方程.分析：若设点M（x，V ）则直线am , bm的斜率就可以用含x，y的式4子表示，由于直线 AM , BM的斜率之积是 9,因此，可以求出x，y之间的关系式，即得到点 M的轨迹方程.解法剖析：设点M(x,y)则 kAMx : -5kBM轨迹方程.22x y -1引申：设定点A（6,2）, P是椭圆259 上动点，求线段 AP中点M的轨迹方程.解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设M （x,y ）, p（x1,y1 ）；（点与伴随点的关x 2 2x -6系）M为线段AP的中点,1y1 =2y 2；（代入已知轨迹求出伴随轨迹），y y 4A =代入点M的集合有x+5 x-59,化简即可得点M的轨迹方程.引申：如图，设 ABC的两个顶点）,） ,顶点C在移动，且kAC父kBC = k ,且k 0,试求动点C的轨迹方程.引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当k值在变化时，A线段AB的角色也是从椭,圆的长轴一圆的直径一椭圆的短轴.作业：P40练习