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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(免费)31：勾股定理初 中数学竞赛精品标准教程及练习(31) 勾股定理 一、内容提要 2221. 勾股定理及逆定理:?ABC中 ?C,Rt?a，b=c,2. 勾股定理及逆定理的应用5? 作已知线段a的，倍 32? 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ? 证明线段的平方关系等。 2223. 勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c满足等式a，b=c，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式? 罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家17891853) 2222任取两个正整数m和n(mn),那么m-n，2mn, m+n是一组勾股数。 22k
2、,k，11? 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 2222KK,? 如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。 ,1，1,22,? 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3，4，5; 5，12，13; 7，24，25; 8，15，17; 9，40，41。 二、例题 55例1.已知线段a a a 2a 3a a 5求作线段a a 22255a4a，a分析一:a, 2a 5?a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 225分析二:a,9a,4a E5?a是以3a为
3、斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图(略) D2,例2.四边形ABCD中?DAB,60，?B,?D,Rt?，BC,1，CD,2 C1求对角线AC的长 AB,解:延长BC和AD相交于E，则?E,30 1 ?CE,2CD,4， 在Rt?ABE中 设AB为x,则AE,2x 252222根据勾股定理x+5=(2x), x= 325222在Rt?ABC中，AC,，1, 21x，133A例3.已知?ABC中，AB,AC，?B,2?A 22求证:AB,BC,ABBC 证明:作?B的平分线交AC于D， 则?A,?ABD， D?BDC,2?A,?C M?AD,BD,BC 作BM?AC于M，则C
4、M,DM CB222222AB,BC,(BM，AM),(BM，CM) 22 ,AM,CM,(AM，CM)(AM,CM) ,ACAD,ABBC 例4.如图已知?ABC中，AD?BC，AB，CD,AC，BD 求证:AB,AC 证明:设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 则c+n=b+m, c-b=m-n ?AD?BC，根据勾股定理，得 A22222 AD,c-m=b-n 2222bc?c-b=m-n, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) CBmnD(c+b)(c-b) ,(m+n)(c-b),0 (c-b),(c+b),(m+n),0
5、?c+bm+n, ?c-b=0 即c=b ?AB,AC 例5.已知梯形ABCD中，AB?CD，AD,BC 求证:AC,BD 证明:作DE?AC，DF?BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形 DE,AC，DF,BC，AE,CD,BF ?作DH?AB于H，根据勾股定理 DjC2222AH,，FH, AD-DHDF-DH?AD,BC，AD,DF ?AH,FH，EH,BH EBAFH222DE,DH，EH，BD,DH，BH ?DE,BD 即AC,BD 2 例6.已知:正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE,a，AF,b,且SEFGH2, 3DAE 求:的
6、值 b,aH 解:根据勾股定理 F2222 a+b=EF,S, ;? EFGHC3BG1?4S,S,S ? 2ab= ? ? AEFABCDEFGH3132? ,?得 (a-b)= ?b,a, 33三、练习31 1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数: ? 7，,，, ?8，,，, ?9，,，, ?10，,，, ?11，,，, ?12，,，, 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值: 2222? 25,24,， ?5，12,， 2222?8，15,，?25-15, 3. ?ABC中，AB,25，BC,20，CA,15，CM和CH分别是中线和高。那么S,?ABC,，CH,，MH, 4. 梯形
7、两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S,梯形5.已知:?ABC中，AD是高，BE?AB，BE,CD，CF?AC，CF,BD 求证:AE,AF 6.已知:M是?ABC内的一点，MD?BC，ME?AC，MF?AB， E且BD,BF，CD,CE A 求证:AE,AF FA(5) EFM BCCD BD 227.在?ABC中，?C是钝角，a-b=bc 求证?A,2?B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。(用反证法) 9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 222 10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证:AP，BP,2CP11.已知?ABC中，?A,Rt
8、?，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC ME?MF 222 求证:EF,BE，CF3 ,012.Rt?ABC中，?ABC,90，?C,60，BC,2，D是AC的中点，从D作DE?AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是,。 AFA (11)(12)E F DB EMCCB 13.?ABC中，AB,AC,2，BC边上有100个不同的点p，p，p，p, 1231002 记m=AP+BPPC (I=1,2，100)，则m+m+，m=_ iiii12100练习31参考答案: 三三角函数的计算3. 150，12，35 4. 24(作CE?BD交AB延长线E
9、) 222A 5. 利用勾股定理证明AE，AF的平方都等于m+n+AD D22利用勾股定理: AE,，AF, 6.Eb二次函数配方成则抛物线的CB7.作CD?AB于D， a2222 ?bc=a-b=BD-AD=(BD+AD)(BD-AD) ?b=BD-AD 2228.(用反证法)设a,b,c都是奇数， 那么a,b,c也都是奇数， 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。222222 ?a，b是偶数,而c是奇数， 这与a，b,c相矛盾， 故这种假设不能成立， ?a,b,c中至少有一个数是偶数 a,12,8,.6,.5,1,，,abcab,b,.5,.6,.
10、8,.129. 正整数解有 2,222,c,13,10,10,13，,abc,描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”答:各边长是5，12，13或6，8，10 dr 直线L和O相离.11.延长EM到N，使MN,EM，连结CN， 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。显然?MNC?MEB，NC,BE，NF,EF 312. 可证DF,DE,2， 13. 400 (m=4) i166.116.17期末总复习4 当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。扫描下面二维码，加关注，索取全套题库 （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。5