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1、勾股定理毕达哥拉斯定理用代数思勾股定理 是一个初等几何定理,是人类早期发现并证实的重要数学定理之一,想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.勾股定理 是余弦定理 的一个特例.勾股定理约有400种证实方法,是数学定理中证实方法最多的定理之一.“勾三股四弦五是勾股定理最根本的公式. 勾股数组方程a2 + b2= c2的正整数组a, b, c.3,4,5 就是勾股数.也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2 ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理命题1如果直角三角形 的两条直角边长分别为 a, b,斜边长为c,那么1工+反二 勾股定理的
2、逆定理命题2如果三角形的三边长a, b, c满足十匕？二J ,那么这个三角形是直角三角形. 【证法1赵爽证实以a、b为直角边ba,以c为斜边作四个全等的直角三角形,那么每个直角三角形1的面积等于1ab.把这四个直角三角形拼成如图所不形状.2 Rt A DAH 9 Rt A ABE/. / HDA = / EAB. / HAD + / HAD = 90o,/ EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o.EFGH一个边长为b-a的正方形,它的面积等于 T.虫3T .【证法2】课本
3、的证实做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a+b ,所以面积相等.即二2,整理得 4b .【证法3】1876年美国总统 Garfield 证实以a、b为直角边,以c为斜边作两个全把这两个直角三角形拼成如下图形等的直角三角形,那么每个直角三角形的面积等于状,使 A、E、B三点在一条直线上.Rt A EAD 9 Rt A CBEJ / ADE = / BEC. ZAED + /ADE = 90o,ZAED + Z BEC = 90o.Z DEC = 180
4、o 90o= 90o.A DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于2 .又ZDAE = 90o, / EBC = 90o,AD/ BC.ABC比一个直角梯形,它的面积等于1.【趣闻】：在1876年一个周末的黄昏,在美国华盛顿的郊外, 有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥 俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,忽然发现附近的一个小 石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三 角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么只见那个小男孩头也不
5、抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为 3和4,那么斜边长为多少呢伽菲尔德答到：“是 5呀.小 男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少伽菲 尔德不加思索地答复到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.小男孩又说道：“先生,你能说出其中的道理吗伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题. 他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证实方法.1876年4月1日,伽菲尔德在?新英格兰教育日志?上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总
6、统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证实,就把这一证法称为“总 统.证法.【证法4】欧几里得证实做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如下图形状,使 H、C、B三点在一条直线上,连结 BF CD.过C 作 CLA DE 交 AB于点 M 交 DE于点 L.AF = AC AB= AD /FAB = / GADA FAB 9 A GAD3 A FAB的面积等于AGADW面积等于矩形 ADLM的面积的一半,矩形ADLM的面积=11rl.同理可证,矩形 MLEB勺面正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积【证法5】利用相似三角形性质证实如图,在RtAA
7、BC中,设直角边 AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDL AR 垂足是 D.在 AADCD AACB中,4 ZADC = ZACB = 90o, / CAD = / BAC,AADC s AACB.5 .AD： AC = AC : AB,即=同理可证,A CDB s AACB从而有 近=孙q昱四即1+中=【证法6】邹元治证实以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,那么每个直角三角形的面积等于工.把这四个直角三角形拼成如下图形状,使A、E、B三点在一条直线上,三点在一条直线上,C G D三点在一条直线上.6 RtAHAE 9 Rt AEBF,.1. ZAHE
8、= / BEF.7 ZAEH + ZAHE = 90o,. ZAEH + / BEF = 90o.ZHEF = 180o90o= 90o.四边形EFGH一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.8 Rt A GDH Rt A HAEJ / HGD = / EHA.9 /HGD + ZGHD = 90o,.,. Z EHA + / GHD = 90o.又 / GHE = 90o,/ DHA = 90o+ 90o= 180o.ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于?.【证法7】利用切割线定理证实在RtAABC中,设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB = c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于 D E,那么BD = BE = BC = a.由于/ BCA = 90o,点 C在.B上,所以AC是OB的切线.由切割线定理,得【证法8】作直角三角形的内切圆证实在Rt A ABC中,设直角边 BC = a , AC = b,斜边 AB = c.作Rt A ABC的内切圆.O,切点分别为D E、F 如图,设.0的半径为r.10 AE = AF , BF = BD, CD = CE,=54 co = r + r = 2r,即=+八匕=蚤, ff+A-i+e.“司万斗寸=,又.=应-1*3匕A-+ “V 4人4 J?土 一46,42rf=24一