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1、1主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面X2y221）椭圆锥面：22zab222222XyzXyz2）椭球面：2 -221旋转椭球面：222a2 bcaac222222XyzAXyz3）单叶双曲面：2-221双叶双曲面：222ab2cab2c2222XyXy4）椭圆抛物面：2.2z双曲抛物面（马鞍面）：2! 2abab22222XydXyd5）椭圆柱面：2.21双曲柱面：2.21abab26）抛物柱面：X；ay(二)平面及其方程1、点法式方程：A(xXo)B(yyo) c (zZo)0法向量：n（A, B,C），过点（X。-yo,z)2、一般式方程：AxByCzD0Xyz .截距
2、式方程：1abc3、两平面的夹角:n1（A，B1，G），n2(A2, B2, C2)，12A A B1B2C1C20；1 2A1BC1A2b2 C24、点 P0 ( Xo ,yo, Zo）到平面AxByCz D0的距离：（三）空间直线及其方程A1xBC1zD101、一般式方程：A2xB?yC2zD2 0对称式（点向式）方程:xX。yyoZZo方向向量：s (m,n, p)，过点(x0,y0，Zo)3、 两直线的夹角：s1 (m1,n“ pj , s2 (m2,n2, p2),Lil2mm?门小2p1p20 ；L1/L2miniPim2n2P2i(x)4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影
3、的夹角,L/Am B n Cp 0； LABC m n p第九章多元函数微分法及其应用1、连续：(紬)罠丿0&)f(xo，yo)2、偏导数：fx(x,y) limXf(xx, y。)0xf (Xo, yo)；fy(X0,y。)ym0f(xo,yoy) f(X0,y。)yfffcoscos其中lxy方向导数:为l的方向角fy(xo,Yo)j梯度：z f (x, y)，则 gradf(xo,y) fx(x,y)i5、全微分：设 z f (x, y)，则 dz dx dyx y(一) 性质i、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：i2、微分法i)复合函数求导：链式法则、让偏导数存
4、在若 z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)，则zzuzvzzuzvXuXvXyuyvyfx1)求函数z f (x, y)的极值解方程组fy(二) 应用0求出所有驻点，对于每一个驻点 (x0, y0)，令0A fxx(Xo,yo)若ACB20，A 0，函数有极小值,若ACB20，函数没有极值；若ACB20，不定。B f xy (X0 ,y0)， C fyy(Xo,yo),2若AC B O，A O，函数有极大值;几何应用曲线的切线与法平面x(t)曲线:yy(t)，则 上一点M (Xo,y,Zo)(对应参数为to)处的zz(t)Xxo yyozZo切线方程为：(to) y (t
5、o)z(to)X法平面方程为：x (to)(x Xo)y (to)(yyo) z(to)(2)曲面的切平面与法线曲面:F (x, y,z) 0 ，则上一点M (x0,yo,zo)处的切平面方程为：.r. -rtt tXXoyyoz Zo法线力程为：Fx(Xo,yo,zo)Fy(x,y,Zo)Fz(Xo,y,z)第十章重积分(一)二重积分:几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：f(x,y)d 叫nf( k, k)kk1DzZo)0计算：直角坐标(x,y)i(x)a2(X)b(x,y)i(y)极坐标2(y)df (x, y)dxdyf (x, y)dxdybdxadcdy2 (X)f (x,y)dy2
6、 (y)I gm1( ) 2( ) 2()D ( , ), f(x,y)dxdy d () f( cos , sin ) d1 (丿D(二) 三重积分n1、定义：f(x,y,z)dv lim0f( k, k, k) Vk0 k 12、计算：1) 直角坐标Z2(x,y)f (x, y,z)dv dxdyf (x, y, z)dz “先一后二”DN(x,y)bf (x, y,z)dv dz f(x,y,z)dxdy “先二后一aDz2) 柱面坐标x cosy sin ， f (x, y,z)d v f ( cos , sin , z) d d dz z z3) 球面坐标(三) 应用曲面 S: z
7、f (x, y), (x, y) D 的面积：第十一章1曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分n1、定义： L f (x, y)ds lim。f ( i, i) s0 i 12、计算：x(t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为(t)，其中(t), (t) 在y(t),上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则(二) 对坐标的曲线积分1、定义：设l为xoy面内从a到B的一条有向光滑弧，函数P(x,y)，Q(x, y丿在L上有界，定义nLP(x,y)dx lim0P( k , k) Xk，LQ(x,y)dylim0nQ ( k , k) yk .k 1k 1向量形式：l
8、 F d r l P(x, y)dx Q(x, y)dy2、 计算： 设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧 L上有定义且连续，L的参数方程为2(t)2(t) 0X设平面有向曲线弧为 L :y(t)(t)点 (X, y) 处的切向量的方向角为:cos(t).2(t)2(t)cos2(t)(t)2(t)x(t),(t:)，其中 (t),(t) 在,上具有一阶连续导数，且y(t),3、两类曲线积分之间的关系：n 1则 l Pdx Qdy (pcos Qcos )ds.(三)格林公式Pdxdy1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x, y)在D上具有连续
9、一阶偏导数则有Pdx QdyL2、G为一个单连通区域，函数P(x, y),Q(x,y) 在G上具有连续一阶偏导数,则卫x曲线积分Pdx Qdy在G内与路径无关L(四)1、对面积的曲面积分定义：定义(五)z(x, y)，(x,y)Dxy，则对坐标的曲面积分定义：为有向光滑曲面，函数P(x, y, z),Q(x,y,z),R(x, y,z)是定义在 上的有界函数，为光滑曲面，函数f (x, y, z)是定义在上的一个有界函数,nf (x, y,z)dS lim。 f ( i , i , J SiR(x, y, z)d xdy limiR( i, i1,i)( Si)xy 同理,P(x,y,z)dy
10、dz 1叫nP( i,i 1i , i )(Si)yzQ(x, y, z)d zdxnlim0R( i , i , i )( Si )zxi 1性质:计算：一一“ 一投二代三定号0 i 1:z z(x,y) , (x,y) Dxy , z z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在 上连续，则R(x,y,z)dxdyRx, y, z(x, y)dxdy, 为上侧取“ + ”，为下侧取Dx yPQR散度：divA -x yz(七) 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线的侧与 的正向符合右手法则,3、两类曲面积分之间的关系：其中,为有向曲面在点(x, y
11、,z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取外侧，函数P, Q,R在 上有连续的一阶偏导数，则有或PQRdxdydz 、 Pcos QcosRcos d Sxyz2、通量与散度通量：向量场 A (P,Q, R)通过曲面 指定侧的通量为：Pd yd z Qdzd x Rd xd yP(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：2、环流量与旋度Pdx Qdy Rdz环流量：向量场A (P,Q, R)沿着有向闭曲线 的环流量为旋度：rot ARy
12、QzPzRJxQxPy第十二章无穷级数 常数项级数 定义：(一)1、1)无穷级数：unU1U2U3Unn 1n部分和：SnUkU1U2U3Un，k 1正项级数Un，Un0n 1交错级数(1)n)Un，Un0n 12)级数收敛：若lim Sn nS存在，则称级数un收敛，否则称级数n 1Un发散3）条件收敛：Un收敛，而Un发散;n 1绝对收敛:Unn 1收敛。性质：改变有限项不影响级数的收敛性;级数 an， bn收敛，则(an bn)收敛;n 1n 1n 1级数 an收敛，则任意加括号后仍然收敛;n 1必要条件：级数Un收敛n 1lim Un0.（注意：不是充分条件！）n审敛法正项级数:Un，
13、Unn 1定义：lim SnnS存在;2)Un收敛n 1Sn有界;比较审敛法:Un，Vn为正项级数，且 叫 V. （nn 11,2,3,Vn收敛，则Un收敛；若 Un发散，则1Vn发散.1比较法的推论:Unn 1Vn为正项级数,1若存在正整数m ，当nm 时，Unkvn，而Vnn 1收敛，则 Unn 1收敛；若存在正整数m，当m 时，UnkVn，而Vnn 1发散，则Un发散.比较法的极限形式:UnVn为正项级数，若limnUnVnl (0），而Vn1收敛，则Un收敛；若1limnUnVn0或 limnUnVn比值法：n，而Vn发散，则n 1Un发散.11时，级数Un 1 un为正项级数，设li
14、m 1n Unl，则当l1时，级数Un收敛；则当1时，级数Un发散;Un可能收敛也可能发散.n 1n 1n 1根值法：un为正项级数，设limnnn 1I，则当I 1时，级数Unn 1收敛；则当l1时，级数 unn 1发散；当I 1时,级数Un可能收敛也可能发散.n 1极限审敛法:Un为正项级数，若lim n Unn0或 limnUn，则级数nUn发散；若存在1P 1，使得limnnpUn l(0），则级数Un收敛.交错级数:莱布尼茨审敛法:交错级数:1)nUnUn0满足:Un 1Un(n1,2,3,），且lim un 0，则级数n(1)nun 收敛。1任意项级数:u绝对收敛，则 nn 1常见
15、典型级数：几何级数:二）函数项级数收敛。naq0收敛,发散,定义：函数项级数Un(x) 5n 1收敛域,幂级数:na“xn 0收敛半径的求法:limn收敛半径,，则收敛半径p -级数:和函数;R 0,泰勒级数展开步骤：（直接展开法）求岀f(n)(x),1,2,3,求岀f (n)(xo),0,1,2,写岀f(n)(x)n 0 n!(xx)n ；验证lim Rn(x)nlimnf(n 1()(n 1)!（x x0）n 10是否成立。间接展开法:（利用已知函数的展开式）1) ex” x ( n 0 n!1 收敛, 小卩发散,xsin xcosxln(1(1x)(1)n 1 101)n1)n2n x
16、(2n 1)!1 2n x (2n)!(1, 1)；(1, 1)mx)正交系:分为零。(1)n0 n 11)傅里叶级数定义：1, 11, 1)m(m 1)(mn!xn,x ( 1, 1)1,sin x, cosx,s in 2x,cos2x,sinn x, cos nx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积傅里叶级数:f (x)色 (ancos nx2 n 1bn sin nx)1anf (x)cosnxdx (n 0, 1, 2,)系数：1bnf (x)sinnxdx (n 1, 2, 3,)2)收敛定理：(展开定理)设f (x)是周期为2的周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet ) 条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2) 在一个周期内只有有限个极值点，则f (x)的傅里叶级数收敛，且有3)傅里叶展开:求出系数:anbnf (x)cosnxdx (n 0, 1, 2,)f (x)sin nxdx (n 1, 2, 3,)写出傅里叶级数 f (x)a。2(an cos nx bn sinnx)；n 1根据收敛定理判定收敛性。计算：“ 一单二投三代入”