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1、2014年全国高中数学 青年教师展评课 向量减法运算及其几何意义教学设计与点评（天津塘沽一中）向量减法运算及其几何意义 一、教学内容解析 向量减法运算及几何意义是高中数学必修4第二章平面向量第二单元第二节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究。类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系。向量减法的学习是对数学中减法运
2、算的丰富与升华，是运算认识的又一次质的飞跃。 根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受向量减法的形成过程是这节课的突破口。向量的减法运算及其几何意义，及向量减法与向量加法的类比作为本节课的教学重点。 本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述和解决实际问题的能力。另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的“向量数乘运算及几何意义”都有着密不可分的关系，因此本节的内容起到了承前启后的重要作用;并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材。 二、教学目标设置 新课标指出教
3、学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程。新课标要求:借助向量加法运算及相反向量的概念，理解向量减法的运算其几何意义。根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标: 1.掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法。 2.掌握向量减法的几何意义并体会向量加减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法。 3.通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时向量是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法。 4.通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识
4、。 - 1 - 5.营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式。 三、学生学情分析 本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。通过之前的学习学生已经掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算及其几何意义。同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。 为了更好的实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会向量加减法的内在联系，从而深入感受转化、类比的数学思想方法。让学生充分感受向量减法法则的研究方法和生成过程，从而深入体
5、会数形结合的思想方法。 从数形结合、类比、转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从向量基本概念、加法运算及其几何意义的知识储备到加减法及几何意义的内在联系，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径。激发学生学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的巩固与提高。而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助。 根据本节课的教学内容及学生的实际情况，我将本节课的教学难点制定为:对向量减法几何意义的深入理解，向量减法运算的实际应用。学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识。通过创设情境疑问，引导学生开
6、展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法。鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯。 四、教学策略分析 遵循教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学原则，本节课我采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学，达到提高教学效果和教学质量的目的。从教与学的实际情况出发在教学过程中深入挖掘课本资源，通过“如果没有运算，向量只是一个路标，因为有了运算，向量的力量无限。”强调向量运算的重要性，类比实数的减法运算提出是否存在向量减法运算的疑问，调动学生的学习兴趣。教学的核心内容为向量减法的作图方法及几何意义，向量加减法在几何问题中的应用，课后思
7、考题体现了向量减法在实际生活中的应用，实现了课堂知识在课外的延伸。整节课教学材料的选择安排符合学生的认知规律，可以有效提高学生数学思维的参与度，帮助学生逐步学会思考。 根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观- 2 - 察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受。 围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入。通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结。 例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为
8、不同认知基础的学生提供相应的学习机会。在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的反馈，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价。例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况。通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化。 五、教学过程通过一道复习题，强化学生对相关向量概念及向量加法温故复习，强化概念 运算的掌握，为向量减法的学习打下坚实的基础。 A(台北) 通过有关向量减法问题串的提出，引发学生思考。创设提出问题，创设情境 位移、物理学情境，激发学生兴趣，引出新知。 利用性质，解决问题 通过合作和交流，从已有的知识结构出发，得到本课研探索新知，
9、深入研究 究的两个定义，并明确作向量减法的步骤。 合作探究，提升认知 通过例题强化向量减法运算及其几何意义，同时体现向巩固双基，挖掘内涵 量在平面几何中的应用。 小结反思，形成思想 通过例题向量减法的运算规律，明确加减法的特点及二提升认识，学以致用 者间的内在联系。引入实际生活问题，学以致用，感受布置作业，知识延伸 数学的广泛应用。 师生共同交流，感悟思想方法，提升学习内容。通过布小结升华，布置作业 置分层作业，达到知识在课堂以外的延伸。 布置作业，知识延伸 1(温故复习，强化概念 B A 师 通过前面的学习，我们知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共线向量的概念，了解了向量可以
10、进行加法运算，请F 同学们与我一同看这样一道复习题。 C O - 3 - D E 如图:O是正六边形ABCDEF的中心。 (1)作出图中的向量,还能作出哪些向量呢, OADE,DE(2)找出的相等向量、共线向量 (3),还能举出类似的例子吗, OAAF，,_OAOC，,_生 学生回答。复习过程中教师强调向量相关概念，并引领学生复习向量加法的两种法则及各自特点。 【设计意图】知识的复习融入一道题目之中，巧妙的安排设问，复习相关概念并巩固了向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备。 2(提出问题，创设情境 师 正如教材的第二章扉页上所说，“如果没有运算，向量只是一个路标，因为有了运算，向量的力量无
11、限。”通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了运算给予向量的力量，在此基础上我们学习向量减法。 问题串:如何定义向量减法,用怎样的符号表示呢,如何理解向量的减法及其几何意义,(让我们共同开启对于“向量减法”的发现之旅吧。) 我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数。 类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢, 师生活情境(1):一架飞机由天津到香港,再由香港返回天津, 飞机的两次位移分别是什么? 生 学生回答 师 在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢, 生 学生回答 师 两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢, 生 学生齐答:大小相等
12、，方向相反 师 结合以上特点，你能否在正六边形中，找到也具有这种特点的两个向量, 满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量。 用怎样的数学符号表示呢, 生 学生回答: ,a【设计意图】 问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅。问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理- 4 - 学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣。教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结，同时在正六边形的复习题中得以应用，形成呼应。知识的形成并非强加给学生，而是让学生自主发现探索，符合最近发展区原则。 3(探索新知，深入研究 师 借助新知完成思考1。
13、生(思考1:逐一请学生回答)其中(3):教师要适时强调相反向量和共线向量的关系。 abab,，,()师 再次类比实数运算，向量减法是否也有类似的运算, 生 学生独立得出向量减法的定义式: abab,，,()师 教师给出向量减法的定义。并强调:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 思考2:让我们共同探讨:对于已知非零向量，借助减法的定义，(1)如何作图得到ab, ab,生 请两位同学实物投影并讲解作法，体现减法转化为加法的思想，同时展示两种向量加法的法则。 【设计意图】本环节强化了学生活动，由定义得到，作图得到向量减法的过程完全让学生完成，从而体现学生的主体地位，在学生参与的过程中，教师要
14、适时表扬，适时提出新的问题，激发学习兴趣，培养学生严谨的科学习惯。 师 思考2:(2)设OAaOBb,探究:能否直接求，小组讨论。 ab,【设计意图】 思考2:(2)是本课的重点，体现向量减法的形成过程，教师把时间交给学生，小组讨论，形成向量减法的运算规律，并强调几何意义。 思考3:让我们一同总结作图得到的具体步骤。 ab,生(请一位同学回答)同时教师板书规范完成求向量差的作图操作。 师 我们已经从图形角度研究了向量的减法，再来从表达式的角度研究一下。 (教师板演:)并强调:一个完整的作图应体现出运算结果，同时也abOAOBBA,更加清楚的表示差向量。通过的变式，应用口诀。 ba,【设计意图】
15、借助多媒体工具辅助教学，强化对于减法几何意义的理解，实现数与形的结合。作图方法具体步骤及运算结果的呈现，为学生提供一种规范的解题作图思路和具体操作方法，做到事事有章可循，从而培养学生严谨的思维方式。 - 5 - 4(巩固双基，挖掘内涵 师下面就让我们尝试运用法则来完成第一个例题 例1:(1)已知向量求作向量，并写出运算结果。 abcd,abcd,(2)已知向量求作向量，并写出运算结果。 ab,ab,(3)已知向量求作向量，并写出运算结果。 ab,ab,aadbbbca(1) (2) (3) (请三位同学在黑板上分别作出结果) 【设计意图】目的在于考查学生对于法则的理解程度。在教学过程中，要给学
16、生足够的时间完成，讲解时适时强调3个小题中向量的位置关系均有所不同，特别是对于共线的两ab,个向量，减法的法则仍适用，从而完善了向量减法的适用范围。另外，通过本例强调规范的作图方法及运算结果的体现。 例2:已知平行四边形ABCD，用表示向量 ABaADb,ab,ACBD,D C b A B a【设计意图】本例的作答对于学生而言并不困难，要求教师引导学生提炼本题中所求向 量的几何意义。即为学生介绍了联系，的一种几何模型平行四边形。 ab，ab,ab5(提升认识，学以致用 师 我们前面接触的向量减法均与图像相关，那么我们能脱离图像，解决这组化简的习题吗,请同学们试一试。 例3:化简 (1)_OAO
17、CAB,，,(2)_MDMNMPDP，,，, (3)()()_ABCDACBD,生 (请三位学生回答)并引导学生给出一题多解。 师 教师总结解决本练习的精髓:借助向量加法首尾相连，减法共起点的特点，找寻题目的- 6 - 突破口。同时再次强调:借助相反向量实现加减法之间的转化。同时:本例也是对于例4的铺垫。 例4:已知点O是四边形ABCD所在平面上的任意一点，且满足，判断OAOCODOB，,，四边形ABCD的形状。 【设计意图】 从化简练习到例2的设计，均体现了不借助图形直接进行加减法运算问题，这个环节的设计力求通过练习为学生搭建解决问题的脚手架。即:若无图形，首尾相连则完成加法，共起点则想到减
18、法，这也就是例2解题的关键所在。 师 在学习中我们发现向量的加法和减法是有机联系的一个整体，密不可分。下面我们来一起完成思考4:总结对比向量加法和减法运算。 【设计意图】本环节设置力求让学生较为系统掌握加减法的本质及内在联系，提升认识。 师 问题解决(1):拔河比赛场景:甲队胜于乙队。你能通过向量的知识来解释吗, 问题解决(2):在向量加法的学习中，我们接触一道有关于堤坝抢险的实际问题。 江淮流域发生了大洪灾。一条自西向东流淌的大河，在其南岸发现对岸的堤坝处有险情，救险队员坐船从A处出发垂直向对岸驶去，才能到达险情发生处。已知船速、水速，求船实际航行速度的大小及方向。 如果是正对岸出现险情，该
19、如何确定其航向,对你有何启发, D C V实VV实船 VV水水BBAA【设计意图】问题解决部分:从生活实例出发，拔河比赛的场景设置激发学生的学习兴趣。在向量加法运算的学习中，运用向量加法的平行四边形法则解决了堤坝抢险的实际问题。在向量减法运算的教学中改变险情位置，提出该如何确定航向的相关问题，体现向量减法运算的实际应用，学以致用，让学生感受到数学服务于生活，有着广泛的应用，留作课后解决。 6(小结升华，布置作业 本环节由学生发言，畅谈这节课的收获与疑惑，并相互评价。最后教师进行归纳、总结、提升。 - 7 - 一种运算方法 三种思想 两个定义 转数类有向相化形图 比向量反思结形思线的向想 合 形
20、想段 减量 式形法 运式算向 运数向是相量算 的量研反 具加的究向有减加 图量 图法法 形形 的和工 数具 的 双重课后作业: 特【巩固型】教材87页练习1,2,3;91页A组4,8. 征 【思维拓展型】 ,(1)类比加法中不等式， a,b,a，b,a，b,试判断是否成立,若成立，给出相应解释。 a,b,a,b,a，b(2)向量是一种重要的运算对象，从数、式的运算到向量的运算是一次飞跃。 回顾: 数、式 的运算规律，和向量加、减法运算。 思考:向量还会有其它运算吗,怎样运算呢,遵循什么运算律呢, 板书设计: 2.2.2向量减法运算及其几何意义 向量减法的定义 例1: abab,，,() (1)
21、 (2) (3) b a- 8 - _作图区_ 3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。_ 1、20以内退位减法。步骤: _ (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.教学点评 点评人:王祥芬(天津市滨海新区塘沽教育中心) 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）陈莹老师是天津市滨海新区塘沽一中的青年教师。本节课的内容是人教A版教材数学(必修4)2.2.2向量减法运算及其几何意义，向量是近代
22、数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是运算认识的又一次质的飞跃。 陈莹老师通过强化概念、创设情境、直观感知、探究新知、挖掘内涵、学以致用等环节层层深入，环环相扣，并充分体现师生互动，在教师的整体引导下，学生动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进，对知识的探究由表及里、逐步深入，激发了学生兴趣，带领学生进入对向量运算更进一步的思考和研究之中，达到知识在课堂以外延伸的目的。本节课亮点如下: 1.理解数学是关键 (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）教
23、师能够站在数学学科的整体高度来把握教材，围绕概念和问题情境，设 计的探究问题起点低、步子小，层次性强，突出“低起点、高观点”的教学方式，注重知识的“生长点”与“延伸点”，把教学知识置于整体知识体系中，突出一种方法、两个定义、三种思想的整体知识框架。 2.问题探究是动力 (一)教学重点问题串的设置符合学生的认知规律，从向量加法到向量减法的过渡自然流畅。问题从类比数的减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣，符合学生的最近发展区。 第一章 直角三角形边的关系3.主动学习是核心 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。教师为学生的学习和发展营造了浓郁的学习环境和气氛，通过正六边形的两次探究应用的设计激发了学生的学习积极性，通过让学生口答、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂应用题- 9 - 学习的主人，发挥了学生自主学习的主体作用。 总之，陈莹老师这节课以生为主，返璞归真，立足本质，追本溯源，转化形态，便于探索，堪称是快乐分享的课堂。 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。- 10 -