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1、海淀区20202021学年第一学期期中练习高三数学2020.11本试卷共4页，150分。考试时长12。分钟。考生务必海答案答在答题纸上.在试卷上作答无 效，考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共4吩)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项Q(1)已知集合N 二 |工|a3O, 5=0,2,4),则4nB 二(A) 0,2(B) 0,2,4(C) (xx3(2)已知向量昨(巩2), b= (2,-1).若46则加的值为(A)4(B) 1(0-4(D) |x|0x01 使得 2yl(C) Vx0,都有2Z1(B)3x4ab(D
2、 ) 2a o(5)下列函数中，是偶函数且在区间(0, + 8 )上为增函数的是(A) y=21nx(B)y = lxM(C)(D)=cosx1/4(6)巳知函数/UKInaxT,在下列区间中，包含力五零点的反间是(A)(0, 1)(B)(U 2)(0(2, 3)(D)(3, 4)(7)已知数列的前项和为立 口号“ 115Ml23,),则.3c产(A)。(B) 1(C) 2020(D) 2021(8 )巳知函数y = /Uin (公s 0)的部分图象如图所示.懦该函数的图象向左平移f RA0)个单位长度，得到函数片/(工)的图象.若函数尸二/(工)为奇函数，贝卜的最小值是(9)设3是实数,则“
3、OVxVl,且OV*r”是力唯工+ 1。百yVO”的(A)充分而不必要条件(B)必耍而不充分条件(C)充分必要条件(D)疏不充分也不必要条件(10)对于函数/().若集合网工0.八*)=人-%)中恰布个元素，则称函数是5阶 .准儡函故”.若函数八x)=& “2阶椎码函数，则。的取值范围是I jrt xa(A)( -8, 0)2)(C)o, 4)(DH2, 4)第二部分(非选择题共110分)二、填空期共5小题，每小题5分，共25分。(II )若复数z=(则I却=.(12)已知如“01)=2,则 5110 =.(13)已知等差数列%的前项和为&-若的=9,公差d=-2.则5人的最大他为.(14)在
4、边长为2的正三角形23c中，是5C的中点，。是线段的中点.若丽二工获+前，贝ix+y =;而,威=.(15)唐代李辛:发明了 “桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图.某桨轮船的轮子的半径为3m,它以lrad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P,点产 到船底的距离是/(单位：m),轮子旋转时间为? (单位：$当，=。时，点/在轮子的最高点处.当点尸第一次入水时，/=;当，=时，函数HQ)的瞬时变化率取得最大值, 贝IJ 4的最力、值是.三、解答题共6小题，共85分Q解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题共14分)在/8C 中，sin B =
5、 2sinCf cos.(I )若2/&。的面积为近，求c的值；(n)求目的值.C(17)(本小题共14分), 已知等差数列J满足。$ = 9, 0十%二22.(I )求闻的通项公式；(H )等比数列他J的前项和为且仇=%,再从条件、条件、条件这三个条件 中选择两个作为已知条件，求满足S.V2020的力的最大值.条件；万尸为十即；条件,每二7二条件：bnbn.3/4更多资料请扫码获取(18)(本小题共14分)已知函数/U) = e%2?3x).(I)求不等式/(x0的解集；(n )求函数/(x)在区间0,2上的最大值和最小值.(19)(本小题共14分)已知函数/=2sin(x+).(I)求八、
6、)的单调递减区间;(II )设g(x)=/Q)/(工-金.当尤0,m时，g(x)的取值范围为0,2:追,求朋的 最大值.(20)(本小题共14分)已知函数f(x ) =0-30 + 2 +4a.(I )当。=-1时，求曲线尸/袅)在点(3J(3)处的切线方程；(H)若函数/(x)在区间(4a：3)上具有单调性，求的取值范围；(见)当a Q时，若七十5 2,求/(4)十/(/)的取值范围.(21)(本小题共15分)已知是无穷数列,i = a, %=瓦 且对于以中任意两项口，勺(i ,在)中 都存在一项a* (j k =0,求证：数列中有无穷多项为。；(m)若工九求数列的通项公式.4/4海淀区20
7、20-2021学年第一学期期中练习数学答案第1页（共10页）高三数学参考答案2020.11-、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号(1)(2)(3)(4)5(6)(7)(8)(9)(10)答案ACCDBCABAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分,题号(11)(12)(13)(14)(15)答案72-32534 12 371 匹32三、解答题共6小题，共85分。(16)(本小题共14分)b c解(I )由正弦定理得：sin B sin C因为 sin B = 2sin C ,所以b = 2c .3 因为 cos A =1 f 0 An ,4所以 sin A =V1- cos2A
8、= 4因为S =yp ,所以 S = lcsinA = lx2/xsinA = a所以/ = 4.所以c = 2.(II )由(I )知 = 2c.因为 cos A =二，43 所以 a1 =b2 +c2 - 2bccosA = 4c2 +c2 -4c2 x_ = 2c2.4（17 ）（本小题共14分）解：（I ）设等差数列4的公差为d,则4=3+（-1）4.因为“5 = 9 3 + 49 = 22 ,所以 an = 2/J -1.（II ）选择设等比数列q的公比为q .因为 瓦=ax， by = at + a2，所以b=,岳=4.因为3=7,所以 h=s3a=2.所以q上=2.仇（1一d）所
9、以邑=2一1.1 一9因为 S2020,所以 2一1 2020.所以n，数学答案第2贞（共10页）更多资料请扫码获取所以7 = 2.d) 所以，=I.1 一夕因为 S2020,所以 r-1 2020.所以n10.即n的最大值为10.选择设等比数列/的公比为q .因为 53 = 7, = 1,所以l + q + /=7.所以(7 = 2 ,或夕=-3.因为, 所以g = 2. 6(1一夕”) 所以s二2-1.1一4因为 Sn 2020 ,所以 272020所以n0 ,Fh f(x) = er (2x2 - 3x) 0 ,得 2 - 310.所以.二. 2 所以不等式/(x)0的解集为(x|x ，
10、.(1【)由 f(x) = el (2x2 - 3幻得：fx) = er (2x2 +3)= er(2x+3)(x-l).3令 /*(A)=0 ,得 X=1 ,或 X=-，(舍).2/(x)与fXx)在区间0, 2上的情况如下:X0(0,1)1(1,2)20+/(A)0-e/2e2所以当x=l时，取得最小值/(l) = -e ; 当x=2时.f(x)取得最大值2) = 2e?.(19)(本小题共14分)解(I )因为 = sinx的单调递减区间为2E +上,2E+* e Z ).22所以 2女兀+二 4 x+F 4 2&兀 +_. AeZ.262所以2&兀+二,工；142女兀+ +1 , k
11、wZ.33所以函数 八外的单调递减区间为狭兀+ t2E + 11 (keZ).33(II)因为 /(x) = 2sina + 3，6所以 /(x-5 =2sinx.6因为 g(A)=/(X)/(X-l),6所以 gU) =4sin(x + 5sinx6=4( sin x +_! cos A)sin x=2/sin2 x + 2 cos x sin x =贺1- cos 2x) + sin 2x= 2sin(2x?+?.因为 0xni ,所以一:4 2x二4一.333因为g(x)的取值范围为0,2 + N,所以sin(2x-3的取值范围为-五,1. 32所以三4竺. 233解得：250 时，令
12、f(x) = o 得 xi=0,X2 = 2./(a)与/Xx)在区间(to. +oc)上的情况如下：X(-8。)0(0,2)2(2, +a)f(x)+00+/U)极大值极小值因为f(x)在(“,4 + 3)上具有单调性，所以a2.当4.由(II)知，当a 0时，/(x)的递增区间是(-8,0), (2.+00),递减区间是 (0. 2) .因为X+X22,不妨设X】X2，则刀21.数学答案第5贞(共10页)若 A l 2 - XI 2 .所以 /(X) + /(%2) f(K)+ /(2 - 再)=4 + 4/ 4.若X 0 ,因为X2 1,所以73)+f(M)Nf(2)+f(2) = 4,
13、当且仅当即=必=2时取等号.综上所述，/5) + /。2注4.再证明：/(木)+ /6)的取值范围是假设存在常数wi (/?/4),使得对任意再+再 2 , /(“ + f(xj 2 + ,贝 IJf(2) + f (x ) = 2 + ax1 - 3竭 + 2 + 4。=2 + ax (x - 2户 + a(x - 2)2 + 2 a(x - 2产 + 4 m , 2 222与 f(X1) +/(.2) m 矛盾.所以/(*)+/(*)的取值范围是4,+8).（21）（本小题共15分）解：（I ）取， = 1,/ = 2,则存在纵（2女4）,使得分=为2-1,即43 =勿，2-4因为 41=
14、4 = 3,42 = 8 = 5,所以。3 =勿，2 -3=7. II ）假设 M 中仅有有限项为0 ,不妨设am =0,且当，时，如均不为0,则，“2 2.取i = l,/ = m,则存在点（mk2m使得，快= 0 ,与处h 0矛盾.HI）当a时，首先证明数列卬是递增数列，即证v gN*,如 知+|恒成立.若不然，则存在最小的正整数加,使得”之叱+1,且 “2品.显然 no 2 2 ,取 / = o,i = 1,2,，m ,则存在a* （ no k 2an - % 一 斯 an， oono o所以-。2-这“0 - 1个不同的数恰为 0II004%-1，4+2,M次-1这 T项所以an +i
15、 arl ,与品矛盾. 0000所以数列”是递增数列.再证明:an =a + (n-)(b一n),n = 1,2,3, i己 d = b - a ,即证 4 = + (-1), = 1,2,3, 一 .当=1,2时，结论成立.假设存在最小的正整数，加，使得斯=，什(-1)4对任意14金加恒成立,但“叫川工+，。”，则”?。- 2.取/ = 叽i = l,2,加一1,则存在“a ( mo k 2mo ),使得勰=2.叫-因为数列%是递增数列，所以442,。1 “用-】. 加-1 00I)所 以勿,一 ”=1 v 2a心一 b 时,令bn = 一， = 1,2,3,，则 1 = 一“力2 = -b ,且 1 bi.对于仇中任意两项仇也“力，数学答案第7页(共10页)因为对任意q, a)(i j)，存在ak(j k 2 j),使得&= 2勺- q , 所以ak = 2q (-“；)，即存在 bjj k 2j),使得=lb. - br 因此数列瓦满足题设条件.由可知 h,t= -a + (- 1 )(4 一 ), = 1,2,3,所以 an =4 + (- 1)俗一。), =1,2,3,3综上所述，41 = 4 + ( - 1 )(- 4), = 123,.经检验，数列4满足题设条件.数学答案第8贞(共10页)