《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修1_120180.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修1_120180.wps（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、44 导数的四则运算法则 对应学生用书P41 导数的加法与减法法则 1 1 已知函数 f(x) ，g(x)x，那么 f(x) ，g(x)1. x x2 问题 1：如何求 h(x)f(x)g(x)的导数？ 1 1 1 提示：用定义，由 h(x) x，得 h(xx)h(x) xx xx x xx x x . xxx 则 f(x) lim x0 hxxhx x 1 1 lim 1 1 . x0 ( xxx) x2 问题 2：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？ 提示：成立 问题 3：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？ 提示：成立 问题 4：运用上面的结论你能求出(3x2tan xex)吗？
2、 1 提示：可以，(3x2tan xex)6x ex. cos2x 导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和 ( 差 )，即 f(x)g(x)f ( x) g ( x)， f(x)g(x)f ( x) g ( x) 导数的乘法与除法法则 已知函数 f(x)x3，g(x)x2，则 f(x)3x2，g(x)2x. 问题 1：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？ 1 提示：因为f(x)g(x)(x5)5x4， f(x)g(x)3x22x6x3，所以上式不成立 问题 2：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？ 提示：成立 fx fx 问题 3：gx 成立
3、吗？ gx 提示：不成立 fx fxgxfxgx 问题 4：gx 成立吗？ gx2 提示：成立 导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f(x)和 g(x)，则 f(x)g(x)f ( x)g(x) f(x)g ( x) fx fxgxfxgx gx . g2x (2)kf(x)kf ( x) 1f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，避免与f(x)g(x) f(x)g(x)混淆 2若 c为常数，则cf(x)cf(x) fx 3 类 比 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)记 忆 gx fxgxfxgx . gx2 对
4、应学生用书P42 导数公式及运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数： x1 (1)f(x)xln x；(2)y ； x1 x x (3)y2x3log3x；(4)yxsin cos . 2 2 思路点拨 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运 2 算法则求解 1 精解详析 (1)f(x)(xln x)ln xx ln x1. x x1 x1x1 2 (2)法一：y( ) . x1 x12 x12 x12 2 法二：y 1 ， x1 x1 2 2 y(1 )( ) x1 x1 2x12x1 2 . x12 x12 1 (3)y(2x3log3x)(2x3)(log3
5、x)6x2 . xln 3 x x 1 (4)yxsin cos x sin x， 2 2 2 1 1 y(x sin x)1 cos x. 2 2 一点通 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复 杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导， 以减少运算量 1用导数的运算法则推导： 1 (1)(tan x) ； cos2x 1 (2)(cot x) . sin2x sin x sinxcos xsin xcos x cos2xsin2x 解：(1)(tan x)(cos x) cos2x cos2x 1 . cos
6、2x cos x cos xsin xcos xsin x sin2xcos2x (2)(cot x)(sin x) sin2x sin2x 1 . sin2x 2求下列函数的导数 x3 (1)y4cos x3sin x；(2)y ；(3)yxnex. x23 解：(1)y(4cos x3sin x)(4cos x)(3sin x)4sin x3cos x. 3 x3 x3x23x3x23 x232x26x (2)y ( ) x23 x232 x232 x26x3 . x232 (3)y(xnex)(xn)exxn(ex)(nxn1xn)ex. 利用导数解决参数问题 例 2 已知抛物线 yax
7、2bxc通过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线 yx3 相切， 求 a，b，c的值 思路点拨 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确 定 a，b，c的值 精解详析 因为 yax2bxc过点(1,1)， 所以 abc1. y2axb，曲线在点(2，1)的切线的斜率为 4ab1. 又曲线过点(2，1)，所以 4a2bc1. 由Error!解得Error! 所以 a，b，c的值分别为 3，11,9. 一点通 1由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键 2若已知(x0，y0)处的切线方程为 ykxb，则有 f(x0)k，y0kx0b. x2
8、m2 3若函数 y (m0)在点 xx0处的导数等于 0，那么 x0( ) x Am Bm Cm Dm2 m2 m2 m2 解析：由 y( 1 ，结合题意得 1 0x m2x0m. x x) 20 x2 x20 答案：C 1 4已知曲线 yx31 与曲线 y3 x2在 xx0处的切线互相垂直，则 x0的值为( ) 2 3 3 3 A. B. 3 3 3 9 C. 3 D. 3 1 解析：因为 yx31y3x2，y3 x2yx，由题意得 3x (x0)1，解 20 2 1 3 1 3 9 得 x30 ，即 x0 . 3 3 3 4 答案：D 5若 f(x)为一次函数，且 x2f(x)(2x1)f
9、(x)1，求 f(x)的解析式 解：由于 f(x)为一次函数，则 f(x)必为二次函数， 令 f(x)ax2bxc，则 f(x)2axb， 代入 x2f(x)(2x1)f(x)1 得 x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1. 即(ba)x2(b2c)x(c1)0， Error!解得Error! f(x)2x22x1. 导数与曲线的切线 例 3 已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程； (2)直线 l为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标； 1 (3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切线
10、的方程 4 思路点拨 (1)求出 f(x)在 2 处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可 (2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点 坐标 (3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为 4，则可求出切点坐标 精解详析 (1)可判定点(2，6)在曲线 yf(x)上 f(x)(x3x16)3x21， f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13. 切线的方程为 y13(x2)(6)，即 y13x32. (2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l的斜率为 f(x0)3x201， 直线 l的方程为 y(3x201)(xx0)x30x016.
11、又直线 l过点(0,0)， 0(3x201)(x0)x30x016. 整理得，x308，x02. y0(2)3(2)1626. 5 k3(2)2113. 直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) 法二：设直线 l 的方程为 ykx，切点为(x0，y0)， y00 x30x016 则 k ， x00 x0 又kf(x0)3x201， x30x016 3x 1. 02 x0 解之得 x02， y0(2)3(2)1626. k3(2)2113. 直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) x (3)切线与直线 y 3 垂直， 4 切线的斜率 k4. 设切点坐标为(x0，y0)，
12、则 f(x0)3x2014， x01. Error! 或Error! 即切点为(1，14)或(1，18) 切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18. 即 y4x18或 y4x14. 一点通 利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程 (1)求曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程： 求导数 yf(x)，得斜率 kf(x0)； 写出点斜式方程 yf(x0)f(x0)(xx0)并化简 (2)求过点 P(x1，y1)的曲线 yf(x)的切线方程： 设切点坐标为(x0，y0)； 求导数 yf(x)得切线斜率 kf(x0)； 写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)； 代入
13、 P 的坐标(x1，y1)，求出 x0； 代入切线方程并化简 1 6若曲线 f(x) x3ax2x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围为( ) 3 6 1 A( ， 1， ) B( ，11， ) 2 1 C( ，10， ) D ， ) 2 解析：f(x)x22ax1， f(x)存在垂直于 y 轴的切线， f(x)0 有解，即 x22ax10 有解， (2a)240， a1 或 a 1， 即 a 的取值范围为( ，11， ) 答案：B 7曲线 yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_ 解析：y3x26x63(x1)23，当 x1 时，y取最小值 3. 点(1，14)处的
14、切线斜率最小，切线方程为 y143(x1)即 3xy110. 答案：3xy110 8若函数 f(x)ax22ln x(aR R)在点(1，f(1)处的切线 l 与圆 C：x2y21 相切， 求 a 的值及切线 l 的方程 2 解：依题意有 f(1)a，f( x)2ax ， x f(1)2a2. 直线 l 的方程为 ya(2a2)(x1)， 即(2a2)xya20.(*) |a2| l 与圆 C 相切， 1， 4a121 1 解得 a1 或 a . 3 1 把 a1 或 a 代入(*)式并整理得切线 l 的方程为 y1 或 4x3y50. 3 1运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要
15、认真分析函数式的结构特点， 较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则 2求切线方程 (1)求过点 P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法 是不同的 (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切 点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值 7 十四对应课时跟踪训练十四 x2 1函数 y 的导数是( ) x3 x26x x26x A. B. x32 x3 2x 3x26x C. D. x32 x32 x2 x2x3x2x3 解析：y(x3 ) x32 2xx3x2 x26x . x32 x32
16、 答案：A x 2曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为( ) x2 Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 xx2xx2 2 解析：y ， x22 x22 2 kf(1) 2. 122 切线方程为：y12(x1)，即 y2x1. 答案：A 3若过函数 f(x)ln xax 上的点 P 的切线与直线 2xy0 平行，则实数 a 的取值范 围是( ) A( ，2 B( ，2) C(2， ) D(0， ) 1 解析：设过点 P(x0，y0)的切线与直线 2xy0 平行，因为 f(x) a，故 f(x0) x 1 1 1 a2，得 a2 ，由题意知 x00，所以 a2 2. x0 x0 x0
17、 答案：B 4已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(e)ln x(e 为自然对数的底 数)，则 f(e)等于( ) 1 A. Be e 8 1 C De e 1 1 解析：由 f(x)2xf(e)ln x，得 f(x)2f(e) ，则 f(e)2f(e) x e 1 f(e) . e 答案：C sin xcos x 5函数 y 在 x 处的导数为_ 2cos x 3 sin xcos x 1 1 1 解析：y( 2) ， 2cos x ) ( tan x 2 2cos2x 1 x 时，y 2. 3 2cos2 3 答案：2 6若点 P 是曲线 f(x)x2ln x 上
18、任意一点，则点 P 到直线 yx2 的距离最小时点 P 的坐标为_ 解析：过点 P 作 yx2 的平行直线 l，且与曲线 f(x)x2ln x 相切设 P(x0，x20ln 1 1 1 x0)，则直线 l 的斜率 kf(x0)2x0 ，2x0 1，x01 或 x0 (舍去)，点 x0 x0 2 P 的坐标为(1,1) 答案：(1,1) 7求下列函数的导数 1 x 1 x (1)y ； 1 x 1 x ln x2x (2)y ； x2 1 x (3)y1 sin2 . 2 2 1 x2 1 x2 21x 解：(1)y 1x 1x 1x 4 2, 1x 4 41x41x 4 y( 2) . 1x
19、1x2 1x2 ln x 2x ln x 2x (2)y( x 2)( x2 )(x2 ) x2 1 x2ln x2x x 2xln 2x22x2x x4 x4 9 12ln xxln 2x22x2x x4 12ln xln 2x22x . x3 1 x (3)y1 sin2 2 2 1 x 1 3 1 4( 2) (3cos x) cos x， 312sin2 4 4 4 3 1 1 y( cos x) sin x. 4 4 4 8已知函数 f(x)ax2(a2)xln x. (1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)当 a1 时，求证：当 x1，e时，f
20、(x)0，其中 e 为自然对数的底数 解：(1)当 a1 时，f(x)x23xln x， 1 f (x)2x3 ， x 因为 f(1)0，f(1)2， 所以切线方程是 y2. (2)证明：函数 f(x)ax2(a2)xln x 的定义域是(0， )，f(x)2ax(a2) 1 . x 2ax2a2x1 2x1ax1 即 f(x) ， x x 当 a1 时，在 x1，e上，2x10，ax10，可得 f(x)0. 对应学生用书 P44 一、导数的概念 1导数：f(x0)lixm0 fx0xfx0 x x 是自变量 x 在 x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数 2导函数：
21、f(x)li m x0 fxxfx x f(x)为 f(x)的导函数，是一个函数 二、导数的几何意义 1f(x0)是函数 yf(x)在 x0处切线的斜率，这是导数的几何意义 2求切线方程： 10 常见的类型有两种： 一是函数 yf(x)“在点(x0，f(x0)处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的 点，其切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 二是函数 yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点 为 Q(x1，y1)，则切线方程为 yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点 P(x0，y0)得 y0y1 f(x1)(x0x1)，又 y1f(x1
22、)，由上面两个方程可解得 x1，y1的值，即求出了过点 P(x0，y0) 的切线方程 三、导数的运算 1基本初等函数的导数： (1)f(x)c，则 f(x)0； (2)f(x)x，则 f(x)x1； (3)f(x)ax(a0 且 a1)，则 f(x)axln a. 1 (4)f(x)logax，则 f(x) ； xln a (5)f(x)sin x，则 f(x)cos x； (6)f(x)cos x，则 f(x)sin x； 1 (7)f(x)tan x，则 f(x) ； cos2x 1 (8)f(x)cot x，则 f(x) . sin2x 2导数四则运算法则： (1)f(x)g(x)f(x
23、)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； fx fxgxfxgx (3)gx . g2x 三对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间 90 分钟，满分 120分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1下列求导运算正确的是( ) 1 1 1 A.( 1 B(log2x) xx ) x2 xln 2 C(5x)5xlog5e D(x2cosx)2xsin x 1 1 解析：(xx )1 ；(5x)5xln 5；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x) x2 11 2xcos
24、 xx2sin x， B 选项正确 答案：B 2设函数 y3x2 在区间4，2上的平均变化率为 a，在区间2,4上的平均变 化率为 b，则下列结论中正确的是( ) Aab Bab Cab D不确定 解析：一次函数 ykxb 在区间m，n上的平均变化率都为常数 k.y3x2 在区间 4，2，2,4上的平均变化率都为常数3，ab3. 答案：C 3运动物体的位移 s3t22t1，则此物体在 t10 时的瞬时速度为( ) A281 B58 C85 D10 解析：t10 时的瞬时速度即为 t10 时的导数值，s6t2. t10 时，s610258. 答案：B 4若曲线 f(x)x2axb 在点(0，b)
25、处的切线方程是 xy10，则( ) Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 解析：由 f(x)2xa，得 f(0)a1，将(0，b)代入切线方程得 b1. 答案：A 1 4 5曲线 f(x)x x3在点 处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) 3 (1， 3 ) A3 B2 1 1 C. D. 3 9 4 解析：由题意，f(x)1x2，故切线的斜率为 kf(1)2，又切线过点( 3 )， 1， 4 2 1 2 切线方程为 y 2(x1)，即 y2x ，切线和 x 轴、y 轴交点为( ，0)，(0， ) 3 3 3 3 1 1 2 1 故所求三角形的面积 . 2 3 3 9
26、答案：D 6曲线 f(x)2x33x 在点 P 处的切线斜率为 3，则 P 点坐标为( ) A(1，1) B(1，5) C(1,1) D(1，1)或(1,1) 12 解析：设切点为(x0，y0)，则 6x2033. x201，则 x01. 当 x01 时，y01；x01 时，y01，故选 D. 答案：D 7已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)( ) A2 B2 C1 D4 解析：f(x)2x2f(1)， 令 x1 得，f(1)22f(1) f(1)2，即 f(x)x24x. f(x)2x4， f(0)4. 答案：D 8已知函数 f(x)x3ax2bxc，x3,3表示的曲线过原点，且在点
27、(1，f(1)和 点(1，f(1)处的切线斜率均为2，则 f(x)的奇偶性为( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解析：f(0)0，c0，f(x)3x22axb. 得Error!解得 a0，b5， f(x)x35x，x3,3，f(x)为奇函数 答案：A 9(江西高考)若 f(x)x22x4ln x，则 f (x)0的解集为( ) A(0， ) B(1,0)(2， ) C(2， ) D(1,0) 4 2x2x1 解析：令 f (x)2x2 0，利用穿针引线法可解得1x x x 0 或 x2，又 x0， 所以 x2. 答案：C 3 10若点 P 在曲线 yx33x2(
28、3 3)x 上移动，点 P 处的切线的倾斜角为 ，则角 4 的取值范围是( ) 2 A.0， B. 2) 0， 2) ，) 3 2 2 C. ，) D.0， 2) ， 3 3 2 13 解 析：y3x26x3 33(x1)2 3 3，即 tan 3，所以 2) 0， 2 ，) . 3 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 1 1 sin x 11设 f(x) ，则 f _. cos x (3 ) 1 1 cos x sin x 解析：f(x)( ， cos x) sin x sin2x cos2x 1 3 2 2 2 f(3 )
29、 2 . 3 3 1 3 (2 )2 2 )2 ( 2 答案： 2 3 3 12点 P 在曲线 C：yx310x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的 斜率为 2，则点 P 的坐标为_ 解析：y3x210，设切点 P(x0，y0)(x00)，则曲线 C 在点 P 处切线的斜率 k 3x20102， x02. 点 P 的坐标为(2,15) 答案：(2,15) 13设 a 为实数，函数 f(x)x3ax2(a3)x 的导函数为 f(x)，若 f(x)是偶函数， 则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为_ 解析：f(x)3x22axa3 为偶函数，a0， f(x)3x23，f(0)
30、3，所求切线方程为 y3x. 答案：y3x 1 14已知 f(x)x3 x2bxc 的图像存在与直线 y1 平行的切线，则 b 的取值范围是 2 _ 1 解析：由题意知，存在 x 使 f(x)3x2xb0，故 112b0，得 b . 12 1 答案：( ，12 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 14 t1 15(本小题满分 12分)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t) 2t2(路程单位： t2 m，时间单位：s)，求 s(3)，并解释它的实际意义 t1 t 1 1 1 解：s(t) 2t2 2t2 2t2， t2 t2 t2 t t
31、2 1 1 s(t) 2 4t， t2 t3 1 2 323 s(3) 12 ， 9 27 27 323 即物 体在 t3 s 时的瞬时速度为 m/s. 27 16(本小题满分 12分)求满足下列条件的函数 f(x) (1)f(x)是三次函数，且 f(0)3，f(0)0，f(1)3，f(2)0； (2)f(x)是二次函数，且 x2f(x)(2x1)f(x)1. 解：(1)由题意设 f(x)ax3bx2cxd(a0)，则 f(x)3ax22bxc. 由已知Error! 解得 a1，b3，c0，d3. 故 f(x)x33x23. (2)由题意设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(x)2axb
32、. 所以 x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1， 化简得(ab)x2(b2c)xc1， 此式对任意 x 都成立，所以Error! 得 a2，b2，c1，即 f(x)2x22x1. 17(本小题满分 12分)已知两曲线 f(x)x3ax 和 g(x)x2bxc 都经过点 P(1,2)， 且在点 P 处有公切线，试求 a，b，c 的值 解：点 P(1,2)在曲线 f(x)x3ax 上， 21a，a1， 函数 f(x)x3ax 和 g(x)x2bxc 的导数分别为 f(x)3x2a 和 g(x)2xb， 且在点 P 处有公切线， 312a21b，得 b2， 又由点 P(1,2)在曲线 g(x
33、)x2bxc 上可得 21221c，得 c1. 综上，a1，b2，c1. 18(本小题满分 14分)已知直线 l1为曲线 f(x)x2x2 在点 P(1,0)处的切线，l2为 曲线的另一条切线，且 l2l1. 15 (1)求直线 l2的方程； (2)求直线 l1，l2与 x 轴所围成的三角形的面积 S. 解：(1)设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，由题意可知 k1f(1)3，故直线 l1的方 程为 y3x3， 1 由 l1l2，可知直线 l2的斜率为 ，设 l2与曲线相切于点 Q(x0，y0)，则 k2f(x0) 3 1 ， 3 2 20 解得 x0 ，代入曲线方程解得 y0 ， 3 9 20 1 2 9 故直线 l2的方程为 y x ，化简得到 3x9y220. 3( 3 ) 22 (2)直线 l1，l2与 x 轴交点坐标分别为(1,0)，( ，0)， 3 1 5 联立Error!解得两直线交点坐标为( ，2)， 6 1 22 5 125 2 | 1| |2 | 故所 求三角形的面积 S . 3 12 16