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1、曲线与方程（2）（I）课题：求曲线的方程（n）教学目标：1 .知识目标：了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.理解曲 线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线 交点的概念.2 .技能目标：通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助 学生理解解析几何的思想方法，进一步理解数形结合的思想方法（出）教材分析：1）知识结构：曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性
2、质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题.2）重点、难点分析本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.（IV）过程设计：【引入】1 .提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.2 .坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题， 在建立坐标系的基础上， 用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研
3、究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.如何根据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】例1：设从 3两点的坐标是（T，T）、（3, 7）,求线段 垂直平分线，的方程.首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决.由斜率关系可求得k = -i的斜率为 2解法一：易求线段 W3的中点坐标为（1,3）,于是有厂3即i的方程为1+2
4、y 7 一 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线j的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）.证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设财（%, 丁口）是线段 WB的垂直平分线上任意一点，则即J伉+y+瓦+ 卜_ 3）2 +3将上式两边平方，整理得%+2%-7 =。这说明点M的坐标（七，儿）是方程彳+ 2丁-7=。的解.（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点 M的坐标（如M）是方程的任意一解，则%+2%-7 = 02KM到乂、 B
5、的距离分别为卜瓦+11+5+1?= J（8-2yJ+& + iy=小沙；-6乃+13）15| = Jtx1-3j1+（71-7）2=小沙；-6乃+13）所以M4=l*,即点一在直线如上.综合（1）、（ 2）,是所求直线的方程.至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 M/，乂）是线段达力的垂直平分线上任意一点，最后得到 式子 % + 2犷=。,如果去掉脚标，这不就是所求方程x + 2y-7 = 0 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设了）是线段乂3的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合产制网=|网由两
6、点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得/2厂7 =0果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足.显然，求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看，解法二也比解法一优越一些)；至于第二条上边已证.这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然， 还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.让我们用这个方法试解如下问题：例2：点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数班0)求点M的轨迹方程.分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿照例i中的解法
7、进行求解.求解过程略.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.说得更准确一点就是：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如(工，y)表示曲线上任意一点 的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合产二“()；(3)用坐标表示条件 pM ,列出方程/卜，丁)=。；(4)化方程 心，为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么
8、逆推回去就说明以方程的解为坐 图2标的点都是曲线上的点.所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明.上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正.下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在 X轴的上方，它上面的每一点到 力（0,2）点的距离减去它到 x轴 的距离的差都是2,求这条曲线的方程.【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系.解：设点是曲线上任意一点，MS 1工轴,垂足是B （如图2）,那么点属于集合p=m M卜阿1 = 2）由距离公式，点 M适合的条件可表示为而+卜-2） = 2将式移项后再两边平方，得EM）。化简得由题意，曲线在 工轴
9、的上方，所以 70,虽然原点 0的坐标（0, 0）y = 1/是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程应为8它是关于 /轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图 2中所示.【练习巩固】题目：在正三角形 ABC内有一动点P,已知产到三个顶点的距离分别为|尸d、 冏、pq,且有眼卜阀卜阳求点p轨迹方程.分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示.设3、C的坐标为加0）,则R的坐标为（0,屈），p的坐标为（T，y）.根据条件代入坐标可得X2 + （y- J3aj =（彳十十刀工一白十刀，化简得由于题目中要求点 P在三角形内，所以 J。，在结合式可进一步求出I、）的范围，最后曲线方程可表示为/ 6 + 底? =（2口（0 ” 2 -招a）【小结】师生共同总结:（1）解析几何研究研究问题的方法是什么?2）如何求曲线的方程？（ 3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】习题7.5 3.4.5.6