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1、说明高中数学不等式知识点总结选修4-5知识点1、不等式的基本性质 abba,?(对称性) abbcac,?(传递性) abacbc,，,，?(可加性) a,b,c,d,a，c,b，d(同向可加性) a,b,c,d,a,c,b,d(异向可减性) a,b,c,0,ac,bc?(可积性) a,b,c,0,ac,bc abcdacbd,0,0?(同向正数可乘性) ababcd,0,0cd(异向正数可除性) nnababnNn,0(,1)且?(平方法则) nnababnNn,0(,1)且?(开方法则) 1111a,b,0,;a,b,0,abab?(倒数法则) 2、几个重要不等式 22ab，22ab,.a
2、bababR，,2，ab,2,?,(当且仅当时取号). 变形公式:ab，,ababR，,，ab,2?(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).2ab，,ab,.,2abab，,2,变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. abc，3,abc，()abcR、,3?(三个正数的算术几何平均不等式)(当且仅当abc,时取到等号). 222abcabbccaabR，,，,，? abc,(当且仅当时取到等号). 333abcabcabc，,3(0,0,0)? abc,(当且仅当时取到等号). ba若则ab,，,0,2ab?(当仅当a=b时取等
3、号) ba若则ab,，,0,2ab(当仅当a=b时取等号) bb，ma，na,1,abmn,000)，aa，mb，nb?，(其中 规律:小于1同加则变大，大于1同加则变小. 22当时，或axaxaxaxa,0; ?22xaxaaxa,. ababab,，.?绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 222abab，,ab，,11(abR,ab,ab，22,?平均不等式:，当且仅当时取号). ,(即调和平均几何平均算术平均平方平均). 变形公式: 2222abab，,()ab，22ab,;ab，,.,22,2 ?幂平均不等式: 12222aaaaaa，,，.(.).nn1212n ?二维形式的三角不
4、等式: 222222xyxyxxyy，,，,()()(,).xyxyR,112212121122 ?二维形式的柯西不等式: 22222()()()(,).abcdacbdabcdR，,，,adbc, 当且仅当时，等号成立.?三维形式的柯西不等式: 2222222()()().aaabbbababab，,，123123112233 ?一般形式的柯西不等式: 2222222(.)(.)aaabbb，,，(.).abababnnnn12121122 ?向量形式的柯西不等式: ,kk设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. ?排序不等式(排序原理): aaabbb,.,.ccc,
5、.,bbb,.,1212nn12n12n设为两组实数.是的任一排列，则abababacacac，,，.,，ababab.12111122nnnnn,1122nn,(反序和乱序和aaa,.bbb,.12n12n顺序和)，当且仅当或时，反序和等于顺序和.?琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) fx()xxxx,(),1212若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有 xxfxfxxxfxfx，()()()()12121212ff()().,或2222则称f(x)为凸(或凹)函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差，作商法)、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩
6、法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法: 13122()();aa，,，242?舍去或加上一些项，如 ?将分子或分母放大(缩小)， 11112212,22kkk(1),kkk(1)，21kkkkkk，,如 12*,(,1)kNkkkk，1等. 5、一元二次不等式的解法 2axbxc，,0(0)或求一元二次不等式 2(0,40)abac,解集的步骤: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法.
7、 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切)，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化，则 fx(),0()()0fxgxgx()fxgx()()0,fx(),0,gx()0,gx()“,或”, (时同理) 规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 fx()0,fxaa()(0),2fxa(),? fx()0,fxaa()(0),2fxa(),? fx()0,fx()0,fxgx()(),或gx()0,gx()0,2,fxgx()(),? fx()0,fxgx()(),gx()0,2,fxgx
8、()(),? fx()0,fxgx()(),gx()0,fxgx()(),? 规律:把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法: fxgx()()aafxgx,()()a,1?当时, fxgx()()aafxgx,()()01,a?当时, 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 fx()0,log()log()()0fxgxgx,aa,fxgx()(),a,1?当时, fx()0,log()log()()0.fxgxgx,aa,fxgx()(),01,a?当时, 规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: aa(0)
9、,a,.,aa(0),?定义法: 22fxgxfxgx()()()().,?平方法: ?同解变形法，其同解定理有: xaaxaa,(0);? xaxaxaa,或(0);? fxgxgxfxgxgx()()()()()()0),? fxgxfxgxfxgxgx()()()()()()()0),或? 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法 2axbxc，,0解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:a?讨论与0的大小; ,?讨论与0
10、的大小; ?讨论两根的大小. 14、恒成立问题 最值：若a0，则当x=时，；若a0，则当x=时，2axbxc，,0?不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ,bc0,0;a,0?当时 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。a,0,0.a,0,?当时 九年级数学下册知识点归纳2axbxc，,0?不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: (一)数与代数,bc0,0;a,0?当时 10.圆内接正多边形a,0,0.a,0,?当时 4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。,fxa();fxa(),max?恒成立 sin,fxa();fxa(),max恒成立 ,fxa();fxa(),min?恒成立 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则,fxa().fxa(),min恒成立 15、线性规划问题 53.264.1生活中的数3 P24-29常见的目标函数的类型: zAxBy,，; ?“截距”型:yyb,z,;z,xa,x?“斜率”型:或 六、教学措施：2222zxy,，;zxy,，?“距离”型:或 2222zxayb,，,()().zxayb,，,()()或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.