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1、高一数学解三角形知识点总结及习题练习解三角形 一、基础知识梳理 acb新疆王新敞奎屯1正弦定理:= =2R(R为?ABC外接圆半径)，了解正弦定理以sinAsinBsinC下变形: a,2RsinA,b,2RsinB,c,2RsinCabcsinA,sinB,sinC, 2R2R2Ra:b:c,sinA:sinB:sinCabca，b，c,sinAsinBsinCsinA，sinB，sinC1111最常用三角形面积公式: S,ah,absinC,acsinB,bcsinA,ABCa2222新疆王新敞奎屯2正弦定理可解决两类问题:1(两角和任意一边，求其它两边和一角; (唯一解) 新疆王新敞奎屯
2、2(两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角(解可能不唯一) 了解:已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: 222bca，,2223(余弦定理 : ,a,b，c,2bccosAcosA,2bc222cab，,222 ,b,c，a,2accosBcosB,2ca222abc，,222 ,c,a，b,2abcosCcosC,2ab4(余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边，求三个角;(解唯一) 新疆王新敞奎屯(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角(解唯一): 新疆王新敞奎屯(3)两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角(解 可能不唯一) 2课前热身
3、1(教材习题改编)已知?ABC中，a,2，b,3，B,60?，那么角A等于( ) A(135? B(90? C(45? D(30? 222abcbc,，2(在?ABC中，则A等于( ) A(60? B(45? C(120? D(30? 3(在?ABC中，若A,120?，AB,5，BC,7，则?ABC的面积是( ) 33153153153A. B. C. D. 42484(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a,1，b,3，A，C,2B，则sinA,_. 5( ,2，a,6，则?ABC的形状是_( 5(在?ABC中，如果A,60?，c3考点突破 考点
4、一 正弦定理的应用 利用正弦定理可解决以下两类三角形:一是已知两角和一角的对边，求其他边角;二是已知两边和一边的对角，求其他边角( 例1、(1)(2010年高考山东卷)在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a,2，b,2，sin B，cos B,2，则角A的大小为_( (2)满足A,45?，a,2，c,6的?ABC的个数为_( 考点二 余弦定理的应用 利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边和它们的夹角，求其他边角;二是已知三边求其他边角(由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的( 例2、在?ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c,2，C,.
5、 3(1)若?ABC的面积等于3，求a，b的值; (2)若sinB,2sinA，求?ABC的面积( 考点三 三角形形状的判定 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别( 例3、(2010年高考辽宁卷)在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A,(2b，c)sin B，(2c，b)sin C. (1)求A的大小; (2)若sinB，sinC,1，试判断?ABC的形状( 互动探究 1 若本例条件变为:sinC,2sin(B，C)
6、cosB，试判断三角形的形状( 方法感悟: 方法技巧 解三角形常见题型及求解方法 abc(1)已知两角A、B与一边a，由A，B，C,180?及,，可求出角C，再求出b，sinAsinBsinCc. 222(2)已知两边b，c与其夹角A，由a,b，c,2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. ab(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理,求出另一边b的对角B，由CsinAsinBacab,(A，B)，求出C，再由,，求出c，而通过,求B时，可能出现一解，sinAsinCsinAsinB两解或无解的情况，其判断方法如
7、下表: 失误防范 1(用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解( 2(要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60?;若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列;三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论:sinA,B，CAsin(B，C)，cosA,cos(B，C)，sin,cos，sin2A,sin2(B，C)，cos2A,cos2(B，C)22等( 3(对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”( 五、规范解答 (本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷?)在?ABC中，D为边BC上的一点，BD,5333，sinB,，cos?ADC,，求
8、AD的长( 1353【解】 由cos?ADC,0知?B， 52124由已知得cosB,，sin?ADC,，4分 135从而sin?BAD,sin(?ADC,?B) ,sin?ADCcosB,cos?ADCsinB 1235334,.9分 51351365ADBD由正弦定理得,， sinBsin?BAD53313BD?sinB所以AD,25.12分 33sin?BAD65【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查(本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分(出错的原因主要是计算问题(
9、名师预测 1(在?ABC中，a,15，b,10，A,60?，则cosB,( ) 2222A(, B. 3366C(, D. 33222，b,ca2(已知?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S,，那么角C,_. ?ABC43(在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b,c)?cosA,acosC,0. (1)求角A的大小; 33(2)若a,3，S,，试判断?ABC的形状，并说明理由( ?ABC4解:(1)法一:?(2b,c)cosA,acosC,0， 由正弦定理得， (2sinB,sinC)cosA,sinAcosC,0， ?2sinBcosA,sin(A，C)
10、,0， 即sinB(2cosA,1),0. ?0B， 1?sinB?0，?cosA,. 2?0A，?A,. 3法二:?(2b,c)cosA,acosC,0， 由余弦定理得， 222222b，c,a，b,ca(2b,c)?,a?,0， 2bc2ab222整理得b，c,a,bc， 222b，c,a1?cosA,. 2bc2?0A，?A,. 3133(2)?S,bcsinA,， ?ABC2433即bcsin,， 32?bc,3，? 222?a,b，c,2bccosA， 22?b,6，? ，c由?得b,c,3， ?ABC为等边三角形( 课后作业 cosA,sinB,1 在?ABC中，角均为锐角，且则?
11、ABC的形状是( ) AB,的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.2 边长为的三角形的最大角与最小角的和是( ) 5,7,8三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)0000A. B. C. D. 9012013515064.24.8生活中的数3 P30-350Rt3 在?ABC中，则sinAsinB的最大值是_. C,902224 在?ABC中，若_. a,b，bc，c,则A,
12、5 已知?ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 夹m,(sinB,1,cosB)与向量n,(2,0)186.257.1期末总复习及考试1角的余弦角为. 2(一)数与代数(?)求角B的大小; sinA，sinC (?)求的取值范围. (一)教学重点6 ?ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c. 11.利用三角函数测高1222(?)若，求cosA的值; b，c,a,bc2圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。B，C,2,2(?)若A?，求的取值范围. sin，cos2A232七、学困生辅导和转化措施abcosBcosA7 在?ABC中，求证:,c(,)baba 8 在锐角?ABC中，求证:sinA，sinB，sinC,cosA，cosB，cosC.