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1、现代数值计算方法公式值法插一、 ）插值法 拉格朗日（ Lagrange1.两点一次： a)b) 三点二次：）插值牛顿（ Newton2.次牛顿法多项式： a)n其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b) 向前差分：下减上c) 向后差分：上减下）插值三次埃米尔特（Hermite3.二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1. 牛顿 - 柯特思（ Newton-Cotes）公式梯形求积公式（ 2 节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（ 3 节点）复化辛普生求积公式2. 高斯（ Gauss ）公式高斯 -勒让德求积公式1. 先用勒让德公式求解 x i2. 利用“高斯积分公式具有2n+1 次代数精度”将x
2、带入求 A ii3. 将 xi 、 Ai 带入公式求取积分、并计算误差。普通积分化标准形式：积分区间 a,b 变换3. 代数精度,xm2m+1 时不成立，则称此f(x)=x 若求积公式对f(x)=1,x,x时精确成立，而对求积公式具有 m 次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将 A 分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数定义：其中 R 为实数域、 C 为复数域，若某实值函数设满足条件1） 非负性，|x|=0 当且仅当 x=0 成立其次行2）3）三角不等式域上的一个向量范数为称常见范数：矩阵范数定义：其中 R 为实数域、C
3、为复数域，若某实值函数设满足条件1） 非负性，|A|=0当且仅当 A=0 成立2） 其次行三角不等式 3 ）4） 乘积性质域上的一个矩阵范数为称常见范数：行范数列范数的最大按模特征值为2. 谱半径3. 雅可比迭代向量：的方程，分量通式如下：xi 个方程解出 i 用第矩阵：对于 Ax=b ，先将 A 拆分成对角线矩阵D 减去下三角矩阵 L，再减去上三角矩阵U。其中4. 高斯 - 塞德尔迭代向量：带入下边的公式，分量个方程解出 xi 的方程，并将上式得到的用第i通式如下：矩阵：对于 Ax=b ，先将 A 拆分成对角线矩阵D 减去下三角矩阵 L，再减去上三角矩阵U。其中5. 松弛迭代雅可比松弛（ JOR）：时，收敛注： 当雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（ SOR）：注： 系数矩阵 A 对称正定，时收敛六、方程求根1. 大范围收敛定理a) (x) 在a,b 上连续；b) 当 x a,b 时， (x) a,b ；c) (x) 存在，且对任意 x a,b 有2. 牛顿迭代法牛顿下山法，其中3. 割线法七、矩阵特征问题求解1. 规范化乘幂法2. 原点位移乘幂法，用 B=A-I*替代 A ，则得到的特征值u=- ，特征向量不变取一个 00i0i 八、常微分方程的数值解法1. 欧拉公式2. 向后欧拉公式3. 梯形公式4. 改进欧拉公式