《七年级数学竞赛讲座01自然数的有关性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学竞赛讲座01自然数的有关性质.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、七年级数学竞赛讲座01自然数的有关性质自然数的有关性质一、知识要点1、1、最大公约数定义1如果ai, a 2,n和d都是正整数，且d Iai, d I a2, , , d I an,7那么d叫做ai, a 2,，a n的公约数。公约数中最大的叫做ai, a 2,a n的最大公约 数，记作(a, a 2, -,a ) 如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4者是它们的 公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作 (4,8, 12)=4.2、2、最小公倍数定义2如果ai, a 2,a n和m都是正整数,且ai I m, a2 |叫，an I m,那么m 叫做ai, a 2,
2、a n的公倍数。公倍数中最小的数叫做a.i, a 2, a n的最小公倍数， 记作a 1, a 2,，an.如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作4, 8, 12 =24.3、3、最大公约数和最小公倍数的性质性质 1 若 a | b,则(a, b) =a.性质2若(a, b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.a ba.b9性质3若n I a, n I b,则.性质 4 若 a=bq+r (0 W rb),则(a, b)=(b, r).性质4实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。性
3、质5 若 b | a,则a, b=a.性质6若a, b=m,且n为正整数，则na, nb =nm.- a, b 9性质7若n I a, n I b,则aa n4、4、数的整除性定义3对于整数a和不为零的整数b,如果存在整数q,使得a=bq成立，则就称 b整除a或a被b整除，记作b | a,若b I a,我们也称a是b倍数；若b不能 整除a,记作ba5 5、 数的整除性的性质性 1 若 b, b I c, a c性 2 若 c a, b,则 c (ab性3若 a, n为整则b | na6 6、 同余定义4设m是大于1的整数，如果整数a,b的差被m整除，我们就说a,b关于模m同余，记作a= b(m
4、od m)7、7、同余的性质 性质1如果a三b(mod m), c三 d(mod m), 那么 a+ c= b+ d(modm), ac= bd(mod m)性质2如果a= b(mod m),那么对任意整数k有 ka= kb (mod m)性质3如果a= b(mod m),那么对任意正整数k有ak =bk(mod m)a bm性质4如果a三b (mod m), d是a, b的公约 md 数，那么d二、二、例题精讲例1设m和n为大于0的整数，3m+2n=225且如果m和n的最大公约数为.m+n的值15,求(第H届“希望杯”初一试解：(1)因为(m, n)=15,故可设 m=15a, n=15b,
5、且题(a, b)=l因为因为从而一评注.、3m+2n=225,所以、3a+2b=15，所以 a=l, b=6a, b是正整数,所以可得a=l, b=6 或 a=b=3,但(a, b)=l m+n=15 (a+b)=15 7=105 遇到这类问题常设 m=15a, n=15b,且(a,b)=l ,这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。2、思考一下，如果将m和n的最大公约数为15,改成m和n的最小公倍数为45,问题如何解决?例2有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5 个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？分析：将问题转化为最小公倍数来解决
6、。例3自然数a1， az, a3,aio的和1001等于，设d为a1，a?,必，的 aio a9,的最大公约数，试求d的最大值。a,9, aI。 的最大公约数，所以和1+己2+必+a,9+aio=解由于d为ai, a2, a3, n 1001 13的约数。，能能辨短余触现,d呆魏J 3,10 从而1001 = ai+a2+a3+-+a9+aio由101所以 10 由d能整除1001得，d仅可能取值1,13, 77, 91o因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182例4某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数0001到码，从号，如
7、果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购9999解设这堆苹果最 x个，依题意得x 2qi 1x 1 2qix 3q2 1x 1 3q2x 4q3 1即 x 1 4q3x 5q4 1x 1 5q-ix 6q5 1x 1 6q5由此可 x-1是 菌 2, 3, 4, 5, 6 答这堆苹果最少3, 4, 5, 6的最小公,所以x-l=60 ,即61因0+7=3+4,所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中， 所有幸 运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛 试题)证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n的购物 券为幸运券，则 号码为m=9
8、999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所 以m, n的奇偶性不同，即mW n,由于m+n=9999,相加时不出现进位。就是 说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999 ,从而可知所有的幸运券 的号码 之和为9999的倍数。由101 | 9999,所以所有幸运券的号码之和能被 101整除。评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。例5在1, 2, 3,，1995这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a) 能整除1995 a (第五届华杯赛决赛试题)1995a 1995a 分析：分95 a分子、分母都含有，对a的讨论带来不便，因
9、此可以痛995 a化 1995 1995 19951995 a ,这样只有分母中含有a,就容易对a进行讨论。1995a 1995 1995 a 1995 1995 1995 1995 1995 解 1995 a 1995 a 1995 a1995a 1995 1995因为(1995+a)能整除1995 a,所以1995 a是整数，从而1995 a是整数因为1995 1995=32 52 72 192,所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意到 laW1995,所以 19951995+a W3990如果1995+a不被19整除，那么它的值只能是以下两种：2 2 2 2352 7 -3
10、675, 32 5 7 =2205如果1995+a能被19整除，但不被19?整除，那么它的值只能是以下两种：372 1 9=2 7 9 3 , 52 7 1 9=3 3 2 5如果1995+a能被19?整除，那么它的值只能是以下两种：2 2 271 9 =2 5 2 7 , 32 1 9 =32 49于是满足条件的a有6个，即从上面6个值中分别减去1995,得到 1680 、 210、 798、 1330 、 532、 12541995a评注：本题通过对1995 a的适当变形，便于对a的讨论。讨论时通过将19951995分解质因数，然后将因数1995+a通过检验的方法定出。这种方法在解决（第四
11、届华杯赛复赛试数的整除问题中经常使用。例6 1 *22+3斗44+55+66+77+88+99除以3的余数是几?为什么？题）解显然三 l(mod 3) , 33=0 (mod 3) , 66= 0 (mod 3) , 99= 0 (mod 3) 2 4 4 5 5 5_又 2 2=4三 1 (mod 3), 4!=1=1 (mod 3) , 5三2三(-1) 5= (-1) (mod 3) , 7 7 s s7 = 1=1 (mod 3) , 83= (-1) 8= 1 (mod 3)A l1+22+33+41+55+66+77+88+99=l+l+0+l-l+0+l+l+0=4 = l (m
12、od 3)即所求余数是 1 评 注：用同余式求余数非常方便。a 19911991 1991例7已知：199J1991 ,问a除以13,所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题)、_ 、484 1990分析：将a用十进制表示成1 1 n4 1 n8i。 ， 1991除以13,余数是显然的，主要研究118101 1990除以13的余数规律。484 1990,a 1991 1 10 10 10mod 13 , 103= (-3) 3 =- 27三1,4 8 21+10 4108三 110+10 2=91 三0, 1991=2 .a三。三2 1 =- 18=8,即 a 除以 13, 所得余数是8例8 n是
13、正偶 ai,a 2, a邛余以n,所得的余数互b 2,b n除以n,所数,数也互不相同。不蒯胁ar+bi, a?+b2,，+也除以n得加缺的余数必有相同 的。证明、是正偶数，所以n-1为 奇数，nln ai, a?,a邛余以n,所得的余数互不相同,2不是n的倍数，n个余数恰好是0, 1,n-1.从而n Ina.i+a2+a.n= 0+1+ (n-l) = 20 (mod n)n In同样bi+bz+bn = 20 (mod n)但 (a i+bi) + (a 2+bz) + +(a n+bn)= (a i+a?+a,n) + ( b i+b2+，,，+bn)n In n In n In =:=
14、0 (mod n)所以ai+bi, az+bz,，an+bn除以n,所得的余数必有相同的。例9十进制中，4444.的数字和为A, A的数字和为B, B的数字和为C,求C 分析：由于10 = 1 (mod 9),所以对整数ao, ai,m，协有an 10 n an 1 101ai 10 ao an an iai ao mod 9它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。根据上述结论有C三B三A三4444 4444(mod 9).所以只要估计出C的大小，就不难 确定 C 解：4444三 7 (mod 9),而 73= (-2)吐- 8 = 1 (mod 9),4444 4444 3 1481
15、+14444 4444 3 1481*1 所以 4444- 7 =7-7 (mod 9).4444所以C三 B三 A三 4444 4441 = 7 (mod 9),另一方面，44444444(10 5) 4444=1()2222。,所以444444M的位数不多于从而A9 22220=199980,即A至多是6位数。所以B b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60, a b 的最大 公 约数是4, b、c的最大公约数是3,则a+b+c的最小值是()A 、 30 B 、 31 C 、 32 D 、 333、在自然数1, 2, 3,，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是()A 、 3
16、3 B 、 34 C 、 35 D 374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3 整除的数的个数是()A 、 24 B 、 12 C 、 6 D 、 05、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是()A 、 25 B 、 26 C 、 27 D 、 286、设n为自然数，若19n+14三10n+3 (mod 83),则n的最小值是()A、4 B、8 C、16 D、32 填空题7、自然数n被3除余2,被4除余3,被5除余4,则n的最小值是8、满足x, y=6 ,y, z=15的正整数组(x, y, z)共有组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的
17、三位数是4的倍数，则这样的 四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个H位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=l, 2, 3, - , 11), 这样的最小n位数是11、设n为自然数，则3 2n+8被8除的余数是12、14+2+3+4小+1994+1995的末位数是 解答题13、求两个自然数，它们的和是667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的 商是120o14、已知两个数的和是40,它们的最大公约数与最小公倍数的和是56 ,求这两 个数。15、五位数4H97H能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H能被6整除，求出这个五位数。16、若a, b, c, d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a) (x-b) (x-c) (x-d) =9 求证：4 I (a+b+c+d)17、一个数是5个2, 3个3, 2个5, 1个7的连乘积，这个数当然有许多约数 是两位数，这些两位约数中，最大的是多少?918、求2侬被n除,所得的余数。219、证明3倒。+4.被5整除。20 x i=l 或 T （i=l ， 2,，1990），证明 八？ 1990 X1990 0