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1、、用罗尔定理的有关方法例1设八力在血3上连续，在3 3)内可导，且/十/(1)+3 =箝/=1iSffi：必存在4口0二力j使F三证；/在皿3上连续，:在血用上连续，目有最大值M和最小值也于是用 4/(0) AM;第故m 例2设F8在KU li叁卖 (0, 1)内可导，且3卜/(，班二/(0” 3求证；存筏亡QR使，(。=0,证：由积分中值定理可知，存在丘写使得小(；= /(cXl - 5)射5s得到3 = 3，。)奴=，(。)标J对FQ)在明可上用罗尔定理,(三个条件者商足)故存在仁(0)，使 m = 0，设/W在R1上连续，（。，1）内可导,对任意配1,有7（1）二上./3必求证存在e亡3
2、1）使fXC） =C1-Ub/HA11证：由积分中值定理可知存在c e o,曰使得n xf（x）dx=匚j/ax： - a” k k金尸（力=4T人力 可知F（T） = /（I） 4i这样万二了=耳7皿1/3而=c/7=FS对员）在匚1上用罗尔定理（三个条件都满足存在j曰a 1）匚（oj）f使尸=o *而尸=痉1，（处一317/（空）+W1，巧打六 r（e）=y-V（e）-a- 1）/（e）=又全于o,则/h）=q-；）/例斗设/在。/】上连续I在 0内可导J 0 =汽1） = 0, “3 = 1试证（I）存在bE4，Df使= k3（2）对任意实数3存在曰使得广F（GY=1证明：C 1 ）令（
3、x） = /（x）-x ,显然它在附1上连续，又W） = T。艮据介值定理J存在匕（；）使牛（7）0即人%=7（2）令尸=*火力=一工人月一工卜它在电加上满足罗尔定理的条件j故存在火电利使尸（4） = 0,即产/团-力-止1=Q -从而/ 一司/月一用二1，（注：W.4 的证明中，相当于模型I中（1）的情形，其中,取为，取为（江）=/（无）一工）*模型口:设/，氟用在【口图上皆连续（鼻匕内音可导,且八口） = 0, g（b） =0 ,刚存在欠g，使八Gg+/X分M分=农ffi：令凡分二人工也）,则F=FQ） = 0,显然尸在I。,匕上满足罗尔定理的条件,则存在营正口冷），-F密）=0,即证十聊
4、5设/（2在电1上连续，（0J）内可导，例6=。，上为正整教.，求证：存在穴D使得）（9十犷k/O证：令冢力=（h-D。二。占=1,则/（0）=0,晨D = 0,用模型n,存在穴（0：1）怖导一/VXJ-D、贴一1严/=o -故奴”1）+忆后=0一 则“（，+犷=穴3例6设/（外,虫在3埒内可导J且，（*）或X）工/（r）g#（x）,求证（，）在g： b）内在意两个零点、之间至少有一个营住）的零点中证；反证法;设门V工M4占，（巧）=0 r /（4）=0而在（/产;内耳（K）# 口 ,则令f（x）=3在斗上用罗宏定理“ 自【：/（）= /X巧）=。，户（国）=再=，F（W）=二 0户 姓均）晨
5、再）（不妨假设烈修）工0,烈叼）H0否则造论已经成立），贝府在4c凡 工）使/=0,得出八9z-办或冷=0与假设条件矛盾，所以在3巧）内飘冷至少有一个零点例7设/（刘,氟冷在d b 二的可导,且不钝又f（G=乃=/3） = SW = o尸求证；（1）在外方）内火力工心（2）存在占-协|使%=笑川S （）证“ i）用反证法,如果存在a仍使gs）=o,贝底r虱，）分别在0/阐匕可 上用罗尔定理,存在均-3便%）=0,存在.E（cb）使或&）=g 再对/在4均上用罗尔定理存在三（七.百）使短飙）:0与假设条 件1（Who矛盾。所以在（且处内且工03 由结论可知即尸U）g&）f（9送值）=0,因此令网
6、#=虱力FG）-，a）fa）,可以电证网力在回切上连续，在（珥4） 内可导,Fg） = F=口满足罗尔定理的三个条件故鼾会尸二。3于是尸四）-/才化）=0蜘利用罗尔定理证明时辅助函数构造的练习1设f （2在（%。）上连续，在1%即可导，且当工1（*力）时, /（玄）二0若。）=/（初:。，证明对任意实数左存在点（，方）使二匕 /（9设在/仆）0#上连续,在（0,1）可导,且0） = 1/（1）=,求证：在（0.1）内至少存在一点,使尸（9=一0、3设F = 口 - （*卜其中/住底1习具有一阶连续导数 ，在（） 内二阶可导，且/Q）=f屋）=0,试证明存在（1,2）使产”（？）= 0.设实数/
7、，。反满足fl1 -十,十 （- 1） 1= 证明；/ cos x 十 az cos 38十a” co$（ 2n 一 l）,v =。在（0.工）内至少有一个实根.设，（%）可导,求证：/O）的两个零点间一定有/1可+ /十支射勺零点.6设/在（yd,2）上可微，且外冷工17试证明方程/二、最多有一个其根设函数/（工）在0上触，在（0讷可导，且0J=f, 4试证明，方程（1+，1）/（）=1在（0）内至少有一个实根 .g设/G庵04止连续，在（04讷可导，且/（0）二心对任意工EOM）有口丰5证明存在二三（0J腰-7- = 22二”9设N）在0,1上连续任出1两可导,且0） = Q,对任箴工 （
8、04有 八工）不0,证明存在右已传1疲咤毕二铐二4g为自然数）./（O10设住）在UM上连实在（IM内可导，且Al）=0/0 = L 证明方程,A/（x） = l在（1间内至少有一实根.11设省物（支）在。怖上连续，在O；讷可导屈/”/（；） =1,试证明方程cos- W8 = 1在（0,一）内至少有一实根.12设在上连续，在（/于内可导，且Q） =Q（W）= 1，试证明方程/1，）=8右或在10,三沟至少有一实根.设/（x）在og上连缄，在（01）内可导，且/弓）二0. 证明存在一点火呜）应+，%）.人）=0.答案1.（答案：2.(答案：F(x) = /(x)yT（先求出产则尸q）=o,因为
9、/a”r工o,由罗尔定理得1存（答案：F4.3.在X4L2）.使得F=0.对尸在区间L川上再使用罗小定理）任siu x sin 3 *dn( 2 n - 1) .v3Zn 1（设八号S/1）=。.化为福+詈?= ,则13In f(x) - In siu x -】n C 可设F(x) /(x) sin x 拉格朗日中值定理运用拉格朗日中值定理证明问题的 些特点，H告介值的一阶或阶导数1如茸）JT/）的等式或不等式的证明间题.常第通过对 原式进行恒等灵形，三I进合适的辅助函数仪由，然后再利用巾值定理法行证明，2）如果等式或不等式中含双介值（如专同）的导数，则T需要运用两次拉格朗日中值定 理I3）如
10、果等式或不等式中含介值的二阶导数（如/*g）,则可育要运用两投甚至三次拉格 朗日巾值定4）在运用校珞朗日中值定理进行证叫的问题中,有时需要站台运用连续函题的介值定理或 积分中值定理，典型例犀例1设函数/（冷在闭区何1上述缥 在开区间电1）内可导，且/（0）=61）=；,证明： 存在4e （0 e g ,1使匍气与:广=铲+（注：2010年教学二（21） & 本题满分1CI分）分析：本题含双介值曷人 需要运用两次,中值定理。苜先或原等式fW）十/Q） = 3十/ 中的名？分离，可化为广稽）一炉=-（7电A1，左右曲边的形式相同.将/&）-铲中 的T工得/（1）一 一二“算）一：白，令产W =八分
11、*计尸（K）分别在区间03和川上运用两次拉格朗日申遒定理可得所证.证:设函数/由题意知f（o）=of 在同与和上分别应用拉格朗日中值定理，有尸-尸（0）二尸- 0）:1r-三w 1）,F（l）-F（i）二式相加，=尸出）（1一；） = ；7）一/旧（31）- JarAri!占，口C得：尸 一 f（o）=： /纭）r +4/一/=。，UD即，十/5）=平十丁例2已知的裁/（幻在3 H上连续，在（1）内可导.fi/（0） = 0,/（!） = 1*证明，（I）存在丁江。），使得/g） = l 4 tu）存在两个不同的离不已（0.1）.使得“切八G=1,分析,第一部分不含导数.只涉及函数介值，应读用闭区间上连缆函数的介值罡理I第二部 分为关于号数的双介值间题，可考虑用拉格朗日中值定理.但应注意利用第一部分已再结论一证仃）F（x） = f（x）-l-brf 则网幻在Q I上连彘 KFCO）=-10-于是由透领函数的介值定理窥.存衽存在Jc（0J，使得F4）-。，即F4）T g（n）在Q，和厚与上时人工）分别应用拉杼朗日中值定理.存在两个不同的点可己（。君）；名（&1）,使得F3） =，G =弋一华），于是匚 一。1-(3 =/( 1-7(4)I !