最新初中数学二次函数难题（可编辑）优秀名师资料.doc

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1、初中数学二次函数难题（可编辑）初中数学二次函数难题 1077676的初中数学二次函数组卷 一.选择题(共2小题) 1.如图,已知动点P在函数y(x0)的图象上运动,PM?x轴于点M,PN?y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y?x+1交于点E,F,则AF?BE的值为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 2.如图,抛物线yx2?x?与直线yx?2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( ) A.B.C.D. 二.解答题(共28小题) 3.已知:关于x

2、的方程mx2?3(m?1)x+2m?30. (1)当m取何整数值时,关于x的方程mx2?3(m?1)x+2m?30的根都是整数; (2)若抛物线ymx2?3(m?1)x+2m?3向左平移一个单位后,过反比例函数y(k?0)上的一点(?1,3), ?求抛物线ymx2?3(m?1)x+2m?3的解析式; ?利用函数图象求不等式?kx0的解集. 4.已知:关于x的一元二次方程mx2?(2m+n)x+m+n0?. (1)求证:方程?有两个实数根; (2)求证:方程?有一个实数根为1; (3)设方程?的另一个根为x1,若m+n2,m为正整数且方程?有两个不相等的整数根时,确定关于x的二次函数ymx2?(

3、2m+n)x+m+n的解析式; (4)在(3)的条件下,把Rt?ABC放在坐标系内,其中?CAB90?,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),BC5,将?ABC沿x轴向右平移,当点C落在抛物线上时,求?ABC平移的距离. 5.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大(总利润总收入?总成本)? 6.(2004?长沙)如图,等腰梯形ABCD,ADBC,AD3cm,BC7cm,?B60?,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作?APE?B,交DC于E. (1)求证:?AB

4、P?PCE; (2)求等腰梯形的腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC5:3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由. 7.如图所示,已知矩形ABCD中,CD2,AD3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合),过点P作PE?CP交直线AB于点E,设PDx,AEy, (1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范围; (2)如果?PCD的面积是?AEP面积的4倍,求CE的长; (3)是否存在点P,使?APE沿PE翻折后,点A落在BC上?证明你的结论. 8.(2007?义乌市)如图,抛物线yx2?2x?3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A

5、、C两点,其中C点的横坐标为2. (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由. 9.如图,在直角坐标系xoy中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧,B在原点右侧),C为抛物线上一点,且直线AC的解析式为ymx+2m(m?0),?CAB45?,tan?COB2. (1)求A、C的坐标; (2)求直线AC和抛物

6、线的解析式; (3)在抛物线上是否存在点D,使得四边形ABCD为梯形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 10.(2006?达州)如图,抛物线y?x2+bx+2交x轴于A、B两点(点B在点A的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x,O为坐标原点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求证:?ACB是直角; (3)抛物线上是否存在点P,使得?APB为锐角?若存在,求出点P的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由. 11.(A)抛物线yax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x0和x2时,y的值相等.直线y3x?7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横

7、坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M. (1)求这条抛物线的解析式; (2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQOC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围. (3)对于二次三项式x2?10x+36,小明同学作出如下结论:无论x取什么实数,它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法?说明你的理由. 12.(2012?赤峰)如图,抛物线yx2?bx?5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|5:1. (

8、1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF的解析式; (3)在直线AF上是否存在点P,使?CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由. 13.如图1,抛物线ynx2?11nx+24n (n0? (3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作x轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标. 19.(2009?江西)如图,抛物线y?x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D. (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E

9、,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PFDE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m; ?用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形? ?设?BCF的面积为S,求S与m的函数关系式. 20.如图,抛物线yx2?2x?3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点D. (1)求点A、B、D的坐标; (2)若点C在该抛物线上,使?ABD?BAC.求点C的坐标,及直线AC的函数表达式; (3)P是(2)中线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值. 21.(2004?哈尔滨)已知:抛物线y?x2?(m+3)x+m2?12与x

10、轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x10,抛物线与y轴交于点C,OB2OA. (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上,点A的左侧,求一点E,使?ECO与?CAO相似,并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D; (3)过(2)中的点E的直线yx+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点,分别过M、N作x轴的垂线,垂足为M、N,点P为线段MN上一点,点P的横坐标为t,过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q.是否存在t值,使S梯形MMNN:S?QMN35:12?若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由. 22.(2008?莆田)如图,抛物线c1:yx2?2x?3与x轴交于

11、A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线l?x轴于点F,交抛物线c1点E. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值; (3)当PE为最大值时,把抛物线c1向右平移得到抛物线c2,抛物线c2与线段BE交于点M,若直线CM把?BCE的面积分为1:2两部分,则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2? 23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,3). (1)求抛物线及直线AC的解析

12、式; (2)E、F是线段AC上的两点,且?AEO?ABC,过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M,交x轴于点N.当MFDE时,在x轴上是否存在点P,使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点,试比较锐角?QCO与?BCO的大小(直接写出结果,不要求写出求解过程,但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围). 24.(2011?沈阳)如图,已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,?3),对称轴是直线x1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D. (1)求抛物线的函数

13、表达式; (2)求直线BC的函数表达式; (3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限. ?当线段PQAB时,求tan?CED的值; ?当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标. 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答. 25.已知,如图,抛物线yx2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧),且与y轴交于点C,O为坐标原点,OB4. (1)直接写出点B,C的坐标及b的值; (2)过射线CB上一点N,作MNOC分别交抛物线、x轴于M、T两点,设点N的横坐标为t. ?当0t4时,求线

14、段MN的最大值; ?以点N为圆心,NM为半径作?N,当点B恰好在?N上时,求此时点M的坐标. 26.如图,抛物线yax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是?1,3 (点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点M在直线y3x?7上. (1)求抛物线的解析式; (2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在线段BM上是否存在点N,使?NMC为等腰三角形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 27.如图,抛物线yx2?4

15、x?1顶点为D,与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C. (1)求这条抛物线的顶点D的坐标; (2)经过点(0,4)且与x轴平行的直线与抛物线yx2?4x?1相交于M、N两点(M在N的左侧),以MN为直径作?P,过点D作?P的切线,切点为E,求点DE的长; (3)上下平移(2)中的直线MN,以MN为直径的?P能否与x轴相切?如果能够,求出?P的半径;如果不能,请说明理由. 28.(2011?攀枝花)如图,已知二次函数yx2+bx+c的图象的对称轴为直线x1,且与x轴有两个不同的交点,其中一个交点坐标为(?1,0). (1)求二次函数的关系式; (2)在抛物线上有一点A,其横坐标为?2,直线l

16、过点A并绕着点A旋转,与抛物线的另一个交点是点B,点B的横坐标满足?2xB0)的图象上运动,PM?x轴于点M,PN?y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y?x+1交于点E,F,则AF?BE的值为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 考点: 反比例函数综合题。1077676 专题: 动点型。 分析: 由于P的坐标为(a,),且PN?OB,PM?OA,那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示,那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示,接着F点、E点的也可以a表示,然后利用勾股定理可以分别用a表示AF,BE,最后即可求出AF?BE. 解答: 解:?P的坐标为(a,),且PN?OB,PM?OA

17、, ?N的坐标为(0,),M点的坐标为(a,0), ?BN1?, 在直角三角形BNF中,?NBF45?(OBOA1,三角形OAB是等腰直角三角形), ?NFBN1?, ?F点的坐标为(1?,), 同理可得出E点的坐标为(a,1?a), ?AF2(?)2+()2,BE2(a)2+(?a)22a2, ?AF2?BE2?2a21,即AF?BE1. 故选C. 点评: 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标,进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值. 2.如图,抛物线yx2?x?与直线yx?2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达

18、x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( ) A.B.C.D. 考点: 二次函数综合题。1077676 分析: 首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x的对称点A,作点B关于x轴的对称点B,连接AB,则直线AB与x的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得AB即是所求的长度. 解答: 解:如图 ?抛物线yx2?x?与直线yx?2交于A、B两点, ?x2?x?x?2, 解得:x1或x, 当x1时,yx?2?1, 当x时,yx?2?, ?点A的坐标为(,?),点B的坐标为(1,?1), ?抛物线对称轴方程为:x? 作

19、点A关于抛物线的对称轴x的对称点A,作点B关于x轴的对称点B, 连接AB, 则直线AB与x的交点是E,与x轴的交点是F, ?BFBF,AEAE, ?点P运动的最短总路径是AE+EF+FBAE+EF+FBAB, 延长BB,AA相交于C, ?AC+(1?)1,BC1+, ?AB. ?点P运动的总路径的长为. 故选A. 点评: 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用. 二.解答题(共28小题) 3.已知:关于x的方程mx2?3(m?1)x+2m?30. (1)当m取何整数值时,关于x的方程mx2?3(m?1)x+2m?30的

20、根都是整数; (2)若抛物线ymx2?3(m?1)x+2m?3向左平移一个单位后,过反比例函数y(k?0)上的一点(?1,3), ?求抛物线ymx2?3(m?1)x+2m?3的解析式; ?利用函数图象求不等式?kx0的解集. 考点: 二次函数综合题。1077676 专题: 计算题;数形结合。 分析: (1)原方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程,因此分m0和m?0两种情况,先求出两种情况下方程的根,再由根是整数确m定的值. (2)?先表示出平移后的抛物线解析式,然后将点(?1,3)代入其中求解即可; ?根据反比例函数过(?1,3)确定k的值,然后分别作出y和ykx的函数图象,找出前者的图

21、象在后者上方的部分即可. 解答: 解:(1)当m0时,x1; 当m?0,可解得x11,x22?; ?m?1、?3时,x均有整数根; 综上可得m0、?1、?3时,x均有整数根. (2)?抛物线向左平移一个单位后得到ym(x+1)2?3(m?1)(x+1)+2m?3,过点(?1,3),代入解得:m3; ?抛物线解析式为y3x2?6x+3. ?反比例函数y(k?0)经过点(?1,3), ?k?13?3; 作出ykx、y(k?0)的图象(如右图) 由图可知:当x?1或0xkx; 即:不等式?kx0的解集为:x?1或0x1. 点评: 该题涉及到:方程与函数的联系、函数解析式的确定以及利用图象法解不等式的

22、方法等知识.考查的内容较为基础,难度不大. 4.已知:关于x的一元二次方程mx2?(2m+n)x+m+n0?. (1)求证:方程?有两个实数根; (2)求证:方程?有一个实数根为1; (3)设方程?的另一个根为x1,若m+n2,m为正整数且方程?有两个不相等的整数根时,确定关于x的二次函数ymx2?(2m+n)x+m+n的解析式; (4)在(3)的条件下,把Rt?ABC放在坐标系内,其中?CAB90?,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),BC5,将?ABC沿x轴向右平移,当点C落在抛物线上时,求?ABC平移的距离. 考点: 抛物线与x轴的交点。1077676 专题: 计算题;证明题。

23、分析: (1)首先表示出方程?的根的判别式,若方程有两个实数根,那么判别式应大于等于0,结合非负数的性质进行证明即可. (2)可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解,即可得到方程必有一根为1. (3)由(2)可得x1的表达式,即x1,若m+n2,且x1为整数,那么m可取1或2,然后结合(1)(2)的结论将不合题意的m值舍去,即可确定m的值,进而可得抛物线的解析式. (4)首先根据已知条件确定出点C的坐标;然后设出平移后的点C坐标,由于此时C点位于抛物线的图象上,可将其代入抛物线的解析式中,即可确定出平移后的点C坐标,进而可得平移的距离. 解答: 证明:(1)?am,b?(2m+n),cm+n

24、?b2?4ac?(2m+n)2?4m(m+n) 4m2+4mn+n2?4m2?4mn n2(1分) ?无论n取何值时,都有n2?0 ?0 ?方程?有两个实数根.(2分) (2)?原方程可化为:(mx?m?1)(x?1)0,(3分) ?; ?方程?有一个实数根为1.(4分) (3)由题意可知:方程?的另一个根为, ?m+n2,m为正整数且方程?有两个不相等的整数根, ?m1, ?二次函数的解析式:yx2?3x+2.(5分) (4)由题意可知:AB3, 由勾股定理得:AC4 ?C点的坐标为(1,4) 当?ABC沿x轴向右平移,此时设C点的坐标为(a,4)(6分) ?C在抛物线上, ? ?,舍去负值

25、, ?; ?ABC平移的距离:.(7分) 点评: 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定以及函数图象上点的坐标特征,难度适中. 5.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大(总利润总收入?总成本)? 考点: 二次函数的应用。1077676 专题: 应用题。 分析: 此题关键是表示出价格变化后,销量与价格的关系式,设定价提高x%,销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1?0.5x%)件. 解答: 解:设定价提高x%,则销

26、售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1?0.5x%)件. 商场购这1000件西服的总成本为80100080000元, 故y100(1+x%)?1000(1?0.5x%)?80000 ?5x2+500x+20000 ?5(x?50)2+32500. 当x50时,y有最大值32500. 100(1+50%)150(元) 即定价为150元/件时获利最大,为32500元. 点评: 此题主要考查了:二次函数的应用中,总利润总收入?总成本,但与以往题目不同的是表示价格与销售量时,提高与下降都是百分数,题目有一定抽象性,但这是中考中新题型. 6.(2004?长沙)如图,等

27、腰梯形ABCD,ADBC,AD3cm,BC7cm,?B60?,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作?APE?B,交DC于E. (1)求证:?ABP?PCE; (2)求等腰梯形的腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC5:3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由. 考点: 等腰梯形的性质;解分式方程;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质。1077676 专题: 几何综合题。 分析: (1)欲证?ABP?PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出?B?C,根据三角形外角的性质可证得?EPC?BAP;由此得证; (2)可过作AF?BC于F

28、,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt?ABF中,根据?B的度数及BF的长即可求得AB的值; (3)在(2)中求得了AB的长,即可求出DE:EC5:3时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点. 解答: (1)证明:由?APC为?ABP的外角得?APC?B+?BAP; ?B?APE ?EPC?BAP ?B?C ?ABP?PCE; (2)解:过A作AF?BC于F; ?等腰梯形ABCD中,AD3

29、cm,BC7cm, ?BF, Rt?ABF中,?B60?,BF2; ?AB4cm; (3)解:存在这样的点P. 理由是:? 解之得ECcm. 设BPx,则PC7?x 由?ABP?PCE可得 , ?AB4,PC7?x, ? 解之得x11,x26, 经检验都符合题意, 即BP1cm或BP6cm. 点评: 此题主要考查了等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定和性质. 7.如图所示,已知矩形ABCD中,CD2,AD3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合),过点P作PE?CP交直线AB于点E,设PDx,AEy, (1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范围; (2)如果?PCD的面积是?AEP

30、面积的4倍,求CE的长; (3)是否存在点P,使?APE沿PE翻折后,点A落在BC上?证明你的结论. 考点: 二次函数的应用;勾股定理;翻折变换(折叠问题)。1077676 分析: (1)运用三角形相似,对应边比值相等即可解决, (2)运用三角形面积的关系得出,对应边的关系,即可解决, 解答: (1)解:?PE?CP, ?可得:?EAP?PDC, ?, 又?CD2,AD3,设PDx, AEy, ?, ?y?, 0x3; (2)解:当?PCD的面积是?AEP面积的4倍, 则:相似比为2:1, ?, ?CD2, ?AP1,PD2, ?PE,PC2, ?EC. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定

31、,以及相似三角形面积比是相似比的平方. 8.(2007?义乌市)如图,抛物线yx2?2x?3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2. (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题。1077676 专题: 压轴题。 分析: (1)因为抛物线与x轴相交,所以可令y

32、0,解出A、B的坐标.再根据C点在抛物线上,C点的横坐标为2,代入抛物线中即可得出C点的坐标.再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式; (2)根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为yp?yE,列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案; (3)存在四个这样的点. ?如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CGx轴,此时AFCG2,因此F点的坐标是(?3,0); ?如图,AFCG2,A点的坐标为(?1,0),因此F点的坐标为(1,0); ?如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可

33、得出G点的坐标为(1+,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y?x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y?x+7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+,0); ?如图,同?可求出F的坐标为(4?,0); 综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点. 解答: 解:(1)令y0,解得x1?1或x23 ?A(?1,0)B(3,0) 将C点的横坐标x2代入yx2?2x?3得y?3 ?C(2,?3) ?直线AC的函数解析式是y?x?1; (2)设P点的横坐标为x(?1?x?2) 则P、E的坐标分别为:P(x,?x?1) E(x,x2?2x?3) ?P点在E点的上方,

34、PE(?x?1)?(x2?2x?3)?x2+x+2?(x?)2+, ?当时,PE的最大值; (3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(?3,0),F3(4+,0),F4(4?,0). ?如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CGx轴,此时AFCG2,因此F点的坐标是(?3,0); ?如图,AFCG2,A点的坐标为(?1,0),因此F点的坐标为(1,0); ?如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y?x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y?x+4+

35、.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+,0); ?如图,同?可求出F的坐标为(4?,0). 综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点. 点评: 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法. 9.如图,在直角坐标系xoy中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧,B在原点右侧),C为抛物线上一点,且直线AC的解析式为ymx+2m(m?0),?CAB45?,tan?COB2. (1)求A、C的坐标; (2)求直线AC和抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否存在点D,使得四边形

36、ABCD为梯形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题。1077676 专题: 综合题。 分析: (1)已知了直线AC的解析式,可确定点A的坐标;过C作CM?x轴于M,在Rt?CAM中,AMCM,而CM2OB,由此可得AOBO,根据A点坐标即可确定点C的坐标. (2)将C点坐标代入直线AC的解析式中,可求得m的值,进而确定直线AC的解析式;同理,将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组求得抛物线的解析式. (3)此题应分作两种情况考虑: ?ABCD,此时CD与x轴平行,D、C两点关于抛物线的对称轴对称,因此D点坐标不难求得; ?ADBC,首先根据抛物

37、线的解析式求得点B坐标,进而可用待定系数法求得直线BC的解析式,由于直线AD与BC平行,因此它们的斜率相同,根据A点坐标即可确定直线AD的解析式,然后联立抛物线的解析式,即可求得交点D的坐标. (由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序,因此无需考虑BDAC等情况.) 解答: 解:(1)直线AC:ymx+2m(m?0)中, 当y0时,mx+2m0,m(x+2)0, ?m?0, ?x?2; 故A(?2,0); 过C作CM?x轴于M; Rt?CAM中,?CAB45?,则CMAM; Rt?COM中,tan?COM2,则CM2OM, 故CM2OM2AM; ?OA2,则OM2,CM4,C(2,4),

38、?A(?2,0),C(2,4). (2)将点C坐标代入直线AC的解析式中,有: 2m+2m4,m1, ?直线AC:yx+2; 将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,有: , 解得; ?抛物线:yx2+x?2; 故直线AC和抛物线的解析式分别为:yx+2,yx2+x?2. (3)存在满足条件的点D,其坐标为(?3,4)或(5,28); 理由:假设存在符合条件的点D,则有: ?CDAB,由于AB?CD,此时四边形ABCD是梯形; 易知抛物线的对称性为:x?; 由于此时CDx轴, 故C、D关于直线x?对称, 已知C(2,4), 故D(?3,4); ?ADBC,显然BC?AD,此时四边形ABCD是梯形;

39、 易知B(1,0),用待定系数法可求得: 直线BC:y4x?4; 由于ADBC,可设直线AD的解析式为y4x+h, 则有:4(?2)+h0, 即h8; ?直线AD:y4x+8; 联立抛物线的解析式可得: , 解得(舍去), 故D(5,28); 综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为:D(?3,4)或(5,28). 点评: 此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识点;要注意的是,在判定某个四边形为梯形时,一定要满足两个条件:?一组对边平行,?另一组对边不平行(或平行的对边不相等),两个条件缺一不可. 10.(2006?达州)如图,抛物线y?x2

40、+bx+2交x轴于A、B两点(点B在点A的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x,O为坐标原点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求证:?ACB是直角; (3)抛物线上是否存在点P,使得?APB为锐角?若存在,求出点P的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题。1077676 专题: 压轴题。 分析: (1)依题意可得A,B.C三点坐标; (2)设抛物线的对称轴交x轴于M点,则M为AB的中点,AB为?M的直径,故?ACB90?; (3)连接CD,求出D点坐标,如图1.设点P(x,y)是抛物线上任意一点,要使得?APB为锐角,分情况讨论P点坐标. 解答: (1)解:DA、B、C三点的坐标分别为(4,O),(?1,O),(O,2). (2)证明:?BOC?COA,?BC0?CAO. (3)解:设抛物线的对称轴交x轴于M点,则M为AB的中点, 且其坐标为(,0),?BCA90?, ?B、C、A三点都在以BA为直径的0M上, 又抛物线y?+2和?M都关于直线x对称. ?c点关于x的对称点D必在抛物线上,也在?M上. 连接CD,交直线x交于N点,易知N点坐标为(,2),而N为CD的中点, ?D点坐标为(3,2),(7分) 作出?M,则?M将抛物线分