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1、数学在自控中的应用一. 拉氏变换已知 f(t),求 F(s)=?41) .f(t) = l-eT2) .f(t) = 0.03(1-cos2t)3) .f(t) = sin(5t + )4) .f(t) = e)4/r：7e-4lcos(t + 14 )=L (cost-4sint)1. 1 +9t 1Q.f(t) = e-1e-w8181f(t) = l-2e+eTcos5).F(s)=s + 2s(s + 1)2(s + 3)例 LF(s) = 一!一，求 f(t) s(s + a)w.F(s)=i(s+a)-s=iria s(s + a) aLs s + a_a微分方程一般形式：cn)
2、+ a,C(nn + an.1C + C = b()rm, + b1rm-,) + - + + bmrL:(设初条件为0)sn +a1sn-1 +a2sn-2 + +an.|S+an c(s) = bosn, + b1sn,-1+-+ bilvls + bmr(s).(boS,n +邪|2 + +bmJS + bm)R(S)_ B(S).R(S) . J;sn +%s +a2sn2 +- + an4s + an A(s)_B(s).R(s)(s-pI)(s-p2)-(s-pn)P1 :特征根C(s) = W+， +， + . +=之，S-Pl S-P2 S-P3 S-pn M S - Pl二.
3、 f(t) = CePJ +c,ep；l +c,eP3 +- + cnePnl = ciePs， ep,t:模态 i-1F(s)的一般表达式为：来自Cn)+%。同 +-+an.1C + C = bor m)A(s) sn +a(s +a2sn +- +an,Is + an其中分母多项式可以分解因式为：A(s) = (s-p1)(s-p2)-(s-pn)(II)认为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：I： A(s) = O无重根时：(依代数定理可以把F(S)表示为：)F(s) =二 + 上+ 上 + =二 S-P1 S-P2 S-p3 S-Pn S-p,/. f(t) = Cjep 1 +c
4、2ep：l +c3ePsl + + :0小=，qe即：若q可以定出来，则可得解:而q计算公式:(III)dir)(说明(ni)的原理，推导(n)例 2: F(s) = _ + 2 求f=?s. +4s + 3hjj l/、 s + 2Ci C)角单:F(s)=+(s + l)(s + 3) s + 1 s + 3111c. = lim (s +1)ST-I-1 + 2 1(s + l)(s +3) 1 + 3 2inc7 = Iim (s + 3)-st-3一3 + 2 1(s + 1 )(s + 3)3 + 12口、 1/21/2s+1 s+3.f(t) = le-+le-3122例 3:
5、F(s) = ： +、s +、,求f(t) = ?s. + 4s +3解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)(s +4s + 3) + s + 2F(S)=1Pi(IV)1 rw) hm (m-1)! dsm-1 ip1 /.f(t) = L-,F(s)=JJ-1 Cm +_I|_ C + 0m+l |_ %|_(S-Pl)m(S-P|) S-p, S - pm+1 S-pn_=-.+ ._产-2+ c，+ ep + yc,eplt (V)|_(m 1)!(m-2)!-例 5 Rs) = V-求f(t) = ?s(s + l)-(s + 3)解:s + 3s + 2 s(s + 1)2(
6、s + 3)IVC3IV d 、=lim (s + 1)- edss + 2s(s+1)2(s + 3)s(s + 3)-(5 + 2)(s + 3) + 51(s + 3)2=lim s.ST。s + 2s(s + 1)2(s + 3)c, = lim (s + 1)2 - ST-】S + 2 s(s + 1)2(s + 3)=lim (s + 3). st3113 12 1112(s + l)2 -47+T+3s+12s + 32 1 尸-C -r 十v43 12三、用拉氏变换求解微分方程例 1: + 21 + 21 = 2%初始条件灯=1；。)=0求 1(1)=/Ur(t)=l(t)9
7、解：L： IV+Zs + W L(s)= US)2_ s2 + 2s + 2s(s + 2)s(s + 2s + 2) s(s- + 2s + 2)1 s + 21 s +1 +1s s+2s + 2 s (s +1) +1_s+1_1S (5 +I)2 + I2 (5 + I)2 +12特征根：4.2=1 土 jL 1： l(t) = 1 -/cos t/cos t= l-;Sin(t + 45 )例2如右图RC电路：初条件：uc(0) = uc0输入 ur(t) = E0.lt依克西霍夫定律：I(s) = CsQ (s)U.(s) = -Ll(s) CsI(s) _ Cs Uc(s)-CR
8、s + lur(t) = i(t) R + uc(t) (*) Ji(t) = C&=CRCUD + lL变换:Ur (s) = CR(sUc (s) - ud) + Uc(s) (*)= (CRs + l)Uc(s)-CRuc 卫次这机枝伙机|02,只是有以下几点+ 口 没门叽面受二匚+3“Eb写二)克希霍夫:ua=Ri + Eb牛顿定律：利用前四个方程中的三个消去中间变量安培定律：Mm =cn,ids a4 夕at=6么得出：Tmco + oj=KmiiaT _JmR/力”为九代.时间常数传递系数加上=幽同一系统输入输出量选择不同有不同+ 1 Ms)G= =也-s(T3 + l) Ua(s
9、)形式的传递函数若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图: 分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼 此等价。此图清楚的表明了电动机部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图6.两相交流伺服电动机7.齿轮系：传动惯量向电机轴上的折算:负载轴上的粘滞阻尼,堵转力矩:Ms =cm.ua机械特性：M, =M、一%0牛顿定律：以=3+上93 = 0利用前两式消去心M,可得:T&+幻=KmKm _Q(s). 小+ 1 UKm 0(s)G、= s(Tms + ) Ua(s)分别各式进行拉氏变换得：方框图M为负载轴转矩(3)对于电机轴：/小叼对于负载轴：j22=m2-72在
10、啮合点：f1=f2而 M=FYi M_/M1=F1r1 i r2(4)又有：利用4式中的3个，消去中间变量M1,M2M2,得出Mm外之间关系:一般地，有多级齿轮转动时:可见：由于一般减速器总有& = il越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大,远离电机轴的负载影响则较小若一级减速比，；很大，则负载轴的影响可以忽略不计课本习题: 已知控制系统结构图如图所示，求输入f) = 3xl”)时系统的输出c(f)。解由图可得2C(s)_$2+2s + i _2R一 22(s + D -(-s + 2s +13又有R(s) =二s23231(5+ 1)(5 + 3) SS 5 + 15 + 3i7
11、-71T+= 2_36t6.试绘制图所示系统的信号流图。7 .已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为，) = 1 - 26口+6-,，试求系统的传递 函数和脉冲响应。解单位阶跃输入时，有R(s) = l,依题意S、 121 3s+ 21C(5)= += -S S + 2 5 + 1 (S + 1)(5 + 2) S.G(s) = 2 3s+ 2R(s) (5+ 1)(5+ 2)&) = LG(s)=L+ !_s + 1 s + 2_8 .已知系统传递函数 ，且初始条件为c(0) = -1, d(0) = 0,试求系 R(s) 1+3s + 2统在输入r(r) = l(r)作用下的输出C(r)
12、。解系统的微分方程为2 + 3 21 + 2c=2r(r)(1)(ir dt考虑初始条件，对式(1)进行拉氏变换，得9.可写出解(a)根据运算放大器“虚地”概念,灰J一耳(b)R) + q(s) - C(1 + AiGs)(1 + A，C,s)KGGR、+RCs(c)&O + &CS)U*s)_ &+点一 u / S)&10 .已知单摆系统的运动如图示。(1)写出运动方程式(2)求取线性化方程解：(1)设输入外作用力为零，输出为摆角6,摆球质量为他 (2)由牛顿定律写原始方程。m（l z-）=- / sin 6 - hdr其中，为摆长，为运动瓠长，力为空气阻力。（3）写中间变量关系式h = a
13、（l）dl式中，。为空气阻力系数/半为运动线速度。dt（4）消中间变量得运动方程式ml+ al + mg sin 8 = 0（2-1）由一 dt/单摆运动此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在夕=0的附近，非线性函数sine忆6 ,故代入式（2-1）可得线性化 方程为td2O td0 c 八ml + al + mO = 0dt2dt11 .已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。机械旋转系统解：（1）设输入量作用力矩输出为旋转角速度3 o （2）列写运动方程式r dco g .J = f 3 + M $dlf式中，/力为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形
14、为r dco .JF fco = M fdt J 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为夕，则由于 deco =dt代入方程得二阶线性微分方程式j粤+悭=M, dr dt12 .设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图所示。倒立摆系统倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向 倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面运动。控制力”作用于小 车上。假设摆杆的重心位于其几何中心上试求该系统的运动方程式。解：(1)设输入为作用力“，输出为摆角(2)写原始方程式，设摆杆重心力的坐标为(尤，匕)于是 XA=X+lsnO画出系统隔离体受力图如图所示。隔高体受
15、力图摆杆围绕重心1点转动方程为:J = V7sin8 /cos。(2-2)dr式中，/为摆杆围绕重心力的转动惯量。摆杆重心力沿方轴方向运动方程为：dr, 2即/n_(x + /sin &) = H(2-3)dr摆杆重心才沿y轴方向运动方程为：,2m -业二了 - mg力-即m - (/ cos 8) = V-mgdr小车沿x轴方向运动方程为：d2xM - = 1，一 H dr方程(22),方程(2 3)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin。和cosd项, 所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当d很小时，可对方程组线性化，由sindga同理可得到cosl则方程式(22)式(2-
16、3)可用线性化方程表示为：jf = vie-Hidt1d2xde mb + ml z- = H drd0 = V - mgd?xM、=u-H力2用2 =的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量K肌*得 dt2(-Ml- M + m J)s2O + (M += ml将微分算子还原后得“ MJ J d20, dO(Ml + - + ) - - (M + m)g = 一mll (-at此为二阶线性化偏量微分方程。13.仍无源网络电路图如图所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数 (s)/r(s)。川C无源网络解：在线性电路的计算中, 满足广义的欧姆定律。如果二端元件是电阻R引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系, 即：电容C或电感,则复阻抗Z(s)分别是R 1/$或 s。(1)用复阻抗写电路方程式:/i(s)= m(s)-Ul(s)j.5叫t/cl(5) = /1(S)-Z2(S)-7LC)5/2(S) = t/rl(S)-f7r2(S)(2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得依网络结构图，见图(a)。(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图(0)、(而、(而。