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1、直纹面成为可展曲面的充要条件摘要 可展曲面是特殊的直纹面，直纹面成为可展曲面必须满足一定的条件. 本文根据可展曲面的定义， 从该曲面是否为单参数曲面族的包络、 高斯曲率是否为零、 直纹面是否可以 展为平面等几个方面，对直纹面成为可展曲面的几个充要条件作了初步的探讨.关键词 直纹面；可展曲面；包络；高斯曲率；等距对应1 直纹面与可展曲面的定义1.1 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面， 这些直线称为直纹面的直母线 . 直纹 面上取一条曲线 C ，它的参数表示是a a u .曲线 C 和所有直母线相交，即过曲线 C 的每一点，有一条直母线，曲线 C 称 为直纹面的导线 .设b u是过导线
2、C上a u点的直母线上的单位向量.导线C上a u点到直母线任一点P u,v的距离为v,贝U向径OP可以表示成r a u vb u（1） ,这就是直纹面的参数表示 .1.2 可展曲面的定义直纹面上任一点P u,v的法向量n平行于ru rv，从（1）容易算出：ru a u vb u ， r v b u ，所以ru rv a b vb b.当点在曲面上沿一条直线移动时有两种情形：情形1: a b与b b不平行，即a,b,b 0.情形2： a b与b b平行，即a ,b,b 0.对于第 2种情形的直纹面我们称为可展曲面，也就是说，可展曲面是沿一条 直母线有同一个切平面的直纹面 .2 直纹面成为可展曲面
3、的几个充要条件2.1 定理 1 2 ：一个曲面是可展曲面 该曲面或是柱面，或是锥面，或是任意空 间曲线的切线曲面 .证明： ：由于柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为r a u vb u .因为柱面的b u 常向量，所以b u 0.则a u ,b u ,b u a b b 0.故柱面是可展曲面. 锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故au常向量，所以a u 0.从而a u ,b u ,b u abb 0.故锥面是可展曲面.任意空间曲线的切线曲面的切线 a u /b u，故a u b u 0，从而a u ,b u ,b u 0.任意空间曲线的切线曲面是可展曲面:对于可
4、展曲面有a ,b,b 0，取腰曲线为导线，即此时有a b 0.当a 0时，au 常向量，这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条 直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面当a 0时，由条件a ,b,b 0，a b 0并且b 1，b b得到a u /b u这时得到切于腰曲线的切线曲面. 当b 0时，b u 常向量，这表示柱面 例1 1求证正螺面r vcosu,sinu,au b是不可展曲面. 证明：令r a u vb u ，则所给的曲面可写为r 0,0au b v cosu,sinu,0 .a O,O,au b , b cosu,sinu,0 ,从而a0,0,a5bsin
5、u,cosu,0 ，贝U a u ,b u ,b ua bbeie2ea=00abcosusin u0=asinu ,acosu,0 sinu ,cosu,0=a.当 a 0时，有 a ,b,b 0.故正螺面rvcosu,sinu,au b是不可展曲面.2.2定理2 4 :设直纹面S的参数方程是r a u vb u，则S是可展曲面的充分必要条件是，向量函数a u ， b u满足方程a u ,b u ,b u 0.*证明：对直纹面S的参数方程求导得到ru a u vb u ， rv b u ，因此曲面的法向量是ru rva u vb u b u .如果S是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点u
6、,v1和u,v2 ，其中v1v2，曲面S的法向量应该互相平行，即a u v(b u b u / a u, v2bb u根据向量的双重向量积的公式a b c a c b b c a，我们有 a uv1b u b ua u,v2bb u=auv1b u a uv2b ub ub u=auv1b u , a uv2b u,b ub uv1 v2 a u,bu,b u bu由于u,v1 ru rv v1 v2 b u 0 ,所以上式末端的混合积为零，即*式成立.上 面的论证过程是可逆的，因此*式也是直纹面为可展曲面的充分条件， 定理成立. 例2 2证明曲面r cosv u v sinv,sinv u
7、v cosv,u 2v 是可展曲面.证明：令ra u vbu，则由题得a cosvvsinv,sinv vcosv,2v ，bsinv ,cosv,1 ，则a2sin vvcosv,2cosv vsinv,2 ，bcosv, sinv,0 ，则 a ,b,babbe1e?e32 si nv vcosv 2 cosv vs inv 2 bsin vcosv0=vsinv,vcosv, v b=v cos vs inv vcosvs inv v 0=0.即 a ,b,b 0.故所给曲面为可展曲面.2.3定理32 :曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.证明：设曲面
8、上的曲线a a s是曲率线，则根据罗德里格定理可知dnida，其中1 s为对应的主曲率.由此得出n/a，所以有a,n,n 0.因此沿此曲线，曲面的法线组成的曲面r a vn是可展曲面.反之，设a a s是曲面上一条曲线.曲面沿此曲线的法线构成一个可展曲面于是有a,n,n 0.由于n是单位向量，所以n n .而且a是曲面的切向量，因而n/a.由此可得门/心或小门/ da .根据罗德里格定理,da是主方向.因此曲线a a s是曲面的曲率线.例3 1求证挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明：设有空间挠曲线a a s，曲线的副法线曲面为r a s v s，则a,b,b a, , a0，故副法线曲面不是
9、可展曲面2.4定理4 4 : 一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络.证明：充分性：单参数平面族为AxByCzD 0.则特征线方程为F x, y, z A x B y C z D 0F x, y, z A x B y C z D 0它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包 络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面 是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的 定义，它是可展的.必要性：设曲面可展.由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲面， 所以对于可展曲面，它的直母线
10、就是 V线（u=常数），当u变化时，得到V族线, 所以可展曲面可以看成是由单参数 u的直母线族所构成的，即可展区面的直母线 族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此，所有切于 可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它 的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络例44求证可展曲面x2 y 22 1是单参数平面族xcos ysin zsin 1的包络.证明：先求所给单参数平面族的xcosysinzsin1包络令F x,y,z,xcosysinzsin 1，则F x, y, z,xsinycoszcos .将方程组中 F 0，F0
11、的参数 消去得到 x2 y 2 2 1.即证得可展曲面 x2 y 2 2 1是单参数平面族 xcos ysin zsin1的包络.2.5 定理 5 2 ：一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零 .证明：如果曲面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n不变，即dn 0 , 零向量与任意另外的向量共线，因此有 dn/dr .根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率10（或2 0 ），于是 K 1 20 .反之，如果 K 0，则 K 1 20.设 20，这时对应它的方向是渐进方向也是主方向，所以这一族渐进曲线也是曲率线 .根据罗德里格定理 ,沿渐进曲线有dn2dr ，因而 dn
12、 0，即 n 常向量.这说明单位法向量沿渐进曲线保持常向量 .因此，在所有渐进曲线上曲面的 法线都互相平行 .又对于渐进曲线的切向量dr有dr n 0. 所以沿渐进曲线有 r n 常向量.设r0是渐进曲线上某定点M。的向径，则由以上结果有r n r0 n，即 r r 0 n 0.由此得到连接渐进曲线上的定点 Mo和渐进曲线上任意点的向量r ro垂直于n ,因而必在点M 的切平面上，所以渐进曲线的所有点都在点 Mo的切平面上.于是，这个包含渐进曲线而且垂直于沿它的常法向量n的平面，就是渐进曲线所有点的切平面 . 换句话说，对同一条渐进曲线上的点，其切平面是同一个 .由此可见，曲面是一个单参数平面
13、族的包络面，因而是可展曲面 例5 2求取面r cosv,sinv,u v的高斯曲率.解：令 r a v ub v，则所给曲面为rsinv ,cosv,vu 0,0,1 ，则asinv,cosv,v ，b 0,0,1则acosv, sinv,1 ，b 0,0,0 ，则a ,b,ba bbe（e2e3=cosvsin v1b001=0.即a ,b,b0.故该曲面是可展曲面，从而其高斯曲率为 0.2.6定理6 2 :可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）证明：在直角坐标系x,y下，平面的第一基本形式为Idxdy在极坐标系，下，通过变换xcosysin得第一基本形式Id 2d2（1）柱面：ra
14、s vb s其中b为沿柱面母线的单位常向量，aa s是与柱面母线正交的一条曲线，s是它的弧长.于是rsa，rvb，E 旅21，F50，G51从而第一基本形式为I ds2 dv2 . 这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面， . (2) 锥面： r a0 s vb s ， 其中 a0 为常向量， b s 为锥面母线上的单位向量， 而 s 是单位球面曲线 b b s 的弧长，则有b2 1， b b 0，b2 1， 于是rs vb ，rv b ，E rsrs v2 ， F rsrv 0， G rvrv 1 第一基本形式为I v2ds2 dv2 ， 这与上述平面的第一基本形式有相
15、同的形式，因此锥面可以展为平面 . ( 3) 切线曲面： r a s v s其中 s为曲线a a s的切向量 a s , s为曲线a s的弧长. 于是rsv ， rvs ，22E rsrs 1 v ， F rsrv 1， G rvrv 1 ， 有2 2 2 2I 1 v ds 2dsdv dv . 上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它 们的切线曲面也有相同的第一基本形式， 即是等距的， 由此， 现给定曲率和挠率 分别为 s ，s ， 01 由曲线论基本定理，除空间位置差别外，确定了唯一一条曲线 c ，当 从1连续变到 0时，得到一个连续的曲线的曲线族 c ,这
16、些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，因此这些切线曲面是等 距的 . 当 =0 是 =0，此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线还在此平面上， 这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面， 但第一基本形式不变， 因此切线曲面 也可展成曲面 . 又由前面结论，可展区面只有以上三种，综上所述，命题成立 .例63证明曲面r1 v,2u3 uv,u4 - u2v可以展为平面.33证明：令r a u vb u ,则所给曲面为 ru-,2u3,u4 v 1 ,u,-u-,33则23412 2a u ,2u , u , b ,u, u , 33从而234a 2u,6u ,4u, b 0,1, u ,3贝 U au,bu,bua b be34u32 2u3eie22u 6u21u3=0 b=0.即 a ,b,b 0故曲面是可展曲面，从而可以展为平面参考文献：1王幼宁、刘继志.微分几何讲义M.本经师范大学出版社,2007年1月第一版2梅向明、黄敬之.微分几何M.高等教育出版社,2003年12月第三版3黄振荣、杨文茂.微分几何M.武汉大学出版社,2008年9月第一版4陈维桓.微分几何M.北京大学出版社，2006年6月第1版