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1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目第七讲泰勒公式其应用课时数2教学目的通过教学使学生掌握带有皮亚诺余项的泰勒公式,带有Lagrange型余项的Taylor公式,函数的Maclaurin公式, 会用一阶泰勒公式解决问题。重点难点1泰勒公式的内容2.利用Taylor公式求极限 3利用Taylor公式求证明题教学提纲第七讲泰勒公式其应用一、一阶泰勒公式1.带有皮亚诺余项的泰勒公式2.带有Lagrange型余项的Taylor公式3函数的Maclaurin公式二、应用(1) 把函数展开成n阶Maclaurin公式(2)求的n阶导数(3)利用Taylor公
2、式求极限 (4)利用Taylor公式求证明题教学过程与内容教学后记第七讲泰勒公式其应用一、一阶泰勒公式.带有Lagrange型余项的Taylor公式定理1（泰勒） 若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n1阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点使得： 在之间。2.带有皮亚诺余项的泰勒公式定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,则对任意给定的 （1）称为泰勒公式的余项.3、 函数的Maclaurin公式二、应用1.把函数展开成n阶Maclaurin公式例： 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .【解】 , .例： 把函数展开成含
3、项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .【解】 , .2.求的n阶导数例： ，求.【解】又所以，3.利用Taylor公式求极限 例4 求极限(1) (2).【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如：但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。【解】(1) 【点评】本题先确定分母展开的次数，至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分子展开的次数。(2) .例：试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于的多项式，要联想到的泰勒级数展开式，比较的同次项系数，可得的值.【解】将
4、的泰勒级数展开式代入题设等式得 整理得 比较两边同次幂系数得 ，解得 .4.利用Taylor公式求证明题例6 设存在，证明 【证明】 ,所以： 例7 设函数在0，1上有三阶连续的导数，且证明：。【证明】 ，在上连续，设在上的最大值和最小值分别为则所以使【评论】(1)本题把泰勒公式与介值定理结合使用，有一定难度。(2) 泰勒公式的展开点一般选在特别的中间点或端点。例8：在，上具有二阶导数，且满足，是（,）内的任意一点证明：【证】 (1) (2)(2)-(1)得：，因为 例9 设在上二阶可导,且,则存在,使得.【证明】 ,将函数在点与点处展开,.令代入得：,上述二项相减,移项并取绝对值得,其中,取【分析】本题在点展开，则这一条件难以应用。6