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1、高中不等式基础练习题精品文档 高中不等式基础练习题 11(函数y,x，xx,0)的值域为( A( C(2，?)B( D( a，b12(下列不等式:?a2，1,2a;?2;?x2，?1，其中正确的个数是 x，1ab ( A(0B(1C(2D(3 3(若a,0，b,0，且a，2b,2,0，则ab的最大值为( 1A.2B(1 C(D(4 4(若函数f,x，1在x,a处取最小值，则a,( x,2 A(1，2B(1，3C(3D(4 t2,4t，15(已知t,0，则函数y,的最小值为_( t 考向一 利用基本不等式求最值 11?已知x,0，y,0，且2x，y,1，则x，y的最小值为_; 当x,0时，则f,
2、2x_( x，1 已知x,1，则f,x，1的最小值为_( x,1 1 / 20 精品文档 2已知0,x,5y,2x,5x2的最大值为_( 若x，y?且2x，8y,xy,0，则x，y的最小值为_( 考向二 利用基本不等式证明不等式 bccaab?已知a,0，b,0，c,0abca，b，c. ( 已知a,0，b,0，c,0，且a，b，c,1. 111求证:a，b，c?9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 ?若对任意x,0， _( 已知x,0，y,0，xy,x，2y，若xy?m,2恒成立，则实数m的最大值是_( 考向三 利用基本不等式解实际问题 ?某单位建造一间地面面积为1m2的背面靠墙的矩形
3、小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过m(房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为800元，如果墙高为m，且不计房屋背面的费用(当侧面的长度为多少时，总造价最低, 东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元(从今年起，工厂投入100万元科技成本(并计划以后每年比上一年多投2 / 20 精品文档 入100万元科技成本(预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g与科技成本的投入次数n的关系是g,80.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f万元( n，1xa恒成立，则a的取值
4、范围是x，3x，1求出f的表达式; 求从今年算起第几年利润最高,最高利润为多少万元, 1 设a,b,0，则a2，abA(1B(2C(3D(4 双基自测 D( 答案 C 2(解析 ?不正确，?正确，x2，112，1?2,1,1.答案 B x，1x，11( a?a,b? 13(解析 ?a,0，b,0，a，2b,2，?a，2b,2?2ab，即ab?2答案 A 4(解析 当x,2时，x,2,0，f,， ,4，当且仅当x,2,1，2?x,2?x,2?12x,21x,2)，即x,3时取等号，即当f取得最小值时，xx,2 ,3，即a,3.答案 C t2,4t，115(解析 ?t,0，?y,t，tt,4?2,
5、4,2，当且仅当t,1时取等 号(答案 ,2 3 / 20 精品文档 解析 ?x,0，y,0，且2x，y,1， 112x，y2x，yy2xy2x?x，y,x，y,3，x，y3，22.当且仅当xy ?x,0，?f,2x221,1?2,1，当且仅当x,x，即x,1时取等号(答x，1x，x案 3，21 (解析 ?x,1，?f,，1，1?2，1,当且仅当xx,1 12,2时取等号(y,2x,5x2,x,5?5x?，?0,x,55x,2,2, 1?5x，2,5x?2,1，?y?5x,2,5x，x,0，?5x?52?1128即x,5时，ymax,5.由2x，8y,xy,0，得2x，8y,xy，?y，x,1
6、， 8y2x?82?4yx?x，y,?xy,10，xy10，2?xy?10，22 ?4yxxy,18， 4yx当且仅当xyx,2y时取等号，又2x，8y,xy,0，?x,12，y,6， ?当x,12，y,6时，x，y取最小值18. 1答案 18 bcca证明 ?a,0，b,0，c,0，?a，b?2 bcabcaab,2bacb，c?cabcab,2c;aba，c?caab?bccaab?，bc2a.以上三式相加得:2?abc?2，即abca，b，c. 4 / 20 精品文档 111a，b，ca，b，c证明 ?a,0，b,0，c,0，且a，b，c,1，?a，b，c,aba，b，cbcacab?b
7、a?ca?cb?a，b，?ac，?bc，3，caabbcc? 1?3，2，2，2,9，当且仅当a,b,c,3 xx解析 若对任意x,0?a恒成立，只需求得y,的最大值即x，3x，1x，3x，1 可，因为x,0，所以y,x,x，3x，1111?当且仅当x,1时取115x，x，3xx ?1?1?等号，所以a的取值范围是?5，?答案 ?5? ? 解析 由x,0，y,0，xy,x，2y?2xy，得xy?8，于是由m,2?xy恒成立，得m,2?8，m?10，故m的最大值为10.答案 10 12?16 解 第n次投入后，产量为万件，销售价格为100元，固定成本为80元，科技成本投入为100n万元(所以，年
8、利润为f,(由知f,?,100n n)?n，1?n，1? 9?9n，1，?520(当且仅当n，1,1 000,80?， n，1?n，1 即n,8时，利润最高，最高利润为520万元(所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元( (正解 ?a,0，b,0，且a，b,1， 5 / 20 精品文档 12?12b2a?a，b,?a，b,1，2，ab?3，?b2aab,3，22. a，b,1，?当且仅当?b2a?ab ?a,2,1，12即?时，ab3，22. ?b,2,2 11112尝试解答 a，ab,a,ab，ab，ab，a，a?a,b?a?a,b? 11，ab，ab?1a?a,b?，1aba
9、b,2，2,4.当且仅当a,1 a?a,b?且ab,1 aba,2b时，等号成立(答案 D 高中数学基本不等式的巧用 a，b 1(基本不等式:ab?2基本不等式成立的条件:等号成立的条件:当且仅当时取等号(几个重要的不等式 ba?a，b?2 ; a2，b2?2ab;a，b?2;ab? ?2?a2，b2?a，b?2 ( 2? ?2?3(算术平均数与几何平均数 a，b 设a,0，b,0，则a，b的算术平均数为2ab，基本6 / 20 精品文档 不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数(利用基本不等式求最值问题 已知x,0，y,0，则 如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x，y有最
10、小值是2p. p2 如果和x，y是定值p，那么当且仅当时，xy4简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2，b2?2ab逆用就是 2 技巧和公式等号成立的条件等( 两个变形 222 ?ab; 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们( 三个注意 视(要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可( “正”“定”“等”的条件( 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 1 1 y,x， y,3x， 7 / 20 精品文档 2xx 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知x? 技巧二:凑系数 例1. 当 时，求y?x的最大值。 5 ，求函数y?4x?2?1的最
11、大值。4x?5 技巧三: 分离 x2?7x?10 的值域。 例3. 求y? x?1 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?例:求函数y? a 的单调性。 x 2的值域。 练习(求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 11x2?3x?1 ,x? ,x? y?2sinx?, y?2x?y? 8 / 20 精品文档 sinxx?3x 2(已知0?x? 1，求函数y?的最大值.;3(0?x? 2 ，求函数y?3 . 条件求最值 ab 1.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是 . 11 变式:若log4x?log4y?2，求?的最小
12、值.并求x,y的值 xy 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。:已知x?0,y?0，且 19 ?1，求x?y的最小值。 xy ? 变式: 若x,y?R且2x? y?1，求1?1的最小值 x 9 / 20 精品文档 y ? 已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x xy ?y的最小值 1，y 的最大值. 1 技巧七、已知x，y为正实数，且x， y 2 ,1，求x 技巧八:已知a，b为正实数，2b，ab，a,30，求函数y, ab 的最小值. 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x，2y,10，求函数W应用二:利用基本不等式证明不等式 1(已
13、知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a 2 3xy 的最值. ?b2?c2?ab?bc?ca 10 / 20 精品文档 1)正数a，b，c满足a，b，c,1，求证:?8abc 例6:已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证:?应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知x?0,y?0且 ? ?1?1?1?1?1?1?a?b?c? 19 ?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy 应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若a?b?1,P? 1 1 a?lgb,Q? 1a?b,R?lg，则P,Q,R的大小关系是.2 解:y,3x， ?2x 1 3x? 2x ?值域为，+?) 当x
14、,0时，y,x，?x 1 11 / 20 精品文档 x? ,2; x 1 x =,x 11 当x,0时， y,x= ,?,2 xx?值域为 解:因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又 1 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，x?5 511?x?,?5?4x?0，?y?4x?2?5?4x?3?2?3?14x?55?4x?当且仅当5?4x? 1 ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。?4x 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 解析:由 积的形式，但其和不是定值。注意到2x? 8
15、为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 12 / 20 精品文档 ，即x,2时取等号 当x,2时，y?x的最大值为8。 评注:本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 解析一:本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。 当 ,即 时,y?5?解析二:本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x，1，化简原式在分离求最值。 2?7? A ?B， g恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 g 1 ?t? t2 ?t ，则y? ? 因t?0,t?1，但t?解得t?1不在区间?2,?，故等号不成立，考虑单调性。
16、因为y?t?在区间?1,?单调递增，13 / 20 精品文档 所以在其子区间?2,?为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,?。 分析:“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解:和3都是正数，3?3?23a?3b?23a?b?6 ababab 当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时，3?3的最小值是6( a b 1 t1t 1t5。 ?5?2? abab 不等式综合练习题 ? ; 常用不等式有:a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca若a?b?0,m?0，则?。 aa?m 1111111 常用的放缩技巧有:?2
17、? nn?1nnnn?1n 14 / 20 精品文档 ? 1、对于实数a,b,c中，给出下列命题: ?若a?b,则ac2?bc2; ?若ac2?bc2,则a?b; ?若a?b?0,则a2?ab?b2; ?若a?b?0,则?若a?b?0,则 11 ?; ab ba ?; ?若a?b?0,a?b; ab ab11 ?若c?a?b?0,则; ?若a?b,?，则a?0,b?0。 c?ac?bab 其中正确的命题是_ 2、已知a?b?c，且a?b?c?0,则 3、设a?0且a?1,t?0，比较 4、设a?2，p?a? 5、比较1+logx3与2logx2的大小 21 ，q?2?a?4a?2，试比较p,q
18、的大小 a?2 c 的取值范围是_ a 1t?1logat和loga的大小2 6、下列命题中正确的是 15 / 20 精品文档 12A、y?x?的最小值是 B 、y?的最小值是2 x4 C、y?2?3x?的最大值是2? x4 D、y?2?3x?的最小值是2? x xy 7、若x?2y?1，则2?4的最小值是_ 8、正数x,y满足x?2y?1，则 11 ?的最小值为_ xy 9、如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_ 222222 10、已知a?b?c，求证:ab?bc?ca?ab?bc?ca ; 已知a,b,c?R，求证:a2b2?b2c2?c2a2?abc; 已知a,b,x
19、,y?R?，且 11xy ?,x?y，求证:?; abx?ay?b 若a、b、c是不全相等的正数，求证: a?bb?cc?a 16 / 20 精品文档 ?lg?lg?lga?lgb?lgc;22 222222 已知a,b,c?R，求证:ab?bc?ca?abc; lg * 若n? N? n; |a|?|b|a|?|b| ?; |a?b|a?b| 111 求证:1?2?2?2?2。 23n 2 11、解不等式? 0。 已知|a|?|b|，求证: 12、不等式、g的定义域都是R，且f?0的解集为x|1?x?2，g?0的解集为?，则不等式fg?0的解集为_ 14、要使满足关于x的不等式2x?9x?a
20、?0的每一个x的值至少满足不等式x?4x?3?0和x?6x?8?0中的一个，则实17 / 20 精品文档 数a的取值范围是_. 15、解不等式 16、关于x的不等式ax?b?0的解集为，则关于x的不等式 17、 |2? 2 2 2 5?x ?1 x2?2x?3 ax?b ?0的解集为 x?2 31x|?2?|x?|2 18、|x|?|x?1|?3 19、若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为_。 20、若loga 2 ?1，则a的取值范围是_ ax2 ?x1、解不等式 ax?1 18 / 20 精品文档 n?1 22、若不等式a?2?对于任意正整数n恒成立，则实
21、数a的取值范围是_ n n 2 23、若不等式x?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围. 参考答案:1、?2、?2,?时取等号);当0?a?1时， ? ? 1t?11? 3、当a?1时，logat?loga) 、p?q244 5、当0?x?1或x?时，1+logx3,2logx2;当1?x?时，1+logx3,2logx2; 33 4 当x?时，1+logx3,2logx26、C 、8 、3?、?9,? 3 19 / 20 精品文档 11、x|x?1或x?2 12、x|x?3或x?1 13、14、1.正切：7, 23.53.11加与减（一）4 P4-122,?)
22、一锐角三角函数81 )15、 16、?17、x?R 5.圆周角和圆心角的关系:42 18、 19、20、a?1或0?a?) 1、20以内退位减法。3 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合11 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。a?0时，a?0时，a?0时，x|x?或x?0;x|?x?0或x?0)x|x?0;21、 (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.aa 31 （2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：22、?2,)3、m?) 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;22 20 / 20