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1、 . . . . 5 探索与表达规律一、【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。1规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于
2、类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果【例1】 观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为_解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，所以可猜想第6行与第6列的
3、交叉点上的数是11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n1.答案：11 2n12探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：(2)新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律【例21】 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)(1)0，(2)1，(3)2，(4)3，(2)2，3，4，5，利用上面的规律计算：(2 012
4、)分析：从(1)中的运算可以看出，当括号的数是整数时，运算的结果等于括号的数减去1，所以(2 012)2 011；从(2)中可以看出，当括号的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号那个数的倒数，所以2 013.解：(2 012)2 0132 0112.【例22】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n(n是正整数)的结果为( )A(2n1)2B(2n1)2C(n2)2Dn2解析：观察图形和下面的式子可以知道，18181932,18161818252,181624181828372，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1816248n(2n1)2.故选A
5、.答案：A3探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索横行：相邻两数相差1.如左下图所示：竖列：相邻两数相差7.如右上图所示斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.日历中的33方框的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a8)(a7)(a6)(a1)a(a1)(a6)(a7)(a8)9a，正好是中间数a的9倍(2)折叠中的规律将一纸折叠，每折叠一次就会
6、得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数折叠次数：1,2,3,4,5，n.层数：2,4,8,16,32，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，2n1._【例31】 2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月_日，除夕：2月_日解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即241410，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日答案：10 9【例32】 将连续的偶数2,4,
7、6,8，排列成如右图所示的数表(1)“十”字框5个数的和，与框中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框5个数之和分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律解：(1)61618203090，而90185，所以框5个数的和是框中间的数18的5倍(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a12，a2，a，a2，a12，其中a为偶数，故它们的和为(a12)(a2)a(a2)(a1
8、2)5a.【例33】 如果将一长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有_条平行折痕，折痕会把这长方形的纸分成_个小长方形解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n7时，平行折痕数为2n1271127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，127条折痕则分成128个小长方形答案：127 128二、【典型例题解析】1、 观察算式：按规律填空：1+3+5+99=？，1+3+5+7+？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块
9、？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？5、 观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？（3）某一层上有77个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上
10、述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+99”（即从1开始的100以的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+100（即从2开始的100以的连续偶数的和）用求和符号可表示为；（2）计算：=（填写最后的计算结果）。7、 观察下列各式，你会发现什么规律？35=15，而15=42-1 57=35，而35=62-1 1113=143，而143=122-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。8、 请你从右表归纳出计算13+23+3
11、3+n3的分式，并算出13+23+33+1003的值。三、【跟踪训练题】1 1、有一列数其中：=62+1，=63+2，=64+3，=65+4；则第个数=，当=2001时，=。2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826 根据上面的规律，则2006应在行列。3、已知一个数列2，5，9，14，20，35则的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中：1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333
12、 B.334 C.335 D.336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123n人数466、给出下列算式：观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律： 152=225可写成1001（1+1）+25 252=625可写成1002（2+1）+25 352=1225可写成1003（3+1）+25 452=2025可写成1004（4+1）+25 752=5625可写成归纳、猜想得：（10n+5）2=根据猜想计算：19952= 8、已知，计算：112+122
13、+132+192= ； 9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？172839410511612例7如图，平面有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射线 _上，“2008”在射线_上（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为_分析：OA上排列的数为：1，7，13，19， 观察得出，这列数的后一项总比前一项多
14、6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=36-1，所以17在射线OE上。因为2008=3346+4=3356-2，所以2008在射线OD上例8 将正奇数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007应在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=2508+7=2518-1 所
15、以，2007应该出现在第一列或第五列 又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9（2006年市）定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n26，则：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，则第449次“F运算”的结果是_分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“F”变为1352；1352是偶数，经过“F”变为169，169是奇数，经过“F”变为512，512是偶数，经过“F”变为1，1是奇数，经过“F”变为8，8是偶数，经过“F”变为1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。9 / 9 . . . .