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1、北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷（理科）一、选择题：共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 在复平面内，复数z满足z（1+i）=2，则z的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知直线l1：x+ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，若p：l1l2；q：a=-2，则p是q的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 设x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x+y的最小值为（ ）A. -4 B. -2 C. 0 D. 24. 我
2、国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值n为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 25. 函数y=2x2-e|x|在-2，2的图象大致为（ ）6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ） A. AA种 B. A54种 C. C54种 D. CA种7. 设函数f（x）=Asin（x+）（A，是常数，A0，0），且函数f（x）的部分图象如图所
3、示，则有（ ）A. B. C. D. 0，y0，x+2y=1，则的最小值为_。12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_。13. 在（x+）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_。14. 已知函数f（x），对于给定的实数t，若存在a0，b0，满足：xt-a，t+b，使得|f（x）-f（t）|2，则记a+b的最大值为H（t）。（1）当f（x）=2x时，H（0）=_； （2）当f（x）=x2且t1，2时，函数H（t）的值域为_。三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满
4、足（2a-c）cosB=bcosC。（I）求角B的大小；（II）若ABC的面积为，且b=，求a+c的值. 16. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人。为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图。（I）写出a的值；（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机
5、抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望。17. 如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，BAD=90，四边形CC1D1D为矩形，已知ABBC1，AD=4，AB=2，BC=1。（I）求证：BC1平面ADD1；（II）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（III）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由。18. 如图，已知椭圆C：（ab0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点。A（-a，0），|AF|=3。（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M。直线OM与直线x=4交于点D
6、，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E。求证：ODF=OEF。19. 已知函数f（x）=。（I）求f（x）在区间1，a（a1）上的最小值；（II）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）0只有两个整数解，求实数m的取值范围。20. 设数列an满足：a1=1；所有项anN*；1=a1a2anan+1。设集合Am=n|anm，mN*），将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值。我们称数列bn为数列an的伴随数列。例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3。（I）若数列an的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列an；
7、（II）设an=4n-1，求数列an的伴随数列bn的前50项之和；（III）若数列an的前n项和（其中c为常数），求数列an的伴随数列bm的前m项和Tm。参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。题号12345678答案ACABDCDA二、填空题：本大题共6小题，共30分。9. 6 10. 11. 8 12. 8+613. 30 14. 2；，2）2，4三、解答题：本大题共6小题，共80分。（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15. （本小题13分）解：（I）（2a-c）cosB=bcosC，2acosB=bcosC+ccosB，2 sinAcosB=sin BcosC+sinBco
8、sC=sin（B+C）=sin（-A）=sin A0A0，2cosB=1，cosB=又0B，B=7分（II）S=acsinB=ac=，ac=6，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=3（a+c）2=21，a+c= 13分16. （本小题13分）（I）解：a=0.03。 3分（II）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名。4分因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）10=0.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800=450人，6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生
9、频率为（0.03+0.005）10=0.35，学生人数约有0.351200=420人。所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人。 8分（III）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.00510=0.05，样本人数为0.0560=3人。同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0.00510）40=2人。故X的可能取值为l，2，3. 9分则P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=。所以X的分布列为：X123P12分所以E（X）=1+2+3=。 13分17. （本小题14分）（I）证明：由CC1D1D为矩形，得CC1DD1
10、，又因为DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，所以CC1平面ADD1， 2分同理BC平面ADD1，又因为BCCC1=C，所以平面BCC1平面ADD1， 3分又因为BC1平面BCC1，所以BC1平面ADD1。 4分（II）解：由平面ABCD中，ADBC，BAD=90，得ABBC，又因为ABBC1，BCBC1=B，所以AB平面BCC1，所以ABCC1，又因为四边形CC1D1D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交一点，所以CC1平面ABCD，因为CC1DD1，所以DD1平面ABCD。过D在底面ABCD中作DMAD，所以DA，DM，DD1两两垂直，以DA，DM，DD1分别为x轴、y轴和z轴，如图建
11、立空间直角坐标系， 6分则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0， 0，2），所以=（-l，2，2），=（-4，0，2）。设平面AC1D1的一个法向量为m=（x，y，z），由m=0，m=0，得令x=2，得m=（2，-3，4） 8分易得平面ADD1的法向量n=（0，1，0）。所以cos=。即平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为。10分（III）结论：直线BC1与CP 11分证明：设DD1=m（m0），=（0，1），由B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0），得=（-l，0，m），=（3，
12、2，m），=（3，2，m），=（-3，-2，0），=+=（3-3， 2-2，m）。 12分若BC1CP，则=-（3-3）+m2=0，即（m2-3）=-3，因为0，所以m2=-+30，解得1，这与00得f（x）的递增区间为（0，）；令f （x）0得f（x）的递减区间为（，+）， 2分xl，a，则当1时，f（x）在1，）上为增函数，在（，a上为减函数，f（2）=ln2=f（1），若2，f（x）的最小值为f（a）=， 5分综上，当12，f（x）的最小值为f（a）=. 6分（2）由（1）知，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+），且在（，+）上ln2xlne=10，又x0，则f（x）0. 又
13、f（）=0. m0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0或f（x）0解集为（，+），整数解有无数多个，不合题意； 9分，m=0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0，解集为（0，）（，+），整数解有无数多个，不合题意； . . . . . 10分m0得f（x）-m或f（x）0，f（x）0有两整数解，则f（3）-mf（1）=f（2），-ln2m-ln6 综上，实数m的取值范围是（-ln2，-ln6 . . . . . . 13分20. （本小题13分）（I）1，3，6 3分（II）由an=4n-1m，得nl+log4m（mN*） 4分当1m3，mN*时，b1=b2=b3=1
14、5分当4m15，mN*时，b4=b5=b15=2 6分当16m50，mN*时，b16=b17=b50=3 7分b1+b2+b50=13+212+335=132 8分（III）a1=S1=1+c=1 c=0当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1 an=2n-1（nN*） 9分由an=2n-lm得，n（mN*）因为使得anm成立的n的最大值为bm，所以b1=b2=1，b3=b4=2，b2t-1=b2t=t（tN*）当m=2t-1（tN*）时；Tm=2（t-1）+t=t2=（m+1）2 . . . . . . . . . . . . . . 11分当m=2t （tN*）时；Tm=2t=t2+t=m（m+2） 12分所以Tm= 13分- 12 -