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1、章末复习,第一章立体几何初步,学习目标1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.这三种几何体都是多面体.(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应
2、用问题时，常需作它们的轴截面或截面.,(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体.2.空间几何体的直观图斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.,3.几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式,(2)求几何体体积常用技巧等体积法；割补法.,4.平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线 .即如果直线ab，cb，那么 .(2)直线与平面平行的
3、判定与性质,平行,ac,不在一个平面,平行,平面内,lm,l,平行,相交,两平面的,l,交线平行,(3)平面与平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号语言：a，b， ，a，b.图形语言：如图所示.,abP,(4)平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：，a， ab.图形语言：如图所示.作用：证明两直线平行.,b,5.垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于
4、这个平面.(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的 一条直线垂直.,两条相交,平行直线,任意,性质2：如果两条直线 ，那么这两条直线平行.(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直.(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在 垂直于 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,一个平面内,它们交线,垂直于同一个平面,6.共面与异面直线(1)共面：空间中的 或 ，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.(2)异面直线：既 又 的直线.,几个点,几条直线,不平行,不相交,思考辨析 判断正误1.菱形的直观图仍是菱形.()2.简单
5、组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.()3.夹在两平行平面的平行线段相等.(),题型探究,例1如图，从底面半径为2a，高为 的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,类型一空间几何体的表面积与体积,解答,反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟
6、悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.,(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.,跟踪训练1如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1AB1D1的高.,解设三棱锥A1AB1D1的高为h，,解答,类型二空间中的平行问题,例2如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1
7、B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点.求证：(1)GE平面BB1D1D；,证明,证明取B1D1中点O，连接GO，OB，,OBGE.OB平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.,证明,反思与感悟(1)判断线线平行的方法利用定义：证明线线共面且无公共点.利用平行公理：证明两条直线同时
8、平行于第三条直线.利用线面平行的性质定理：a，a，bab.利用面面平行的性质定理：，a，bab.利用线面垂直的性质定理：a，bab.,(2)判定线面平行的方法利用定义：证明直线a与平面没有公共点，往往借助反证法.利用直线和平面平行的判定定理：a，b，aba.利用面面平行的性质的推广：，aa.,(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一条直线的两个平面平行，即a，a.平行于同一个平面的两个平面平行，即，.,跟踪训练2如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点
9、，求证：平面DMN平面ABC.,证明,证明M，N分别是EA与EC的中点，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N为EC中点，EC2BD，,四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.,类型三空间中的垂直关系,例3如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；,证明,证明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.,(2)
10、求证：FG平面BCD；,证明取AB的中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.,证明,(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.,解答,解取线段AE的中点R，DC的中点M，DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM，,四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.,由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面B
11、CD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.,反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法利用线面垂直的性质(若a，b，则ab).(2)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性).线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa).平行线垂直平面的传递性质(ab，ba).面面垂直的性质(，l，a，ala).面面平行的性质(a，a).(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a，a).,跟踪训练3如图，在ABC中，ACBC ，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点.(1)求证：GF平面ABC；,证明,证明如图，取BE
12、的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HGBC，HFDE.又因为四边形ADEB为正方形，所以DEAB，从而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又因为GHHFH，所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF，所以GF平面ABC.,(2)求证：平面EBC平面ACD；,证明因为四边形ADEB为正方形，所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因为CA2CB2AB2，所以ACBC.又因为BEBCB，所以AC平面BCE.又因为AC平面ACD，从而平面EBC平面ACD.,证明,(3)求几何体ADEBC的体积
13、V.,解答,解取AB的中点N，连接CN，因为ACBC，,又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因为CABED是四棱锥，,达标检测,答案,1,2,3,4,1.已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为,5,解析,解析圆锥的侧面积为rl10r60，得r6.,解析当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A错；l1l2，l2l3l1l3，B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错.,1,2,3,4,
14、解析,答案,2.若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A.l1l2，l2l3l1l3B.l1l2，l2l3l1l3C.l1l2l3l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面,5,答案,1,2,3,4,解析,答案,解析选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交；选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等.故选项A、B、C均不正确.,3.设有不同的直线m，n和不同的平面，下列四个命题中，正确的是A.若m，n，则mnB.若m，n，m，n，则C.若，m，则mD.若，m，m，则m,5,1,2,3,4,解析,答案,
15、4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP 过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.,解析MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，,5,1,2,3,4,5,5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；,证明因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.,证明,(2)平面BDE平面ABC.,证明因为D，E，F分别为棱PC，AC
16、，AB的中点，PA6，BC8，,证明,又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.,1,2,3,4,5,1.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.,规律与方法,2.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为,