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1、专题复习一： 二次函数及其相关知识点海安高级中学 丁兆稳二次函数是中学数学的重要内容，它承接了初高中衔接的重任，它彰显函数的所有特色，它是高中许多重要知识点的依托，也是解决许多问题的工具。与二次函数相关的内容有：（1）三个“二次”，即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式具有丰富的内涵和密切的联系；（2）圆锥曲线，二次函数是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具；（3）导数，二次函数是三次函数的导函数，而三次函数是导数中的一颗璀璨明珠。高考试题中近许许多多的试题与二次函数紧密相关，甚至多年作为压轴题出现在试卷中。案例探究【例1】已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若
2、在区间上是减函数，且，求实数的取值范围.（原创题，命制意图：本题以二次函数为背景，重点考查函数定义域、值域、单调性等基本性质综合运用的能力，难度中等）【思路点拨】解决（1）的关键是观察函数的对称轴与所给区间的位置关系；（2）的突破口则是对题中文字的论述的转换：对任意的，总有等价于解：(I) （）,在上是减函数，（2分）又定义域和值域均为， ，（4分） 即 ， 解得 .（6分）(II) 在区间上是减函数，（8分）又，且，.（11分）对任意的，总有，（13分）即 ，解得 ，（14分） 又， .（15分）【例2】已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，
3、求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围.【思路点拨】轻松将所给条件简化为a的范围后，本题的实质是在所给定义域内求函数的取值范围,即求分段函数的值域问题解：由条件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)当a1时，原方程化为：x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+.a=时，xmin=,a=时，xmax=.x.(2)当1a2时，x=a2+3a+2=(a+)2当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,6x12.综上所述,x12.【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函
4、数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.【错解分析】：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.【思路点拨】：利用方程思想巧妙转化为函数在定义域内求值域，化形为数，轻松击破。(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于
5、不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是.(2,)时，为减函数 |A1B1|2(3,12),故|A1B1|().【例4】已知是函数的两个零点，函数的最小值为，记（）试探求之间的等量关系（不含）；（）当且仅当在什么范围内，函数存在最小值？（）若，试确定的取值范围。【思路点拨】：求解函数问题务必重视定义域，这是这里几个问题想要突出的重点。本题中的（3）还想请同学们注意利用函数思想求变量的取值范围是高考必须掌握的内容之一-
6、借求，（）的值域解决范围问题解：（1）由得，所以，所以（2）由得，对称轴为从而有，从而有（3），从而有，所以或从而有，因为，所以，所以，的取值范围为【例5】已知函数（，且）的图象在处的切线与轴平行.(I) 试确定、的符号；(II) 若函数在区间上有最大值为，试求的值.（原创题，命制意图：主要考查导数的综合应用，对学生分析、解决问题的能力及代数推理能力要求较高）3解：(I)由图象在处的切线与轴平行，知，又，故，.(II)令,得或易证是的极大值点，是极小值点（如图）.令，得或.分类：(I)当时， . 由，解得，符合前提 (II)当时，,. 由，得 . 记,在上是增函数，又，,在上无实数根.综上，的
7、值为. 知识连接1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若p,则f(p)=m,f(q)=M;若px0,则f()=m,f(q)=M;若x0q,则f(p)=M,f()=m;若q,则f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方
8、程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq).3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立歼灭训练一、填空题1.若不等式(a2)x2+2(a2)x40,则实数p的取值范围是_.3.二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)
9、0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.5.如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.5.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证：(1)pf()0或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).答案：(3，）3.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案：2x0二、4.解：(1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=loga
10、t，代入上式得x3=, logay=x23x+3，即y=a (x0).(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),则y=au若0a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+,x(0,2应有最小值当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16.所求a=16,x=.（3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：5.证明：(1)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。,由于f(x)是二次函数，故p0,又m0,所以，pf()0.(2)由题意，得f(0)=r,f(
11、1)=p+q+r33.123.18加与减（一）3 P13-17当p0时，由(1）知f()0(一)情感与态度：若r0,则f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)内有解;(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.若r0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)内有解.当p0时同理可证.6.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得 九年级数学下册知识点归纳y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.x265x+9000，(x20)(x45)0，解得20x454、加强口算练习，逐步提高学生计算的能力。当月产量在2045件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y=2x2+130x500=2(x)2+1612.5（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)x为正整数，x=32或33时，y取得最大值为1612元，（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.文档已经阅读完毕，请返回上一页！