1、第2讲 场论基础（2）2-1 证明修正矢量Green定量 证明： （主要公式：；）证毕.2-2证明证明：一种理解：严格证明（直角坐标系）：设，左边：=右边：= + = = =左边证毕.2-3 证明 证明：如右图，设场在曲线和曲面上是良性的。 把S分成n个小块，设第m块的面积为，边界为，设点在上。由旋度的原始定义，因此有：叠加所有的小块，则上式右边的第一项由于叠加过程中相邻小块的公共边界上的积分相互抵消，因此只剩下不是公共边界曲线的积分，即：当，则：另外，由于当，故因此，。证毕.第4讲 Maxwell方程（2）4-2 证明边界条件： 和hSn媒质1媒质2媒质界面证明：(1). 利用 由于及有限函
2、数，当时，。则有：(2). 当时，。则有：4-3讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。解：比拟于微分方程，猜想有两种独立方程形式： 以及下面证明第一种方案：(1). 证明磁场无法向分量边界条件：上式中，。因此有：即： 由于对于任意的，上式都成立，对于特例也成立，则常数为0。因此.(2). 当然还可以倒出电流连续性边界条件：由于：所以 （利用了）因为所以 注：对于*式，应用电流连续性方程，就可以得到电场的法向不连续的边界条件。第3讲 本构关系和波动方程3-1 已知铁氧体磁导率张量为：其中是正实数，试采用坐标变换得对角化，求坐标变换矩阵和对角矩阵。解：求特征值：于是有：（）当时，解得当时，
3、解得当时，解得故有变换矩阵：对角化后的矩阵为：3-2 对于良导体，无源区域的Maxwell方程为：试导出波动方程，并给出波传播的速度和波阻抗的表达式。解：由于且故：同理：所以波动方程为：由波动方程知：解得所以： 第5讲 电磁场的能量与动量5-1 试推导频域Poynting定理。解：在时域，一个周期内Poynting矢量的时间平均值为： 由此引入频域Poynting矢量：，而，故其中：，证毕.5-2 相同频率的两个点电荷源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为；而电源2产生的，试证明证明：满足的场方程为： 所以： 证毕.5-3 无限均匀导电媒质中放一电量Q 为的点电荷，试求
4、这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。解：利用积分场定理求解。 高斯定理： 由于，所以：而，代入上式有：又有电流连续性方程： 所以（） 解上述方程的： 下面求: 研究一个以Q的初始位置为球心的球，则在球面上的大小一样，方向指向背离球心半径方向。 于是： 由于 ，代入 有 所以： 而在时刻，。 所以： 电场能量密度：磁场能量密度：第6讲 波动方程与唯一性定理6-1 试证明右图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果（1）区域内的源已知；（2）区域外边界上切向电场或切向磁场已知（3）区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续 则区域内电磁场唯一确定。证明：为便于说明，
5、证明两种有耗媒质的情况，然后可将其推广到多媒质情况。如图中所示，整个体积V分成两个区域，和中电导率，磁导率和介电常数分别为：，。设中存在两个电场和两个磁场和，中存在两个电场和两个磁场和。记差场分别为：，差场满足： 利用Poynting定理的积分形式：由区域外边界上切向电场或切向磁场已知，有：，由区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，有：因此（1）式的左边等于0。故：上式中实部和虚部都为零，有：对于有耗媒质，。于是：唯一性定理得证。对于多媒质情况，由于内部媒质交接处积分总是抵消，表面上积分也为零，可知仍然有唯一性定理。6-2 试讨论Poisson方程解的唯一性问题。 解：设此方程有两解，分别
6、为：和考虑差值函数。则：满足方程：应用Green第一恒等式：上式中，令则有：可见，只要满足：(1) 边界上的给定；(2) 或边界上的给定；(3) 或边界上一部分的给定，另一部分的给定；上述三个条件中的任何一个，都有，则：，被唯一确定，Poisson方程有唯一解。第7讲 辅助位函数7-1 试证明在Coulomb规范下式中：证明：对于电流源，由定理得： 式中分别为分别表示的无旋部分和无散部分，即：根据矢量恒等式：因为：，以及： 所以，由（1）式 、 （）将上式和代入到：，得到：证毕.7-2 试导出导电率为的媒质中矢位和标位的波动方程。解：波动方程：因为：，所以：故有：既有：(2)式两边加可变为：
7、如果令：，则(3)和(4)式可化解为： 以上两式即为波动方程。7-3 试证明：在Coulomb规范下，无源区域中的电磁场量可用两个标量函数表示。证明：无源区域：。 利用上一讲得到的结论，在Coulomb规范下， 由此可见，电磁场量可用的两个独立分量表示，即两个标量函数表示。7-4 在柱坐标系下，设试从Maxwell方程导出各向同性媒质无源区域中，频域电磁场横向分量由纵向分量表示的表示式。解：满足的电磁场方程：微分算子表示成横向和纵向形式：对Maxwell方程的两个旋度方程取横向分量得到：上面（1）式都用叉乘得到：利用有： 利用，得到：将（2）式代入到上式有：令，有：同理有：因此，频域电磁场横向
8、分量由纵向分量表示的表示式。证毕.第11讲 等效原理与感应定理11-1 试利用等效原理，计算右图所示的通向接地导电平面的矩形波导开口端的辐射场（假定开口端为波的电场）。解：按照图中所给的坐标定义，在端口上的。根据等效原理，求导体平面右半空间的辐射场时，可以用导体将波导开口封闭，再加上面磁流来等效，再应用镜像法，使之等效为无限大自由空间的辐射问题，等效的面磁流为原来的两倍，原问题就变为求该等效面磁流的辐射问题，因为开口端的为波的电场，则最后等效的面磁流为：在处的小磁流在点产生的辐射场为（设R为小磁流到P点的距离）设r为原点到P的距离，在球坐标系中，所以：考虑到，利用展开上式并只保留主要项，得：所
9、以在P点的辐射场为：下面分别计算两个积分所以：最后得到：第16讲 互补原理和互易定理16-1 利用互补原理，由对称振子天线的辐射场求图16-4所示的缝隙天线的辐射场，缝隙内电场为解：图中两种天线构成了电屏与互补电屏的关系。 设对偶振子的辐射场为，缝隙天线的辐射场为，。由于没有z0区域的源，故，应用互补原理，有故：缝隙天线内的电场对偶于对称振子表面的切向磁场： 由于振子两侧磁场的切向分量大小相等，方向相反，这样有：由上述电流对称振子产生的场为：由此得到缝隙天线的辐射场为：16-2 证明：如果源和均在体积v内，则互易定理为：证明： 由于源和均在体积内时，设外的空间为无源空间，则中无源，所以由互易定
10、理有： 为包围的外曲面法线方向。由于外的空间的外曲面包括：半径的球面，和：包围的曲面。则有： 因为为半径的球面，在面上，有所以： 16-3 证明：无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。证明：设有一理想磁体，在无限靠近导体表面上有面磁流，在空间有一任意磁流源，在空间各处产生的电磁场为，在空间各处产生的电磁场为，根据互易定理，有：由于理想磁体表面磁场只有法向分量，而为切向磁流，故：于是：又由于为任意的，所以。所以：无限靠近理想表面的面磁流不产生电磁场。第11讲 导体镜像原理11-1一点电荷放置在夹角为的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为,与拐角的最小夹角为。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生
11、的电位。如果拐角的夹角改为,问能否应用镜像原理？为什么？解：因为，满足，其中，可以利用镜像原理，将产生个镜像电荷，设拐角的一边为x轴正方向，则其镜像电荷角度分别为：具体电荷坐标分别为： 点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和电位。由电位公式： 可以得到和电位为：和分别为是具体电荷的坐标。如上图所示，当夹角时，不满足（为整数），所以镜像电荷将产生无穷多个，并且将有镜像电荷会落在拐角内，改变了拐角内电荷的分布，所以无法应用镜像原理。11-2 如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a的半球形，在处有一点电荷。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。解：为保证的无限大平面满足边界条
12、件，可考虑在接地无限大的导体作用下，点产生一个镜像电荷，据平面板的镜像原理可知：。 为保证半球满足边界条件，可将半球形看成一个完整球形，则两个点电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理，可以得到它们的电荷大小和位置分别为：，所以：产生的电位为： 验证其是否满足边界条件：11-3 如图11-10所示，一密度为的无限长均匀分布的线电荷，平行放置在半径为R的接地导体圆柱外。试尝试用镜像原理求解该问题。解：设点C为系统的零电势点，设N点为镜像电荷所在点，密度为，则P点电位为：，其中，为OP与OM的夹角，为PM的长度，为PN的长度，为ON的长度，因为圆柱接地，所以：，则：则：，所以：电位为：第1
13、2讲 介质镜像原理12-1试利用镜像原理求解如图所示的线电荷在三层介质中产生的电位。解：利用介质镜像原理，先确定（区域2）得镜像问题，区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下图（1）所示的镜像电荷分布：由这些规律可以推出区域2电位的表达式：在区域3中，其中有一条与区域2为边界，因为区域2无电荷，故不对区域3产生影响，区域1的影响可以看（1）图中区域1对区域2的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子，如图（2）所示：由这些规律可以推出区域3中电位表达式：在区域1中，其中只有一条与区域2的边界x=h，为了保证x=介质边界条件，在区域2中，处加电荷，区域3对它的影响可以看成图（3）中区域3中的电荷对区域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子，如图（3）所示：由规律可以推出区域1电荷表达式为：第18讲 分离变量法18-1求下图所示的同轴线TE模的纵向场分布。解：TE模中，纵向场只有，设则有分离变量法得：有边界条件得：即：上式便是确定n的本征方程，确定了n后，又，便可确定，进而得的表达式：18-2 证明是齐次标量波动方程的一个解。若取，计算由此所形成的波。在常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支持这样的波？证明：因为：所以： 满足齐次波动方程。则：代入：得到：当时，即时，可得到同轴线可以支持这样的TM波。
免费区 
