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1、20182019 学年度第一学期期末调研考试高二数学试题（理科）注意事项：1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 .2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目填写清楚n xi yi nxy3. 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：b$ i 1n2 ，$a y $bx ，回归直线22xi nxi1方程 $y $bx $a.一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 .）1. 已知 z 2i ，则 z （ ）1i1A. B. 12C. 2 D. 3【答案】 C【解析】【分析】将复数 z的分母实数化，即分
2、子、分母同乘以 1 i，可得 z 1 i ，再根据模的定义即可求出 |z|详解】因为 z2i1i2i(1 i) 2i 2(1 i)(1 i) 2所以 |z| 12 122 故选： C【点睛】本题主要考查复数除法的运算及复数模的求法，属于基础题2.用分层抽样的方法从 10盆红花和 5 盆蓝花中选出 3 盆，则所选红花和蓝花的盆数分别为 （ ）A. 2 ，1 B. 1 ，2C. 0 ，3D. 3 ，0答案】 A解析】分析】利用分层抽样的性质直接求解详解】解：用分层抽样的方法从10 盆红花和 5 盆蓝花中选出 3 盆，则所选红花的盆数为：所选蓝花的盆数为： 故选 A1010 52，110 5A. k
3、 1 e1B. keC.【答案】 C【解析】【分析】求出导函数 f x ，由于函数 f xkx lnx 在区间 1成立 .解出即可【详解】解： f xk x1 ，xQ 函数 f x kxlnx 在区间 1,单调递增，3. 若函数 f x kx lnx 在区间 1, 上为单调增函数，点睛】本题考查所选红花和蓝花的盆数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题f x 0 在区间 1, 上恒成立1k 在区间 1, 上恒成立，x11 而 y 在区间 1, 上单调递减， y (0,1)xxk 1 故选 C点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档
4、题4.在区间2,2 内随机取出一个数a，使得 a2 a 2 0 的概率为 (A.B. 2C. 3D.答案】 D【解析】【分析】 解不等式求得的区间长度以及与区间 2,2 的长度，求比值即得【详解】解： a2 a 2 0，解得 a 1或 a 2，区间 2, 1 的长度为 1 2 1，区间 2,2 的长度为 4，满足题意的概率为 P 1 ，4故选 D【点睛】本题用在区间上取值，求满足条件事件的概率为例，考查了几何概型及其计算方法的知识，属于 基础题15.已知 a R ，则“1”是“ a 1”的()aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】
5、【详解】 或 ，所以是 的必要非充分条件，故选 B. 考点：充分必要条件 6.已知程序如下，若 a 35 ，则程序运行后的结果是 ( )A. 14.5 B. 8.5 C. 1.5D. 1【答案】 B【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的值详解】解：模拟程序的运行过程知，a 35 时， b351035 除以 10 的余数）3.5 5 8.5 ；10即程序运行后输出 8.5 故选 B【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题27.若命题 “ x0 R ， x02 mx0 2m 30 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A. 2,6B. 2,6C.,2 U 6,D.,
6、2U 6,答案】 A解析】分析】因为原命题是假命题， 其否定为真命题，问题可转化为x0R，2x02 mx0 2m 3 0恒成立， 故由02,6 【详解】因为命题“ x0R2， x02mx02m 3 0 ”为假命题，故其否定： “ x0R，2x0mx02m3 0 ”为真命题，故m2 4(2m3)2 m8m120 ，解得 2 m 6,即可求出 m 的取值范围故实数 m 的取值范围是故选： A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成 立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想8.某地区打的士收费办法如下：不超过 2公里收
7、 7 元，超过 2公里时，每车收燃油附加费 1 元，并且超过的 里程每公里收 2.6元 （其他因素不考虑 ） ，计算收费标准的框图如图所示，则 处应填 （ ）A. y 2.0x 2.2B. y 0.6x 2.8C. y 2.6x 2.0D. y 2.6x 2.8【答案】 D【解析】当满足条件 x2 时，即里程超过 2公里，超过 2 公里时，每车收燃油附加费 1元，并且超过的里程每公里收 2.6元 y=2.6(x-2)+7+1=8+2.6( x-2) ，即整理可得： y=2.6x+2.8. 众数是 9； 平均数 10；本题选择 D 选项 .9. 如图所示的茎叶图记录了一组数据， 关于这组数据给出
8、了如下四个结论：中位数是 9或 10； 方差是 3.4，其中正确命题的个数是 (A. 1B. 2C. 3D. 4答案】 C解析】分析】利用茎叶图中的数据求出众数，中位数，平均数与方差的大小，从而判定正确的命题详解】解：茎叶图中的数据是 7，8，9，9， 9，10，11，12，12，13；所以，众数是 9， 正确；平均数是 7 8 9 9 9 10 1112 12 1312 12 13 10， 正确；中位数是9 109.5， 错误；21 2 2 2 2 2 2方差是 (7 10)2(8 10)2(9 10)2(9 10)2(9 10)2(10 10)210(11 10)2 (12 10)2 (1
9、2 10)2 13 10)2 3.4， 正确；所以，正确的命题有 3 个；故选 C【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数、方差、众数以及中位数的问题，是基础题10. 已知函数 f x 的导函数 f x2a(x b)2 c a 0 的图象如图所示，则函数的图象可能是 ()C.答案】 D解析】由导函数图像可知，当在 0,x1 单调递增，因此当0 时，函数 f x 单调递减，故排除x 0 时，函数由极小值，故排除B，C ；由 fx 在 (-,0) 上单调递减，A.且点 P 恰为 AB的故选 D.11.设抛物线 x2 4 y的焦点为 F，经过点 P 1,5 的直线 l与抛物线相交于 A、B两点，中点，则
10、AFBFA. 12B. 8D. 2C. 4 【答案】 A【解析】【分析】过 A,B,P 作抛物线准线 y 1的垂线，垂足分别为 C,D，E ，利用梯形的中位线及抛物线的定义，即可 求出 AF BF 的值【详解】过 A, B, P作抛物线准线 y 1的垂线，垂足分别为 C,D，E ，则PE是梯形 ACEB 的中位线，所以 |AC | |BD | 2|PE| 12， 由抛物线的定义可得 AF BF |AC| |BD| 12故选： A【点睛】本题主要考查抛物线的定义，要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距 离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径12. 已知
11、, , 且 sin sin0 ，则下面结论正确的是（）22A.B.C. 22 D. 2 2【答案】D解析】分析】由 sinsin0 ，即 sin sin，故可构造函数 f(x) xsin x ，研究函数 f(x)在 x , 22的单调性和奇偶性，然后逆用单调性并结合偶函数的性质，即可得到结果详解】令f(x)xsinx，x 2,2 ，因为sinsin0 ，所以 sin sin ，即 f( ) f( ) ，因为当x 时， f (x) sin xxcosx 0，故函数 f ( x)在0, 2上是单调递增，又因为f(x) x sin( x) x sin x f (x) ，所以函数 f (x) 为偶函数
12、，解析】|，所以2 2所以由偶函数性质可得 f (| |) f (| |) ，所以 | | | 故选： D点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，关键构造出函数，属于中档题、填空题：(本大题共 4小题，每小题 5 分，把最简答案填在题后横线上)13. 函数 y lnx 2x 1的图象在点 1, 1 处的切线方程为答案】 x y 0解析】分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线方程详解】解：函数 y1lnx 2x 1的导数为 y 2 ，x可得切线的斜率为 k即有切线方程 y 1即为 x y 0 故答案为 x y 0 点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线
13、方程的运用，属于基14. 二进制数 1101102 化为十进制数是答案】 54分析】利用 1101102 1 251 24 0 231 22 1 21 0 20 54(10 ).即可得出详解】解： 110110 21 25 1 240 23 1 22 1 21 0 205410故答案是： 54点睛】本题考查了把“2进制”数化为十进制”的方法，属于基础题2 x 15. 已知双曲线 C： 2 a22y2 1(a 0,b b0） 的左顶点为 A，右焦点为F，0,buuur，且 BAuuurBF0，则双曲线 C 的离心率为答案】 5 1解析】试题分析：由题意得：a,0 ， Fc,0 ，所以 ，uuur
14、Fc,b，uuur因为uuurF0，所以 b2 ac0 ，因为 b2c2 a2，所以c2ac a2 0 ，两边同除以a2 ，得e2e 1 0，解得：152舍去）或 e 1 52考点： 1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算316. 已知函数 f x 2x3mx23m n x 1的两个极值点分别为 x1,x2 ，且x10,1 , x2若存在点 P m,n 在函数y loga x 4 a 1 的图象上，则实数 a 的取值范围是答案】 1,3 （或 1 a3)解析】1,详解】f x6x26mx3(mf00m所以，故f103m因为存在 Pn) ，因为 x1 0,1 ,x2 1, ，n 0 ，
15、不等式表示的平面区域如图所示 n20故 A 在函数m, n 在 ylog a x 4 的图象上，y loga x4 的图象的下方，而 A 1,1 ，所以 1 loga 3，解得 1 a1a 3 填 1,3 点睛：函数极值点 范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图象和平面区域的关系得到所求参数的取值范围三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分析可得切线的斜率，据此分析可得答案【详解】解： 1 根据题意，圆 x22 y2x4y 0 ，其标准方程为 （x 1）2 （y 2）2 5 ，则其圆心的坐标为 1,2 ；2 根据题意，圆的方程为(x 1)2(y2)2
16、5，而点 3,1 恰好在圆上，2 1 1 又由 K AC ，则切线的斜率 k 2，1 3 2则切线的方程为 2x y 5 0 【点睛】本题考查圆的一般方程以及圆的切线方程，关键是掌握圆的一般方程的形式，属于基础题18.某公司为了提高工效， 需分析该公司的产量 x（ 台）与所用时间 y（小时 ）之间的关系，为此做了四次统计，所得数据如下：产品台数 x（ 台 ）2345所用时间 y（ 小时 ）2.5344.51 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y? b?x a? ；2 预测生产 10 台产品需要多少小时？【答案】（ 1） y 0.7x 1.05 （2） 8.05小时【解析】【分析】1 求出出横
17、标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和， 做出系数 b?和 a?的值，写出线性回归方程2 将 x 10 代入回归直线方程，可得结论【详解】解： 1 由题意， b? 52.5 4 3.5 3.5 0.7 ，54 4 3.52a? 3.5 0.7 3.5 1.05，于是回归方程 y? 0.7x 1.05 ；2 由题意， x 10 时，y? 0.7 10 1.05 8.05答：根据回归方程，加工能力 10 个零件，大约需要 8.05小时 【点睛】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题19. 同时抛掷两枚骰子，并记下二者向上的点数，求
18、：1 二者点数相同的概率；2 两数之积为奇数的概率；3 二者的数字之和不超过 5 的概率115【答案】（ 1） 1（2） 1（3） 56 4 18【解析】【分析】1 把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数 n 6 6 36 ，记事件 A 表示“二者点 数相同”，利用列举法求出事件 A 中包含 6 个基本事件，由此能求出二者点数相同的概率 2 记事件 B 表示“两数之积为奇数”，利用列举法求出事件 B中含有 9 个基本事件，由此能求出两数之积为奇数的概 率 3 记事件 C表示“二者的数字之和不超过5”，利用列举法求出事件 C中包含的基本事件有 10 个，由此能求出二者的数字之和不
19、超过5 的概率【详解】解： 1 把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数 n 6 6 36 ，记事件 A 表示“二者点数相同”，则事件 A中包含 6个基本事件，分别为： 1,1 ， 2,2 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ， 二者点数相同的概率 p A 6 1 36 62 记事件 B 表示“两数之积为奇数”，则事件 B中含有 9 个基本事件，分别为：1,1 ， 1,3 ， 1,5 ， 3,1 ， 3,3 ， 3,5 ， 5,1 ， 5,3 ， 5,5 ，91两数之积为奇数的概率 P B 36 43 记事件 C 表示“二者的数字之和不超过5 ”，由事件 C中包含的基
20、本事件有 10 个，分别为：1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 3,1 ， 3,2 ， 4,1 ，10 5二者的数字之和不超过 5 的概率 P C 36 18 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.如图，已知矩形 ABCD中， AB 2， AD 1，M 为 DC的中点 .将 ADM 沿AM折起，使得平面ADM 平面 ABCM (如图)，并在图中回答如下问题：(1) 求证： AD BM ；(2) 求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 .【答案】 (1) 见解析； (2) 2 3【解析】【
21、分析】(1) 根据图中数据可利用勾股定理逆定理得 BM AM ，再结合图中平面 ADM 平面 ABCM ，利用 面面垂直的性质定理可得 BM 平面 ADM ，从而证出 AD BM ；uuru r(2)要求直线 CD 与平面 ABD所成角，只需求出直线 CD 的方向向量 CD 与平面 ABD的法向量 n，代入向 uuur r uuur r 量的夹角公式求出 cos CD,n ，设直线 CD 与平面 ABD所成角为 ，利用 sin |cos CD,n |，即可得到结果【详解】 (1) 如图，矩形 ABCD中， AB 2， AD 1，M 为CD 中点，所以 AM BM2，所以 AB2 AM 2 BM
22、 2，由勾股定理逆定理得 BM AM ， 如图，平面 ADM 平面 ABCM ，且平面 ADM I 平面 ABCM AM ， BM 平面 ABCM ， 所以 BM 平面 ADM ，又 AD 平面 ADM ， 所以 AD BM .(2) 取 AM 中点 O，作 ON/BM ，因为 BM 平面 ADM ，OD 平面 ADM ， 所以 BM OD，又 BM AM ，ON /BM ，所以 ON OD，ON AM ， 因为 AD DM ，所以 DO AM ，建立如图所示的空间直角坐标系，uuuvAD 由 uuuvABnvn 00，得n02x22x2z22y0 ，令 x01 ，则 y 1z 1.所以 n(
23、1,1,1)，uuur r 所以 cos CD, nuuur rCD nuuur r|CD | |n|22 1 1 3 223，设直线 CD 与平面ABD所成角为uuur r，则 sin |cos CD,n |2，3B 若， AB2 5 ，求 m 的值及 VOAB 的3面积 (O 为坐标原点)答案】1)2)2，23解析】分析】1 根据椭圆的离心率可得2c，再根据四边形的面积可得ab2，由 a2 b2c 2 ，解得 a22，所以 CD 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 2 3【点睛】本题主要考查证明线线垂直的方法及向量法求线面角，同时考查面面垂直的性质定理，关键是要找出折起前后图形中不变的量，
24、本题第(2) 问也可以直接用定义法找出线面角直接求解2221.已知椭圆 C： x2 y2 1(a b 0) 的离心率为 2 ，以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为 2 2 a 2 b221 求椭圆 C 的方程；12 设过点 M m,0 ，斜率为 的直线与椭圆 C 相交于两点 A，2b2 1 ，可得椭圆方程12和判别式大于 0，再由弦长公式和点到直线的距离公式，可得三角形的面积2 设直线 AB 的方程为 yxm， A x1,y1 ， B x2,y2，代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理详解】解： 1 设椭圆半焦距为 c ，Q 离心率为 2 ，2a 2c ，Q 长轴和短轴为对角线的四边形的面积为 2
25、 2 ，ab 2 ，Q a2 b2 c2 ，a2 2， b2 1，2椭圆方程为 x2 y21设直线AB的方程为1yx2， A x1,y1 ， B x2,y2 ，1y22x2，消由可得 3x 222mx m2 4 0 ，4m2x1 x2Q AB12m22mx1x20，解得m2 4253x1x21 k2 x1x2)24x 1x 220 ，92，248 8m2 16，解得 m99此时直线 AB的方程为 x 2y2 0或 x2y原点 O到直线 AB的距离 d25，VOAB 的面积 S 1 AB d21 2 523点睛】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，属于中
26、 档题22. 已知函数 f xx2 2a 1x alnx ， x 0,a .1)求函数 f x的最大值；12)若当 a时，恒有 f x21答案】 (1) 0 a 2 时，无最大值；ln1a5 成立，求实数 m 的取值范围 .4111时， aln a ；(2) m ln(1 ln 2) 224解析】分析】(1)只需判断 f (x) 0的解与区间 (0, a)的关系，从而确定函数f (x) 的单调性，进而求出 f (x) 的最大值；(2)只需 f(x)maxln 1 mam ln a a ln(2 e)54 即可，由 (1) 知即 aln1恒成立，2故只需求出值范围详解】(1) f xa2x (2
27、a 1)x2x2 (2a0得 x11， x2 a .2若 0 a，则 f x 0 ，所以 f所以，无最大值 .若 a，所以由 f x 0 得，函数 f x 在0得函数 f x 在 1,a2上单调递减，故函数 f x 的最大值为 f (1)(2)由 (2) 知： a所以，由题意可得1时， f x2aln12即 m ln aa ln(2 e) 1令 g(a) lnaln(2 e)1，则由 g (a)ln(2 e)0 得，所以，可得函数g(a)1)xxln a15ln 1a m 54即可，从而将问题转化为0,a 上单调递增，0,122a 1 aln 122a ln(2 e) 1的最大值，即可求出 m 的取上单调递增，aln1210,a 上的最大值为 f(12)ln 1 ma5，41ln(2 e)aln121a，411g(a)在(21,ln(21e) 上递增，在 ( 1 , ln(2 e) 上递减 .所以函数 g(a) 的最大值为：1 1 1 1g(ln(12e) ln(ln(12e) ln(12e)ln(2e) 1 ln(ln(12e)ln(1 ln 2)，所以 m ln(1 ln 2).【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的最值及恒成立问题，同时考查分类讨论的思想，分类讨论关1键是确定分类的标准，本题只需比较 1 与 a 的大小2