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1、知识梳理1.两个实数比拟大小的方法ab0? a*, (1)作差法 ab=0? a=b,ab 1? ab (a R, b0), b a(2)作商法 a= 1? a= b (aCR, b0), aa0).2.不等式的性质(1)对称性：a b? bb, bc? ac；(3)可加性:ab? a+ c二b+c； ab, cd? a+cb+d;(4)可乘性：ab, c0? ac_bc； ab0, cd0?ac二bd;(5)可乘方：ab0?an三bn(n C N , n1)；(6)可开方：a b0? na nb(n N , n2).3.三个“二次间的关系判别式A = b2 4acA 0A= 0A0)的图象,
2、兀一次方程ax2+ bx+c=0(a0)的根启两相异实根x1 , x2(x1 0(a0)的解集x|xx2 或 x x1,一b xlx Rax2+bx+c0)的解集 x|x1 x x2?考点一条件判断不等式是否成立1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法, 特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.2 .比拟法是不等式性质证实的理论依据,是不等式证实的主要方法之一,比 较法之一作差法的主要步骤为作差 一一变形一一判断正负.3 .“三个二次的关系是解一元二次不等式的理论根底；一般可把 a0时的情形.【例1】假设170；a a ba+b ab 1 1a1b
3、 ；In a2ln b2其中正确的不等式是()A . B . C . D .解析 法一特例法,特例原那么,符合条件,尽量简单,一次不够再来一次1 1由于三0,故可取a= 1, b= 2. a b显然|a|+b=12= 10,所以错误.综上所述,可排除A, B, D.一 .111法一 由ab0,可知ba0.中,由于a+b0,所以二0,1 一,11-而0.故有工ab,即正确；中,由于baa0.故一b|a|,即|a|+b0,故错误；中,由于ba0,又11 10,所以a-1b-,故a ba ba b正确；中,由于baa20, 而y= ln x在定义域0, +00上为增函数,所以in b2ln a2,故
4、错误.由以 上分析,知正确.答案 C【练习1】12021模寸H假设abrab bB. a2bn解析1特值法Wa= 2, b= 1,逐个检验,可知A, B, D项均不正确;CT石回 1bHLccC 项|b|(|a|+1)|a|(|b|+1)? |a|b|+|b|aHb|+|a|? |b|ab. ab0, . .|b|0解：由 x2+x 120 得x 3x + 40,x 3.答案( 8, 4U3, +oo)练习 2-1-1. “|x|2 是 “x2 x 60 的()A.充分而不必要条件C.充要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 不等式|x|2的解集是一2, 2,而不等式x2-x-
5、 60的解集是一2,3,于是当x 2, 2时,可得x-2, 3,反之那么不成立,应选 A.答案 A含有参数的不等式的求解,往往需要比拟相应方程根的大小,对参数进行分 类讨论是二次吗有根吗根的大小确定吗 例2-2解关于x的不等式kx2-2x+k0.1 1 k2当k0时,假设A= 4-4k20,即0Vk1时,不等式的解为一七xk1 + 41 k21时,不等式无解. 当 k0, 即一1 k 0 时,1 + 1-k2 e1-1-k2x.;kk假设 X0,即k 1时,不等式的解集为;0k1时,不等式的解集为1 - ,1 -k211-k2x| kx0； 当一1k0时,不等式的解集为1 +3 k21 1 k
6、2x|x k ；k= 1时,不等式的解集为x|xw1；k2x-axa R.解 原不等式可化为ax2+a-2x-20.当a = 0时,原不等式化为x+ K0,解得x01.2当a0时,原不等式化为x-& x+10,解得x：或x1.2当a0时,原不等式化为x- x+1 - 1,即 a 2时,解得一1x；aa,2当：=-1,即a= 2时,解得x= 1满足题意；a当2 1,即一2a0时,不等式的解集为 x|x J 或x0-1 ；当一2a0时,不等式的解集为x|?x-1 ；a当a= 2时,不等式的解集为 1;当a 2时,不等式的解集为x|-1x| .根据解集得方程根一再解相关问题【例2-31关于x的不等式
7、x22ax 8a20的解集为x1, x2,且x2xi= 15,那么 a=()A 57 c 15 c 15a.2 b.2 c.-4 d.万解析 法一 由条件知,xi和x2是方程x22ax8a2 = 0的两根,那么xi + x2= 2a, xix2=8a2,所以(x2xi)2= (x2+xi)2 4xix2 = 4a2 + 32a2= 36a2= 152一 5.又a0,所以a=2,应选A.法二 由x2 2ax 8a20,得(x+2a)(x 4a)0,所以不等式的解集为(-2a, 4a).又不等式的解集为xi, x2,所以 xi= 2a, x2=4a.从而 x2xi = 6a=15,.5解得a =
8、5.答案 A11练习2-3-1】右不等式ax2+bx+ 20的解集为x|x-,那么不等式2x2+bx23+ a0的解集是.解析所以由题意,知2和3是一元二次方程ax2+bx+ 2 = 0的两根且a0,1 1 b1X-2X一2 + 3-aa= 12, 解得b= 2.那么不等式 2x2+bx+ a0,即 2x22x120,其解集为x|2x 3.答案x|2x 3考点三不等式包成立问题 动区问、定区间例3-11.(2021卷)函数f(x) = x2+mx 1,假设对于任意x m, m+1,都有f(x)0成立,那么实数m的取值围是.解析 二次函数f(x)对于任意x m, m+1,都有f(x)0成立,f
9、(m) =m2+m210,f (m+1) = (m+1) 2+m (m+1) - 10,解得一2m0的解是全体实数(或包成立)的条件是当aa0,=0时,b = 0, c0;当aw0时,不等式ax2+bx+ c0的解是全体A0.a 0,实数(或包成立)的条件是当a= 0时,b = 0, c0;当aw0时, A 0.【例3-2-1】 设函数f(x)=m.一 mx 1.假设对于一切实数x, f(x)0包成立,求m的取值围；解 (1)要使mx2mx 10包成立,假设 m=0,显然一10;假设 mw0,m0,2,A = m2+4m0? 4m0.所以一4 m0.3练习3-2-1-1假设一兀二次不等式2kx
10、2+kx-30对一切实数x都成立,那么k的O取值围为()A. ( 3, 0 B. 3, 0)C. 3, 0 D. (3, 0)k0,解析由题意可得3A=k2 8kx 0,解得3k 0,应选D.答案 D例题 3-2-2】设函数 f(x) = mx2 mx 1.假设对于 x 1 , 3, f(x) m+ 5 例成立, 求m的取值围.含参数的一元二次不等式在某区间恒成立问题,常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先别离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比拟简单.复杂不等式先考虑能否利用不等式性质转化简单些解：要使f(x)m+5在xC 1 , 3上恒成立,1 2 3,一 一
11、一、即 m x2 +m60,6又由于 m(x2-x+1)-60,所以 mx2二.由于函数y=xdh=-6T1在1, 3上的最小值为7,所以只需m笄即 x2 +4可.所以,m的取值围是m|m0时,g(x)在1, 3上是增函数,所以g(x)max= g(3)? 7m-60,所以 m7,那么 0V m7；当m=0时,- 6 0包成立；当m0时,g(x)在1, 3上是减函数,所以g(x)max= g(1)? m-60,所以m6,所以m0.综上所述,m的取值围是m|m0x包成立,试数a的取值围.x + 2x+ a解 由于xC 1, +00)时 f(x) =0恒成立,即x2+2x+a0恒成x立.即当 x
12、1 时,a (x2 + 2x)包成立.设 g(x) = (x2 + 2x),而 g(x)= 一(x2+ 2x)=(x+1)2+1 在1 , +8)上单调递减,所以 g(x)max= g(1) = - 3,故 a3.所以,实数a的取值围是a|a 3.-x2+x, x 1,练习3-222函数f(x)=1假设对任意的xC R,不等式f(x)1,334m包成立,那么头数m的取值围为1 21),解析 f(x) = x2+x= x 2 +一,11故当x=2时,f(x)在(8, 1)上的最大值为4；1函数f(x) = log3x, xC(1, + 00)为单调递减函数,3故 xC (1, +001 c 3)
13、时,f(x)f(1) = 0,综上,f(x)在R上的最大值为4.由m24m单彳m m 1.-1答案一0, 4 U1 , +00)变量参数是相对的 把知区间的作为变量,要求的量作为参数 练习 3-2-2-21. (2021 模拟)假设不等式(aa2)(x2+1) + x00 对一切 x (0, 2恒成立,那么a的取值围是A. 81一 ,3213B.+ooC. 一81二3 - 132v U 2 , 十oo解析 vx (0, 2,2、 x 1 a - a 4 2=1x+ x要使a2a?号在x (0, 2时恒成立, x+ x贝 U a2 a 1,x x max1由根本不等式得x+;2, x当且仅当x=
14、 1时,等号成立,1一 71即 x+1 max= 2, x故 a2-a2,1-V31 + V3解得 a 一2答案 C例3-2-3aC1, 1,不等式x2+(a 4)x+4 2a0恒成立,那么x的取值围为解析 把不等式的左端看成关于 a的一次函数,记f(a) = (x2)a+(x2 4x+4),那么由f(a)0对于任意的aC 1, 1恒成立,易知只需f(-1) = x2-5x+ 60,且f(1) = x2 3x+ 20即可,联立方程解得x3.答案x|x3考点四综合转化求定义域典例4.函数y= d4 + x 12的定义域是.解析由 W + x120得(x 3)(x+4)0,x 3.答案(一8, - 4U3, +8)