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1、三角形的“四心”与向量的完美结合一、知识点总结Benz定理(奔驰定理)：已知P为三角形 ABC内任意一点，则SpbcPA S pacPB S pabPC 01) O是 ABC 的重心 OA OB OC 0；1 若 O是 ABC 的重心，则 S boC S aoC S aob SabC，故 OA OB OC 0,3 uuiruuu uuu uuurPG 3(PA PB PC) G 为 ABC 的重心.2) O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA；若。是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S RC： S AC： S acr tan A:tan B:tanC,故 tan A OA
2、 tan B OB tanC OC 0 boc aoc AOBT T 2 -2 n23) O 是 ABC 的外心 OA OB OC (或 OAOB OC )若O是ABC的外心，则 S BOC : S aoC ： S aob sin BOC ： sin AOC ：sin AOB sin 2A ： sin 2B ： sin 2c boc aoc aob4) O是内心 ABC的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记OCCb)CB)故 sin2AOA sin2B OB sin 2C OC 0AB,BC,CA的单位向量为6,62 ,则刚才。是ABC内心的充要条件可以写成oa (el q) ob
3、 (e62)OC (e2 eJ第5页共6页O是ABC内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0故 aOA bOB cOC若 O 是 ABC 的内心，则 S boc ： S aoc ： S aob a：b：c 0或 sin AOA sin BOB sin COC 0uur uuurunr uuu uuu uuu r|AB|PC |BC |PA |CA|PB 0 P向量uuuABuurr|ab|uuur-4)(|AC|0)所在直线过ABC的内心；ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);、典型例题【例1】：O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OAAB A
4、C )AB AC0, 则P点的轨迹一定通过ABC的( )(D)垂心(A)外心(B)内心(C)重心AP ,则原式可化为uuin与AC方向上的单位向量分别为8和e2OP OAAP(e1 e2),由菱形的基本性质知 AP平分 BAC,那么在 ABC中,AP平分 BAC ,则知选B.变式1 :已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点满足unnOPuurOAuuu1uuiTAC uuuA.重心| AB | cosB | AC |cosCB.垂心),0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC的(uuu解：由已知得APuuu/ AB(uun| AB|cosBC.外心 uuur ACD.内心
5、uun uuur二 AP BCuun/ AB(-utu-uunBCuurACuttr-|AB|cosBuuu uun| AB | |BC | cos( B) uuu!|AB|cosBuuu. APuur BC,即 API BC,-uur| AC | cosCuuuBC )| AC| cosC变式2:已uuu知Ouuuruun OB OCOP 2A.重心uuinuun| ACuuu,BC | cosC =| AC| cosC )uuin|BC|uuin|BC|)二 0,所以动点P的轨迹通过 ABC的垂心，选B.是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足B.uuin, AB(-
6、uutn| AB | cos B垂心uunAC、-uuu),| AC | cosCC.夕卜心0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC白()D.内心uuu uuur OB OC解：设BC的中点为D,则 2uuuruurOD ,则由已知得DPuuu/ AB(uuu| AB |cosBuuurAC、-uutf)| AC | cosCuuui uuuDP BCuuin uur, AB BC(-uur| AB|cosBunr uuinAC BC 、-uuur)=| AC | cosCuur uur(| AB| BC|cos(B)| AB|cosBuuur uur|ACJJbC|cosC)| AC| cos
7、Cuuiruuir(|BC| |BC|)= 0 .P的轨迹通过 ABC的外心.选C .DPI BC, P点在BC的垂直平分线上，故动点变式 3：已知 O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 uuuuuruuu uur abACOP OA(-uuu -uuu),0,),则动点P的轨迹一定通过 ABC的()|AB|sinB |AC|sinCA.重心 B.垂心C.外心D.内心uur解：由已知得APuuir/ AB(-uuu| AB |sin BuurAC、-uuur)| AC |sinC由正弦定理知uuu| AB|sin Buuir| AC |sinC ,uurAPuurA
8、C),uur-uuu(AB| AB |sin B设BC的中点为D,则由平行四边形法则可知点 P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过4 ABC的重心，故选A .uuu【例2.若O为ABC内一点，OAuuuOBuuurA.内心B.夕卜心是ABC的(D.重心uuuOBuuur OCuuu 由OAr uur0得OBuuirOCuurOA ,如图以OBOC为相邻两边构作平行四边形，则uur uurOB OCuuurOD ,uur由平行四边形性质知 OEuur1 -OD是重心，选D。OA 2OE ,同理可证其它两边上的这个性质，所以【例3】:已知。是 ABC所在平面上的一点,uuu aO
9、Auuu bOBuuur cOC =0,则。点是 ABC白()A.夕卜心B.uuu OB内心uuu uuuOA ABC.重心uuur uuuOC OAD. uuur AC垂心(a buuu c)OAuuu uur bAB cACuurbcAOcuuu(镖a b c | AB |uuur 僚) |ac|uur为其|AB|uurhaC-分别|AC|uur为ABuur 和AC方向上的单位向量，设uuruuuruur abAP Tm Tuu，则ap平分/ BAC.又AO、ACuuuuuiruuirAP共线,知AO平分/ BAC.同理可证BO 平分/ ABG CO|AB| |AC|平分/ ACR所以O点
10、是 ABC的内心.（选）【例4】：已知点O是 ABC内一点,uun uuuOA 2OBuuir3OC = 0,则:(2)AOB与AAOC的面积之比为ABC与AAOC的面积之比为ABC与四边形ABOC的面积之比为解:uur(1)将OB延长至E,使OE = 2OB将OC延长至F,使OF = 3OC则OAuuirOEuuuOF= 0,所以。是4AEF的重心.(2) v S1S3S AOF1BOC 二 S6-S 9EOF(选)(D(2)(3)AEF ， S AOB1S AEF ，18S AOBS AOCS BOC =(一6-S ABC : S AOC3:111、八 SABOCS AOB S AOC =
11、 ( )S6 9S ABC : SaBOC【例5】.在求证:求证:若AH解：连接AH /CDOH OAOH6:51s2AOE-S 6AEF ， , , S AOB : S AOC 3： 2 AEF-S 18AEFAEF=3 S AEF，S ABCABC中，O,G,H分别是 ABC的外心、OA OB OC ；O,G,H三点共线;OA,求 BAC的大小.，又 S AOC1 S AEF，91 s3S AEFBO并延长交 ABC外接圆于点D连接AD,CD,AH,CK然AHBC , CD BC ,所以OB OC因为G是是ABC的重心,所以HACD即OAOHOD OC OB OC ,所以OGAGAO4 A
12、BACOA1 1 =-AB AC OA=- OA33OBOC。AH OA,则 OH OA所以OBOCOA ,两边平方并注意到|oaOB,、2BAC 或二331 cos BOC = cos2 BAC = 一 ,2三、针对性练习1.在直角坐标系xOy中，已知点A（0,1）和点B（-34）,若点C在/AOB的平分线上,uur且 |OC | 2 ,uur2.已知点G是uuv xAB则OC =3. O是平面上一定点，A、B、C是平 面上不 共线的 三个点， 动点P满足OPOA(AB AC)，0,P的轨迹一定通过ABC 的（）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心4.已知A B、C是平面上不共线的三点,1 1
13、 1 O是二角形ABC的重心，动点P满足OP=( OA+OB+2OC),B.ABD.AB则点P一定为三角形ABC勺A.AB边中线的中点C.重心）边中线的三等分点（非重心） 边的中点2AB?CP,则P点轨迹一定通过 ABC （A 夕卜心B 内心 C 重心 D垂心6.已知非零向量 A*ACf足（Ab Ac|aB| +|AC|)一 l AB- BC=0且|AB|AC 1 一-=2 ,则ABE ()|A C| * * 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形7.已知。是 ABC所在平面上的一点，若uuuPOC.等腰非等边三角形D.等边三角形uuu uuu uuuraPA bPB-cPC （其中P是 A
14、BC所在平面内任意一点），则O点是ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心D.垂心uuu uuu uuur uuu 11r8.三个不共线的向量 OA,OB,OC满足OA (-AB- |AB|uuuCA、 uuu-utur) =OB|CA|uuu BA uuu-uuu+儒)=|BA| |CB|uurOCluur BC (luur |BC|unCA i-utur) = 0 ,则 O|CA|点是 ABC白（）A.垂心 B.重心C.内心D.夕卜心PC PA ,则 P是 ABC的（共6页9.P是 ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC第5页A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心uuu uur uu
15、r uur10.已知。是 ABC所在平面上白一点，若（OA OB）AB=（OBuur uur uuurOC) BC=(OCuuu uurOA) CA= 0,则O 点是ABCI()A.外心B.内心C.重心D.垂心uuur uuuuuur11. ABC中，AB=1, BC = J6, CA = 2, ABC的外接圆的圆心为 O,若AO AB AC ,求实数值.（选）12、已知P是非等边 ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA+P斗PC2取得最大值和最小值。C题12四.针对性练习答案uuuur .10 3、，m1. OC （,）552.33-10CBBD BCDA11.12.当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2R-OH当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R2-2R- OHuuuvABC的重心，过G作直线与AB, AC两边分另交于 M, N两点，且AMuuu/uuvAN yAC ,225.三角形ABC中，动点P满足：CA CB