《破解理科数学导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《破解理科数学导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,b R8 / 5以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不等式的作用.题目1: (2015长春四模题)已知函数A. a eB. x1 x2 2【答案】C【解析】函数f(x)导函数：有极值点x ln a ,而极值f (lna) af(x)有两个零点：ex1 axi 0, ex2即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：a bln a In b那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 a b a ba b, a b , 4abl
2、n a ln b 2以下简单给出证明：不妨设a b,设a bx,则原不等式变为：2(x 1) x 11, ln x x 1. xf(x) ex ax有两个零点x1 x2,则下列说法错误的是C.xx2 1D.有极小值点 xo,且 x x2 2xof (x) ex aaln a 0 , a e , A 正确.ax2 0,即：x1ln a 1nxi x2 ln a ln x2 -得:题目2: （2011辽宁理）已知函数f2x ln x ax (2 a)x.x1x2ln x1In x2根据对数平均值不等式：x1 x2x1 x21；1x1x22 ln x1 In x2x1 x2 2,而 1 Jx1x2
3、,x1x2 1 B 正确，C 错误21n a ,即D成立.而 + 得：x1x221n a In x1x2x1x2-得：In x1In x2 a(x1x2)(x1x2) (2a)(x1 x2) 0,若函数y f x的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f %0【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去 证明第三问： 设 A(x1, f (x1) , B(x2,f(x2), x1 x2 ,则 x21n x1 ax1(2 a)x10 In x2 ax2 (2 a)x2 0 1x1 x2a(x1x2) (2 a) ln x1 ln x2而根
4、据对数平均值不等式:x1 x2x1 x2ln x11nx22等式代换到上述不等式1 x1 x2 a(x1 x2) (2 a) 212a% (2 a)根据：2ax0 (2 a)x0 0（由得出）式变为:2axe2 (2 a)x0 1 0(2x0 1)(ax0 1) 0i (2x0 i) 0 ,x0 ,x0在函数单减区间中,即:af(Xo) 0题目3: (20i0天津理)已知函数f x xex x R .如果Xi X2,且f Xif X2 .证明:xi x2 2.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问:设 f (Xi) f(X2) c ,则 c
5、, e。X2Xe2c ， (XiX2）两边取对数In x1Xiln cIn x2X2In cXiX2In X1In x2根据对数平均值不等式XiX22XiX2In xiIn x2xi x2 2题目4: （2014江苏南通市二模）设函数f xex ax a a R ,其图象与x轴交于A Xi,0 B X2,0 两点，且 XiX2.证明：f JXX20 ( f X为函数f X的导函数）.【解析】根据题意：e：Xi axia 0, ex2aX2 a0移项取对数得:XiIn( Xii)In ax2In(X2i)In a-得：xi x2 In( xi i) In( x2 i),即:根据对数平均值不等式:
6、(X 1)(x2 1) 1根据均值不等式:函数”乂）在（题目5:已知函数(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1). (Xi 1)(x2 1)ln(x1 1)(x2 1)x1x2,ln a）单调递减f(x)1求证：0 x1x22e【解析】由x11nxi m ,x1+得:根据对数平均值不等式利用式可得:(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1)0,+得:2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln ax1x2.xx2 ln a2（.后）0xlnx与直线x2 ln x2m ,x2 m(x1ln x2y m交于 A(x1, y/ B(x2, y?)两点.可得:mln x1ln x1ln x1 ln x2xx2xx22ln x,ln x2(S ln x1 ln x2m(lnx2 lnx,)ln x1 ln x2ln x1ln x2(为x2)m(ln x1In x2)m21n x1 In x2In x1 In x2由题于y m与y xlnx交于不同两点，易得出则m 0上式简化为： 21n(x1 x2)2 1n e,八1 - 0 x1x22e