《分式地概念与基本性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分式地概念与基本性质.doc（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式.A一般地，如果 A，B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为 0，故分式有意义的条件是分母不为0,当分母为0时，分式无意义.1如：分式-，当x 0时，分式有意义；当 x 0时，分式无意义.x分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”分式的基本性质分式的
2、基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.上述性质用公式可表示为：-am , a =(口 0).b bm b b m注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是m 0 ; 强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； 分式的基本性质是约分和通分的理论依据.、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式?1 x, ,-(x 2),t 3哪些是整式?【考点】分式的基本概念【解析】2x 2x 1x 1，I , 5a , 2m , x 223xx 12x 132a a3a根据分式的概念可知,1x2由此可知-,t分式的分母中必然含有字母，2x
3、1 2x 4 x 12x 1x 3x 2x 13a3a2为分式.x, c、 5a 小 3 x 斗(x 2) , 2m ,为整式.32n2323 xx1a a注意：3 x中分母中的n是一个常数，因此它不是分式.x2x ,aa，分式的概念nx 13a是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式232【答案】1，x 2x 1，竺上， 二 ，L为分式t x 1x 3x 2x 1 3ax5a3 x 击”亠(x 2)，2m，为整式.32n【例2】2 代数式L32 2x 1 x 1 a b 3 a b? ? ? ?2x x 12 y 2ab2Tn , xy中分式有(A. 1个B. 1个C.
4、1个D. 1个【考点】分式的基本概念x 1 x212x x 1【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有【答案】选C、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件:-3ab2nx y212 xx 32abm 1x yx 2x 8【考点】分式有意义的条件93【解析】分式有意义的条件是x0 ；分式有意义的条件是x3 0 ,即 卩 x 3 ;分式有意义的条件是2a1b 0，即 2a b , a -b ;2分式有意义的条件是2 m10 ,即m为任何实数；分式有意义的条件是2 xy 0，故x 0或者y 0 ;分式有意义的条件是2 x2x 8 (x 4)( x 2)0，即 x 4且 x2 ；
5、当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果分式有意义的条件是 x 3 0，即x 3【答案】x 0 ；x 3 ;/、 1 a -b;2m为任何实数； 故x 0或者y 0 ;x 4且x 2 ;即x 32x【例4】 要使分式 二 有意义，则x须满足的条件为 x 3【考点】分式有意义的条件【解析】x-3丸【答案】x 3标准文档【例5】1x为何值时，分式 有意义？1丄1 x a24要使分式 a1 3a没有意义，求a的值.1 -2a【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得【答案】(1) x 2 且 x1(2) a -或 a51 3a2a10或2a 0，所以a【例6】x为
6、何值时，分式有意义?【考点】分式有意义的条件12 0【解析】根据题意可得：2 x ，解得x 2且x5 - 2X但2X1【例7】x为何值时，分式 有意义？2 x丄2 x【考点】分式有意义的条件【解析】2 x- 0且2 x 0,则x 1,且x 3，且x 2 ,2 x【答案】则x 1，且x 3，且x 2【例8】若分式 x 250有意义，则x；1 1250 x卄|x| 250若分式一1 1250 x无意义，则x【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义，根据题意可得:250 x250 x 00，解得x251 且 x250；【答案】【例9】分式无意义，根据题意可得:(1)x 251 且 x 250 ；(
7、2)0 或 250 x 0,即 x 251 或 x 250；250 xx 251 或 x 250若池有意义，则33a).A.无意义B.有意义C.值为0D.以上答案都不对【考点】分式有意义的条件【解析】3a有意义的条件为3 a 0, a3 a所以西有意义，3 a3.同理33aa有意义的条件为a3.3a3不一定有意义，应选 D.【答案】【例10】x为何值时，分式x29有意义?1F_X【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：1 3 x ，解得x 3且x 4；3x0【答案】x 3且x 4【例11】若分式若分式x2 16(x 3)(x 4)x216(x 3)(x 4)有意义，则无意义，则【解析】若
8、分式x 16有意义，则x(|x| 3)(x 4)3且x3且x4；x216右分式|无意义，则x(|x| 3)(x 4)3或x3或x4；【答案】(1 ) x 3 且 x 3 且 x 4 ; (2) x3或x3或x4三、分式值为零的条件【例12】当x为何值时，下列分式的值为0 ?x 1%2 1x 3xx 1x 32xx372 X 2x 3x 1【考点】分式有意义的条件【考点】分式值为零的条件42x【解析】x 10x1，此时分母不为0 ,故当x 1时，原式的值为0 ；x2 10x1或者x 1，但当x1时，分母为0,故x1时，原式的值为0 ;由x30x 3，又 x 3 0x 3，故 x 3 ;由x233
9、0可知，无论x为何值，分式的值都不为0 ;2由x2x30 x 1或者x 3,又 x 10 x 1,故 x3 ；2由x402x 2，又 x 2x 0x 0 且 x 2，故 x 2 .【答案】x 1时；x 1；x 3 ；无论x为何值，分式的值都不为0;【巩固】当x为何值时，2x 1x 38x2x 82 x2x3(x1)(x2)252 x2(x5)2F列分式的值为0 ?(x 8)(X 1)x 1|x 62LCx 5x 62x 16x23x4【解析】根据题意可得:2x 1x 3，则2 x2x30x 3 或 x1，则所以x 3(x1)(x 2)0x1 且x2x601 12则x6x5x602 x1600则
10、x42x3x48x02，则x0x80252 x0则x5(x5)20(x8)(x 1)01 1，则x 8x10x6 :x4 ； x 0 ；6) x5 ;(7) x 80x2【考点】分式值为零的条件根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：1【答案】x 一 ；x 3；2【例13】若分式的值为0,则x的值为x 1【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，昌平一模【解析】4【答案】4【巩固】若的值为0,则x .2x a【考点】分式值为零的条件2x a 0 【解析】根据题意可得：，即x 2且a 4.x 20【答案】x 2且a 4.2【巩固】若分式-4的值为0
11、，则x的值为x 2【考点】分式值为零的条件 标准文档【关键词】2010年，朝阳一模【解析】2【答案】22X x【巩固】若分式2 的值为0 ,则x的值为X 1【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，房山二模【解析】0【答案】0x2 3x 2【例14】如果分式的值是零，那么 X的取值是X 1【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，石景山二模【解析】【答案】【巩固】若分式的值不为零，求x的取值范围.【考点】分式值为零的条件【解析】时，原分式的值不为零.【答案】【例15】由得：由得：若原分式的值不等于零， x的取值范围是x 2且xx 2且x 1且x 3x29-分式值为零？1 xx为何值时，
12、分式-1【考点】分式值为零的条件【解析】若分式丄*值为零,3 xx 3.【答案】【巩固】x为何值时，分式x2【考点】分式值为零的条件3x型值为零?4x x 5【解析】根据题意可得3x 04x 5i 00，解得x 0，若问此分式何时无意义，贝Ux 3或x 5或x 7 .【答案】【巩固】x3或x若分式二x【考点】【解析】【答案】【巩固】【考点】【解析】【答案】3x的值为0,则分式值为零的条件x| 32x 3x-，根据题意可得:x(x 3)x(x 3)0x 3 0 ，所以 x 3.x| 250若分式，1 250 x分式值为零的条件0,则分式值为零，根据题意可得:11 -250250 xx 250-0
13、x0 ,0解得x 250.x 250四、分式的基本性质【例16】填空:(1)ab2a(2)3xx xy【考点】【答案】【例17】【考点】【解析】(3)yxyx2 xy(4)2 2x 2xy y分式的性质x2 ；( 3)(1)a ；(2)若x， y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化?分式的性质73x 3y3x 3y3(xy)3(x y)9xyy)3(x，不发生变化x y3母x 3x 3y (3x)2(3y)2不发生变化3(x y)9(x y )是原来的3倍手七，是原来的丄倍x y3是原来的3倍【巩固】【考点】【解析】【答案】【例18】【考点】【解析】【答案】是原来的-倍3把下列分式中的字
14、母z x 2y(1)x y分式的性质x和y都扩大为原来的5倍,9x222x 3y分式的值有什么变化?(2)(1 )扩大5倍后的分式为(2)扩大5倍后的分式为(1 )分式值不变。5x2 5y5 x 2y5x 5y5 x9 5x2 22 5x 3 5y-空。因此分式值不变。x y5 9x25 2x2 3y29x5 2x2 3y1因此分式值为原来的丄。51(2 )分式值为原来的-5把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.不改变分式的值, 1.03x 0.02y3.2x 0.5y32x y J 31x352y分式的性质 1.03x 0.02y3.2x 0.5y1.03x 0.02y1003.2x
15、0.5y 100103x 2y320x 50y32xy 4_15xy323 x43y 12x y 12329x 8y4x 30 y103x 2y320x 50y 9x 8y4x 30 y【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。(1)0.3x 1.20.05x 11 1x y(2) 1 J-x 0.1y2【考点】分式的性质【解析】(1 )原式0.3x 1.2 206x 240.05x 1 20x 20(2)原式7057x 0.1y70214x 10y35x 7y【答案】(1 )x 20(2)14x 10y35x 7y(2)【例19】不改变分式值，使下列各式分子与分母中的
16、最高次数项的系数为正数:(1)【考点】分式的性质【解析】(1)原式a 1 a 1a 2 a 232(1)a12a2325aa(2)323aa(2)原式【答案】a a 5 a a【例20】求下列各组分式的最简公分母23a177a，1 2a a2 ?1a2 121xx2， 2? 2x4x5 x3xx 3x 102,22aababa222 2aabb abab3212992 2 ， 2x 18x 8181 x x 18x 81【考点】分式的性质【关键词】最简公分母【答案】7(1 a)2(1a)(x5)( x1)(x 2)；ab(a b)(ab);(x 9)2(x 9)2【例21】通分：8x2yn2m
17、mn53，12x yzm 2 nmn3320xy z1 2 mx(x 1)1(ab)(a c)221 x 2x 11(b c)(b a)(c a)(c b)【考点】分式的性质【关键词】通分45xy2z33；120x y z5312x yz【答案】28x y先分解因式，而后找公分母为X 1 (x 1)2(x 1) x50y233120x y zx(x 1)(x2_3 20xy3z1)2x2(x 1)18x233120x y zx(x 1) x(x 1)(x 1)2， x2 1 x(x 1)(x 1)2，2x 2x 12x(x 1)2x(x 1)(x 1)先分解因式，而后找公分母为mn(m n )
18、(m n)n2 m mn(a b)(a c)1n 2(m n) mn(m n )(m n) c bmnm2 (m n) mn(m n )(m n) 1mnmn (m n )(mn)(a b)(b c)(c a) b a(b c)(b a) (a b)(bcc)(ca)(c a)(c b) (a b)(b c)(c a)【例22】下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式,63a a b(2)旷4 b a(1)*【考点】分式的性质【关键词】最简分式【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。33a a b【答案】最简分式是(3 )和(4 )。【巩固】以下分式化简：4x 26x 1请化为
19、最简分式。因此最简分式是(x 2(1 )和(2)分别化简得3x3a(4)2 x2x 8x和( 4 )。(1)和(2 )分有(A.1个B.2个C.3个【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】约分是约去分子和分母中的公因式,、错误。而式中约分应得【答案】D【例23】约分：二4马30x2y3【考点】分式的性质4xI答案】歹；2x【例24】化简：二x2n 3 x42n8x24xn16x【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】原式x2n (x38)【答案】【巩固】nx (x2x 2x 4约分：x 22 a : bx yx2其中错误的D.4个而不是分子与分母中的部分因式或多项式式中的某些项, x y，所以
20、选D。n / 422、x (x 8x 16 4x )2)X2n(x 2)( X2 2x 4)xn(x2 2x 4)(x2 2x 4)n “x (x 2)x2 2x 4/、 3m2 6m(1)厂m m 6c n 1 46a b(2)24：2X：2x 4xy 4y（3）2an脣（n是大于的整数）；（4）2n 2xn x2n4x2nx 2x（n是正整数）【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】（1 ）原式3m m 2m 3 m 23mm 3原式x 2y x2yx 2y原式x 2y2. 3n 1.3a b 2a b2y原式n 12a b2nxx 2 xn23a【答案】(1 )3mm 3(2)-xn12xnx x 2 x 12yx 2y23(3)3a b on 1n(4) x 竺x 1