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1、 第2章 结构简化与机动分析2.1 绪论结构力学研究对象经典的结构力学也称狭义结构力学，主要研究由杆件组成的体系（杆件系统），更多涉及平面杆系。若该体系(或其中某些构件)能承担荷载，并起传力的骨架作用，则称为结构。所谓杆件是指可以当作一维构件计算的三维物体，包括梁、柱、链杆、曲杆、转轴等等，杆的横截面尺寸比长度小得多。广义结构力学除了研究可变形的杆件体系外，还包括可变形的连续体，如平板、壳体、块体等等。所谓“壳”是指可以当作二维曲面弹性体计算的三维物体，壳的横截面的厚度比曲面横展尺寸小得多。“板”是指曲率为零的平壳；但实际上平板形变后都成为有曲率的壳体。而堤坝、地基等实体结构的三维尺寸差异不大
2、，应作为空间问题考虑，某些特殊情况可以简化为平面问题处理。结构向复杂化系统发展有两个特点：一是简单的梁杆构件组成越来越复杂的杆件系统，未知量成千上万；另一方面则发展成复杂的构件、板壳及其组合系统。因此现代广义结构力学所研究的对象已大大超出了狭义结构力学的范畴。 结构计算简图计算简图由实际结构简化抽象而成，取杆件轴线，或板壳中面，或块体轮廓加上结构内部的结点、结线联系，或外部的支杆、支座等边界约束，并考虑简化或分配的荷载，构成力学计算模型。（1）联系（约束）结点（内部联系）分铰结点、刚结点和组合结点。支座（外部约束）分固定（或活动）铰支座、固定端支座、滑动支座、弹簧支座。（2）荷载类型集中荷载和
3、分布荷载（各包括力或力偶），称“主动力”，往往是已知的外力，连续体中的分布荷载有面力和体力之分。为了平衡主动力，支座必然产生约束反力，称“被动力”，一般是未知的外力。当取分离体研究时，截面内力或内部联系中的内力可能暴露成外力，视为某种约束力来求解。（3）内力素为了承受和传递荷载，构件内部产生的作用力，称“内力” 。内力元素一般分为四种：轴力（N）、剪力（Q）、扭矩（T）、弯矩（M）；与之相应的变形有轴向拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲或各种组合形式。在平面杆件体系中只有轴力、剪力、弯矩，而扭矩为面外力。但作为内力集度的应力则只有垂直于截面的正应力（）和截面上平行于截面的剪应力（）两种分量。它们的定义
4、可参考材料力学和弹性力学的规定。结构类型一般分杆件结构、板壳结构、块体结构（图2.1.1）。常见的杆件结构（包括薄壁杆件结构）有：梁（杆轴为直线或虽为曲杆但主要受弯的结构）、拱（由曲杆组成，仅在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构）、桁架（由等截面直杆理想铰结形成、仅在结点处受荷载作用的结构）、刚架（由等直杆刚结或部分刚结、部分组合结点连接而成的结构）及组合结构（部分杆件属桁架杆、索或拱，另一部分又属于受弯的梁式杆的结构）。它们既可以是静定结构，也可以是超静定结构。后者内力仅由平衡条件尚不能确定，须补充变形条件。图2.1.1 结构分类根据结构轴线（面）和外力的空间位置，结构可分为空间结构和平面结
5、构。实际工程结构都是空间结构，但有些可简化、分解为平面结构（或平面问题）来处理。平面结构各杆轴及外力均在同一平面内，不出现扭转或斜弯曲状态。2.2 实际结构体系的简化实际结构是很复杂的，在对实际结构（如高层建筑、大跨度桥梁、大型水工结构）进行力学分析和计算之前必须加以简化，用一个简化图形（结构计算简图）来代替实际结构，略其次要细节，显示其基本特点，作为力学计算的基础。这一过程通常称为力学建模。结构计算简图的选择经历一个复杂的过程，需要力学知识、结构知识、工程实践经验和洞察力，经过科学抽象、实验论证，根据实际受力、变形规律等主要因素，对结构进行合理简化。它不仅与结构的种类、功能有关，而且与作用在
6、结构上的荷载、计算精度要求、结构构件的刚度比、安装顺序、实际运营状态及其它指标有关。计算简图的选择可能因计算状态（是考虑强度或刚度，计算稳定或振动，还是钢筋混凝土抗裂验算）而异，也依赖于所要采用的计算理论和计算方法，方能完成结构构件线性或非线性的应力和应变状态分析。实用上可以参考同类工程实例。对实际结构体系主要进行如下的简化6。 结构整体的简化除了具有明显空间特征的结构外，在多数情况下，把实际的空间结构（忽略次要的空间约束）分解为平面结构。对于沿长度方向结构的横截面保持不变的柱形结构，如隧洞、水管、厂房结构（图2.2.1），可作两相邻横截面截取平面结构（切片）计算。对于多跨多层的空间刚架，根据
7、纵横向刚度和荷载（风载、地震力、重力等），截取纵向或横向的平面刚架来分析（图2.2.2）。若空间结构是由几种不同类型的平面结构组成（如框剪结构），在一定条件下可以把各类平面结构合成一个总的平面结构，并算出每类平面结构所分配的荷载，分别计算每类平面结构（如图2.2.3所示）。 图2.2.1 直墙拱（隧洞） 图2.2.2 多跨多层空间刚架图2.2.3 框架剪力墙结构 杆件的简化除了短杆深梁外，杆件用其轴线表示，杆件之间的连接区用结点表示，并由此组成杆件系统（杆系内部结构）。杆长用结点间的距离表示，并将荷载作用点转移到杆件的轴线上。对于微弯、微折或格构式杆件常以实体直杆代替（图2.2.4）。一些变截
8、面杆件（如斜杆刚架），可逐杆逐段取为等截面，杆轴线取平行于某侧平直表面（图2.2.5）。在计算刚架的位移时，忽略轴向变形的影响（即抗拉压刚度无穷大）；强梁弱柱时，在水平荷载作用下的横梁刚度也常假设为无穷大，如图2.2.6所示。 杆件间连接的简化杆件间的连接区简化为杆轴线的汇交点（称结点），杆件连接理想化为铰结点、刚结点和组合结点。各杆在铰结点处互不分离，但可以相互转动（如木屋架的结点）；各杆在刚结点处既不能相对移动，也不能相对转动，因此相互间的作用除了力以外还有力偶（如现浇钢筋混凝土结点）。组合结点即部分杆件之间属铰结点，另部分杆件之间属刚结点（有时也称半铰结点或半刚结点，如图2.2.7a所示
9、）。图2.2.4 厂房排架 图2.2.5 斜腿刚架 图2.2.6 剪切型刚架当工程结构中杆件接合部加腋，结合区尺寸较大，刚度增大的影响不可忽略时，常将各杆端进入结合区的一段视为刚性段（称为刚域），用有限元法分析时，将具有刚域杆件作为一个单元，首先建立单元杆端位移（杆端力）和弹性段杆端位移（杆端力）之间的转换关系，然后利用转换关系，由弹性段的刚度方程推出具有刚域单元的刚度矩阵和等效结点荷载，如图2.2.8所示。在确定结点简图时，除要考虑结点的构造情况外，还要考虑结构的几何组成情况（详见2.3机动分析）。例如工程中的钢桁架和钢筋混凝土桁架，虽然从结点构造上看接近于刚结点，但其受力状态却与一般刚架不
10、同，因为其几何构造是桁架，几何不变性不依靠结点的刚性，因此结点处弯矩很小。也就是说，轴力是主要的，弯曲内力是次要的，把各结点简化为铰结点，按理想桁架计算主要内力是合理的。但空腹梁则不同，如果把所有刚结点都改为铰结点，则不能维持几何不变，其承载性能依赖于结点的刚性，所以结点必须取为刚结点，按刚架计算，如图2.2.9所示。图2.2.7 组合结点与组合结构 图2.2.8 具有刚域的结构 图2.2.9 结点构造与几何组成 结构与基础间连接的简化结构与基础的连接区简化为支座，按其受力特征分为五种：活动铰支座（滚轴支座），固定铰支座，定向支座（滑动支座），固定（端）支座和弹性（弹簧）支座，前四种支座在理论
11、力学中出现过。弹性支座在提供反力的同时产生相应的位移，反力与位移的比值保持不变，称为弹性支座的刚度系数。弹性支座既可提供移动约束，也可提供转动约束。当支座刚度与结构刚度相近时，宜简化为弹性支座。当结构某一部分承受荷载时（如研究结构稳定问题），其相邻部分可看作是该部分的弹性支承，支座的刚度取决于相邻部分的刚度（如将斜拉桥的斜拉索简化为弹簧支座）。当支座刚度远大于或远小于该部分的刚度时，弹性支座则向前四种理想支座转化，如图2.2.10所示。图2.2.10 弹性支座与理想支座 荷载的简化结构承受的荷载分为体积力（结构的自重或惯性力）和表面力两大类，都作用于杆件轴线上，并简化为分布荷载和集中荷载。2.
12、3 机动分析及计算机方法对于由结点连接而成的杆件体系，要判定它是能承载的结构（几何不变体系，常见于土木工程），还是能运动的机构（几何可变体系，常用于机械工程），必须通过几何构造分析（也称机动分析），了解结构的组成规律，才能正确选取结构及其计算简图，进一步分析结构的受力和变形。 机动法在分析杆系结构组成时，主要关注其几何形状和位置的稳定，忽略杆件正常承载时的微小变形，因而把所有杆件视为刚体（平面体系称为刚片）。根据三边定长的三角形形状惟一的几何特性，建立三个简单的判定规则（实质上归结为一个三刚片规则，或称三角形规则）。1. 三刚片规则 三个刚片用三个不共线单铰两两相连可组成静定结构（几何不变体系
13、，且无多余约束，如三铰结构）。2. 两刚片规则 两个刚片用一个单铰和一个不通过铰的链杆相连可构成静定结构（当刚片为一直杆时，称作梁式结构）。或者说，两刚片用三根既不平行也不交于一点的链杆相连构成静定结构（即无多余约束的几何不变体系）。3. 二元体规则 在任意一个体系上增加或减少二元体（在体系上用两根不共线的链杆连接一个新结点的构造称为二元体）都不会改变原有体系的几何构造性质。若在一个结构（几何不变体系或刚片）上，增加二元体可以组成主从结构（如多跨静定梁），原结构部分称基本部分，后增加部分称附属部分。附属部分的几何不变性依赖于基本部分，因此附属部分向基本部分传力是主从结构的特点。机动分析的技巧：
14、a) 灵活选取刚片，并逐步扩大刚片。b) 拆除二元体或取内部体系，简化分析对象。c) 利用约束的等效代换以及刚片与链杆的互换。d) 利用虚实铰、无穷远铰之间的转换。杆系几何可变性分析，实质上是刚体体系的运动可能性分析，因此可以联系理论力学中运动学刚体平面运动速度瞬心知识，以运动的思路分析存在虚铰（也称瞬铰）的体系几何可变性。无穷远处虚铰的概念与应用较难理解与掌握，下面总结出三个较为方便的判定规则7。1. 一铰在无穷远，且组成无穷远虚铰的两平行链杆与另二铰连线不平行，体系为几何不变；若平行，则瞬变；若平行且等长，则为常变（如图2.3.1a）。2. 两铰在无穷远，且组成二无穷远虚铰的两对平行链杆互
15、不平行，体系为几何不变；若相互平行，则为瞬变；若四杆平行且等长，则为常变（如图2.3.1b）。 3. 三铰均无穷远时，体系瞬变；若三对同侧平行链杆各自等长，则为常变（如图2.3.1c）。图2.3.1 三刚片虚铰无穷远分析零载法对于复杂体系，当用简单组成规则难以奏效时，可采用其它方法，如零载法8。零载法是以静定结构的静力解答惟一性为根据建立的静力分析方法，只用于计算自由度W=0的体系，可以从零载下是否有非零的内力存在来判定它是否几何不变。零载法不能进一步区分体系是几何常变还是瞬变（一般也无需区分），而统称几何可变体系（这种杆件体系不应选作结构）。对于存在非二力杆（如复链杆）的体系，由于要考虑剪力
16、与弯矩作用，可能使零载法变得难以操作。分析示例1：试用零载法对图2.3.2所示体系进行几何构造分析。 图2.3.2 示例1图 图2.3.3 示例2图解：（1）计算自由度： W=2jbr212204 （注：该公式适用于链杆体系，其中：j表示结点数；b表示链杆数；r表示支杆数。）（2）用零载法分析：在零荷载作用下，取整体考虑，由X=0，得HA=0。利用体系对称性，有SDE=SDF 。由D结点（K形结点）分析可得SDE=SDF,故SDE=SDF=0，由T形结点和L形结点判定零杆，SGE=SGH=SGC=0和SGI=SIH=0，于是SEC=SAE=SAG=SHD=0，即左半部杆力和反力都为零。由对称可
17、知，整个体系内力、反力等于零被唯一确定，故体系为几何不变，且无多余联系。分析示例2：试用零载法对图2.3.3a所示体系进行几何构造分析。解：（1）计算自由度： W=3m2hr31722270 （注：该公式中，m表示刚片数；h表示单铰数，复铰需折算成单铰；r表示支座链杆数，即支杆数。）(2) 用零载法分析：设在零荷载下，链杆GF内力有非零解（设为压力），依次取结点G、H、K、D分析，可知各链杆HG、KH、DK均为压杆（且水平分力都相等），各竖杆也为压杆（因为靠近拱脚的链杆比靠近拱顶的链杆倾角更大），左半跨也有同样的分析结果。截断竖杆，隔离CB段和AC段（图2.3.3b、c），分别对B点和A点取矩
18、，欲使MB=0和MA=0同时成立，竖杆不能全为压杆，与假设产生矛盾。即体系在零荷载下的内力与反力不存在非零解，只有唯一的零解答，因此体系为几何不变体系，且无多余联系。 计算机分析法1. 计算机零载法分析（1）体系几何可变性判据对于任一平面体系，刚度方程为 P=KU，若荷载向量P=0，则 KU=0， 其中，K为体系的总刚度矩阵，U为对应的结点位移列阵。体系内力有唯一零解的条件是总刚度矩阵K的行列式的值不为零，即 。若满足该式，则体系是几何不变的，否则就是几何可变，包括常变和瞬变，还需要进一步判别。（2）几何常变与瞬变的判据几何常变体系是存在实际自由度（也存在计算自由度）的体系。若仅改变其结点的坐
19、标位置，是不能改变其几何可变性的。而瞬变体系是具备构成几何不变条件的（计算自由度为零），只是其结点几何位置的特殊性使其成为几何可变。因此只要在改变其结点坐标位置后，观察D值是否由零变成非零，即可判别瞬变与常变。（3）计算机编程如同矩阵位移法的处理步骤，利用结构静力分析程序，集成总刚度矩阵。在输入基本数据时，保留各结点的原始坐标值备用，若D0，则体系几何不变；若D=0，则对每一结点循环，依次改变各结点坐标，重新集成总刚并计算D值，若变为非零，则体系瞬变；若仍为零，则体系为常变。由于结点的复杂性，必须提供两端刚结（或铰结），一端刚结（铰接）和另一端铰结（刚结）等四种单元刚度矩阵。计算D值时，可用全
20、主元消去法，将总刚化为上三角阵，则其行列式的值等于主对角线元素的乘积。因此总刚主对角线元素为零（不正定）或消元过程中发现主元有零者，体系即为几何常变。 2. 计算机有限（单）元法分析9 （1）单元分析有限单元法作平面体系几何构造分析时，同样不考虑杆件的变形，将各杆视为刚体单元，每端结点定义三个结点位移分量（u,v,）。由于单元为刚体，六个结点位移分量中只有三个是独立的。利用结点坐标为单元的六个结点位移分量提供了三个约束，表达为单元几何约束方程。结点位移分量的几何约束方程只与单元的长度及方位角有关（即只与单元两结点的相对位置有关），从而构造出单元几何约束矩阵。与一般有限元法中的单元刚度矩阵不同，
21、单元几何约束矩阵不一定是方阵。单元坐标变换矩阵T，同一般有限元法。 （2.3.1）（2）整体分析集成整体几何约束方程为 GD=0 （2.3.2）其中，G称为整体几何约束矩阵，D为整体结点位移列阵。与有限元法中的刚度集成法不同，集成G时无须对系数进行累加，只须矩阵列对应即可。当给定约束时，则引入支承条件，删去G中的相应列和D中的相应行即可。（3）几何可变性分析通过对给定约束条件处理之后的方程阶数及秩的大小分析，即可确定体系的几何不变性和静定性。在M行N列的G矩阵中，N是结点位移的数目，M是几何约束方程的个数，而r则是独立的几何约束方程的个数，rmin(M,N),具有唯一平凡解D=0的充要条件是r
22、=N.此时，体系的自由度为零，是几何不变体系。若M=r，则所有M个约束都是独立的、必要的约束；若Mr，则表明在M个约束中只有r个约束是彼此独立的，因此有M-r个多余约束。若MN（即行多于列），则由于rN而有Mr，此体系必有多余约束。若rN，则独立的约束数目少于结点位移的数目，体系几何可变。令m=N-r，m为体系的自由度数。此时存在m个线性无关的基础解，构成一个基础解系，其线性组合构成无穷多组解。得到m个线性无关的基础解，亦即得到体系的m个运动模态。令体系按m个运动模态发生微小变形，在此新的位置上重新计算G,若微小运动后体系自由度m,=0，则原体系为瞬变体系；若m,=m，则体系常变；若0m,m，
23、则体系部分瞬变、部分常变。 （4）示例分析 如图2.3.4所示的二元体，假设两单元长均为L，点1和点3与地基铰接，G矩阵和D矩阵如下： （2.3.3）消去（2.3.3）式中与u1,v1,u3和v3对应的G矩阵的列及D列阵中的行，并利用1=2，3=2，简化整体几何约束方程为 （2.3.4）由（D0），可得sin(2-1)= 0，即2=1k ( k=0,1,2,)时，几何可变。当21k时，（D=0），体系几何不变。进一步分析几何可变性，设1=0，考虑情况I: k=0,2=1=0时，由式（2.3.4）解出u2=0，1=v2/L，3= - v2/L，可见结点2可作竖直运动（如图2.3.5a所示），但微
24、小运动后21，即二次分析可知体系为几何不变，因此情况I对应瞬变体系。对于情况：k=1，2=1+=，由式（2.3.4）解出u2=0，1=2=v2/L=,发生微小变形后，1=，2=+，仍有2=1+，因此情况对应常变体系(如图2.3.5b所示)。 图2.3.4 有限元几何分析简例 图2.3.5 二元体几何可变性当杆系较为复杂时宜编制程序，由计算机分析。图2.3.6a、b所示两个体系均为无多余约束的几何不变体系，但用机动法或零载法却很难得到该结果。 图2.3.6 计算机分析法应用 网架几何不变性分析 网架要能承载同样必须是几何不变体系，但许多型式的网架结构本身内部是几何可变体系，只有加上适当的支座或屋
25、面板约束后才成为一个几何不变体系。因此有必要对网架进行机动分析。1. 网架几何不变的必要条件网架是铰接的空间杆系结构，其任一节点为空间简单铰时有三个自由度，而一个刚体在空间有六个自由度。对于具有J个节点，m根杆件的网架，支承于具有r根约束链杆的支座上时，其几何不变的必要条件可由计算自由度表达为 （2.3.5）若将网架作为一个刚体考虑，其最少的支座约束链杆为6根，即r6。若仅考虑网架内部几何可变性，则其计算自由度为 W=3Jm6（2.3.6）当m=3J-r时，可能为静定结构；当 m3J-r时，可能为超静定结构；当 m3J-r时，为几何可变体系。当W=0时，网架杆件数恰好满足其内部几何不变的必要条
26、件；当 W0，则内部有多余杆件；当 W0，则内部几何可变。2. 网架几何不变的充分条件如同评价平面杆系的几何不变性是基于三角形的几何不变一样，分析空间网架结构整体几何不变的充分条件，也是基于组成网架几何不变的基本单元“三角锥”。以此为基础，通过三根不共面的杆件交出一个新结点所构成的网架也为几何不变体系。此外，当网架杆系组成的形体是由三角形界面组成的凸多面体时，它也是几何不变的。由此可使网架几何不变问题变成平面问题进行分析。图2.3.7a、b、c示出几种几何可变单元，可通过加设内部杆件或外部支承链杆约束，使其转化为几何不变体系。 图2.3.7 几何可变单元的转化经过机动分析，可把几何不变的网架体系区分为“自约结构体系”（内部几何不变）和“他约结构体系”。蜂窝形三角锥网架属他约结构体系，除在各支座节点必须设置一个竖向链杆外，根据几何不变的必要条件，还必须布置与支座节点数相同的水平链杆。 3. 计算机机动分析 列出网架结构的原始总刚度矩阵K，引入边界约束条件修改后，若其行列式K0，则K非奇异，可唯一确定网架节点位移和杆力的解，网架为几何不变体系。若其行列式的值仍为零，则网架为几何可变体系。有时虽然K0，但发现最后计算结果异常，如挠度特别大，转动不合理等，还有可能混入瞬变体系，应在网架体系中剔除。10