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1、高中必修数学公式含经典解题技巧高中数学常用公式及结论 ,AA1 元素与集合的关系:,. xAxCA,xCAxA,UUnnn221,21,2 集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有,aaa12nn22,个. 3 二次函数的解析式的三种形式: 2(1) 一般式; fxaxbxca()(0),，,2(,)hk(2) 顶点式;(当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式) fxaa()()(0),，,xhk(3) 零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设fxaxx()()()(0),xxa(,0),(,0)xxx1212为此式) 2ykxd,，(4)切线式:;(当已知抛物线与直线相切
2、且切点的fxaxa()()(),，,xkxd，),00时，设为此式) 横坐标为x04 真值表:同真且真，同假或假 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 n至多有()个 n,1小于 不小于 至多有个 n至少有()个 n，1对所有，成立 存在某，不成立 或 且 p，p，qqxx对任何，不成立 存在某，成立 且 或 p，p，qqxx6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 逆命题 若p则q 若q则p 否命题 逆否命题 若,则,q 若
3、,？则, pq,充要条件: (1)、，则p是q的充分条件，反之，q是p的必要条件; pq,(2)、，且q ? p，则P是q的充分不必要条件; qp,(3)、p ? p ，且，则P是q的必要不充分条件; (4)、p ? p ，且q ? p，则P是q的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性: xxDxx,且1212,增函数:数学符号表述是:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有 fxfx()(),12,成立，则就叫f(x)在xD上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。 xxDxx,且1212,减函数:数学符号表述是:设f(x)在xD上有定义，若对任意的，都有 - 1 - fxfx()(),12
4、,成立，则就叫f(x)在xD上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。 单调性性质:(1)、增+增=增;(2)、减+减=减; (3)、增-减=增;(4)、减-增=减; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性: 单调性 内层函数 减 增 增 减 外层函数 减 增 减 增 复合函数 增 增 减 减 等价关系: (1)设xxabxx,那么 ,1212f(x),f(x)12,()()()0xxfxfx,0,f(x)在a,b上是增函数; ,1212x,x12f(x),f(x)12()()()0xxfxfx,0,f(x)在,a,b上是减函数. ,1
5、212x,x12,y,f(x)f(x),0f(x)f(x),0f(x)(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数;如果，则为减函数. 8函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下，若有，则f(x)就是奇函数。 fxfxfxfx()()()()0,，,或性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称; (2)、奇函数在x0和x0和x0上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系:(1)、奇?偶=奇;(2)、奇?奇=偶;(3)、偶?偶=偶;(4)、奇?奇=奇(例外是偶) (5)、偶?偶=偶;(6)、奇?偶=非奇非偶 9函数的周期性: 对函数f(x)，
6、若存在T0，使得f(x+T)=f(x)，则就叫f(x)是周期函数，其中，T是f(x)的,一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: mn,(1)、f(x+T)= - f(x)，此时周期为2T ;(2)、 f(x+m)=f(x+n)，此时周期为2 ; 1fxm()，,(3)、，此时周期为2m 。 fx()10常见函数的图像: - 2 - yyyyy=logxxay=ak0a00a10a0a1y=kx+b2xoy=ax+bx+c a，by,f(x)f(x，a),f(b,x)f(x)11 对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个x,x,R2ba,y,f(x，a)y,f(b,x)函数与 的图象关于直
7、线对称. x,212 分数指数幂与根式的性质: m,nmn(，且). (1)n,1amnN,0,aa,m,11,na,(2)(，且). n,1amnN,0,mnmanann3). ()aa,aa,0,nnnn(4)当为奇数时，;当为偶数时，. aa,nnaa,|,aa,0,b13 指数式与对数式的互化式:(0,1,0)aaN, . logNbaN,a指数性质: 10,pmnmna,1 (1)、 (2)、(a,0)(3)、 a,aa,()pamrsrs，nmn(4)、 (5)、 aaaarsQ,(0,)aa,指数函数:指数函数图象都恒过点(0，1) 对数性质: M(1)、 (2)、 loglog
8、log()MNMN，,logloglogMN,aaaaaaNnlogbmnaab,(3)、 (4)、 (5)、 loglogbmb,loglogbb,maaaam对数函数:对数函数图象都恒过点(1，0) (1)、 log0,(0,1),(1,)xaxax,，,或a(2)、 或 log0(0,1)(1,)xax,，,则ax,，,(1,)(0,1)则alogNmlogN,14 对数的换底公式 : (,且,且,). a,0a,1m,0m,1 N,0alogamlogNaaN, 对数恒等式:(,且,). a,0a,1N,0 nn推论 (,且,). loglogbb,a,0a,1N,0 maam15对数
9、的四则运算法则:若a,0，a?1，M,0，N,0，则 M(1); (2) ; log()loglogMNMN,，logloglog,MNaaaaaaNnnnloglog()MnMnR,(3); (4) 。 loglog(,)NNnmR,maaaam- 3 - p,016 平均增长率的问题(负增长时): x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有. pyyNp,，(1)x17 数列: 等差数列: 通项公式: (1) ，其中为首项，d为公差，n为项数，为末项。 aand,，,(1)aan11n(2)推广: aankd,，,()nk(3) (注:该公式对任意数列都适用) aSS
10、n,(2)nnn,1naa()，1n前n项和: (1) ;其中为首项，n为项数，为末项。 aaS,1nn2nn(1),2) (Snad,，n12(3) (注:该公式对任意数列都适用) SSan,，,(2)nnn,14) (注:该公式对任意数列都适用) (Saaa,，nn12常用性质:(1)、若m+n=p+q ，则有 ; aaaa，,，mnpq注:若的等差中项，则有2n、m、p成等差。 aaa是,aaa,，,mnpmnpabab,(2)、若、为等差数列，则为等差数列。 ,nnnna(3)、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。 SSSSS,S,nnmmmmm232(4)、 ; aqapa,0
11、则pqpq，n(n，1)(5) 1+2+3+n= 2等比数列: ann,1*1,()aaqqnN通项公式:(1) ，其中为首项，n为项数，q为公比。 an11qnk,(2)推广:aaq, nk(3) (注:该公式对任意数列都适用) aSSn,(2)nnn,1前n项和:(1) (注:该公式对任意数列都适用) SSan,，,(2)nnn,1(2) (注:该公式对任意数列都适用) Saaa,，nn12naq(1),1,n (3) S,aq(1),n1(1)q,1,q,- 4 - 常用性质:(1)、若m+n=p+q ，则 ; aaaa,mnpq2注:若的等比中项，则有 n、m、p成等比。 aaa,aa
12、a是,mnpmnp(2)、若、b为等比数列，则ab,为等比数列。 a,nnnn(3)，成等比数列 SS,SS,Sk2kk3k2k23n-1 错位相减求和: S=1+2x+3x+4x+ ? +nx ? n233n xS=0+ x+2x+3x+4x+ ? +nx ? n23n-1n ?,?得(1-x)S = 1+x+x+x+ ? +x -nx nn(n，1) ?当x=1时，在原式中S=1+2+3+4 + ? +n= n2n1,xn(1,x)S,nxn1,x?当x,1时， nnnn1,xnx1,(1，n)x，nx？S,n221,x(1,x)(1,x)1111111,(,),n(n，2)2nn，2n(
13、n，1)nn，1 裂项相消求和: 11111,n，1,n,(,)n，1，n(2n,1)(2n，1)22n,12n，11 ,n(n，1),n(n，1)(n，2),(n,1)n(n，1)n3abb(1)，x,18分期付款(按揭贷款) :每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). bann(1)1，,b19三角不等式: ,(1)若，则sintanxxx,. x,(0,)2,(2) 若，则. x,(0,)1sincos2,，,xx2|sin|cos|1xx，,(3) . ,sin22sincos1,，,20 同角三角函数的基本关系式 :，tan,=， cos,21 正弦、余弦的诱导公式(函数名不变，符
14、号看象限;函数名改变，符号看象限) 22 和角与差角公式 sin()sincoscossin,cos()coscossinsin, tantan,tan(), ,1tantan,b22(,)abab，sin(),absincos,，= (辅助角,所在象限由点的象限决定,). tan,a23 二倍角公式及降幂公式 2tan,sin2sincos,. ,2，1tan,21tan,2222cos2cossin2cos112sin,. 21tan，,- 5 - 2tan,sin21cos2,. ,tan2tan,2,1tan1cos2sin2，,24 三角函数的周期公式 yx,，sin(),yx,，c
15、os(),函数，x?R及函数，x?R(A,为常数，且A?0)的周期,2,yx,，tan(),TT;函数，(A,为常数，且A?0)的周期. ,xkkZ,，,|2,三角函数的图像: yyy=sinxy=cosx11-/23/2x-o-3/2/2x-2o-3/2-/22-/2-23/22-1-1 25 正弦定理 : abc(R为外接圆的半径). ,ABC,2RsinsinsinABC,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin ,abcABC:sin:sin:sin26余弦定理: 222abcbcA,，,2cos; 222bcacaB,，,2cos; 222cababC,，,2cos. 27面积
16、定理: 111(1)(分别表示a、b、c边上的高). Sahbhch,hhh、abcabc222111(2). SabCbcAcaB,sinsinsin222122(3). SOAOBOAOB,(|)(),OAB2，,abc2S斜边,rr, ,内切圆直角内切圆abc，228三角形内角和定理 : CAB,，ABCCAB，,，,(),，222()CAB,在?ABC中，有. ,22229实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么: (1) 结合律:()=() ; aa(2)第一分配律:(+) =+; aaa(3)第二分配律:(+)=+. aabba(b,c),(a,b)c(4) cos,30 a与的数
17、量积(或内积):a?=|a|。 bbb31平面向量的坐标运算: (1)设a=,=，则a+=. (,)xy(,)xy(,)xxyy，bb11221212(2)设a=(,)xy,=，则a-=. (,)xy(,)xxyy,bb11221212ABOBOAxxyy,(,) (3)设A，B,则. (,)xy(,)xy21211122(,),xyR,(,),xy,(4)设a=，则a=. - 6 - (5)设=,=，则?=. a(,)xya()xxyy，(,)xybb1122121232 两向量的夹角公式: abxxyy,，1212(=,=). cos,a(,)xy(,)xyb11222222|ab,xyx
18、y，,，112233 平面两点间的距离公式: 22|ABABAB, =(A，B). d(,)xy(,)xy,，,()()xxyyAB,1122212134 向量的平行与垂直 :设=,=，且，则: a(,)xy(,)xy,bb01122|= .(交叉相乘差为零) aa,xyxy0,bb1221, () ?=0.(对应相乘和为零) aaa,，,xxyy0,bb01212Pxy(,)35 线段的定比分公式 :设，是线段的分点,是实数，且PPPP,，,PPPxy(,)Pxy(,)1211122212，,xx,12,x,，,OPOP1,，1,12,则OPOPtOPtOP,，,(1)(). ,t,12，y
19、y，1,，1,12,y,，1,36三角形的重心坐标公式: ?ABC三个顶点的坐标分别为、,则?ABCB(x,y)C(x,y)A(x,y)112233xxxyyy，123123的重心的坐标是. G(,)3337三角形五“心”向量形式的充要条件: ABC,abc,设O为,ABC所在平面上一点，角所对边长分别为，则 222(1)O为,ABC的外心. ,OAOBOC(2)为的重心. O,ABC,，,OAOBOC0(3)O为,ABC的垂心. ,OAOBOBOCOCOA(4)O为,ABC的内心. ,，,aOAbOBcOC0，A(5)O为,ABC的的旁心. ,，aOAbOBcOC38常用不等式:(解题最后:
20、综上所述，原不等式的解集是) 22abR,abab，,2(1)(当且仅当a,b时取“=”号)( ,ab，,ab(2)(当且仅当a,b时取“=”号)( abR,2333(3) abcabcabc，,3(0,0,0).a,b,a，b,a，b(4). 222ababab，(5)(当且仅当a,b时取“=”号)。 ,abab，22222,a，b，c,ab，bc，ca(6) a、b、cR，(当且仅当时，取等号) a,b,c22222(7)柯西不等式 ()()(),.abcdacbdabcdR，,，,39极值定理:已知x,y都是正数，则有 2px，y(1)若积xy是定值p，则当x,y时和有最小值; 12x，
21、ys(2)若和是定值，则当x,y时积xy有最大值. s4，axby，,1(3)已知，若则有 abxyR,1111byax2，,，,，,，,，()()2()axbyabababab。 xyxyxy- 7 - ab，,1(4)已知，若则有 abxyR,xyabaybx2xyxyabababab，,，,，,，,，()()2() xyxy222axbxc，40 一元二次不等式，如果与同号，则axbxc，,0(0)或(0,40)abac,a2axbxc，其解集在两根之外;如果与异号，则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外，异a号两根之间.即: ; xxxxxxxxx,()()0()121212. xx
22、xxxxxxxx,()()0()或12121241 含有绝对值的不等式 :当a 0时，有 22xaxaaxa,. 22xaxaxa,或. xa,42 斜率公式 : yy,21k,(、). Pxy(,)Pxy(,)111222xx,2143 直线的五种方程: (1)点斜式 (直线过点，且斜率为，不适用于斜率不存在的直线) yykxx,()lkPxy(,)11111ykxb,，(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). lyyxx,11(3)两点式 ,()(、 (). yy,xxyy,Pxy(,)Pxy(,)121112221212yyxx,2121两点式的推广:(无任何限制条件) ()()()(
23、)0xxyyyyxx,211211xy(4) 截距式 (ab、分别为直线的横、纵截距，ab,00、) ，,1abAxByC，,0(5)一般式 (其中A、B不同时为0). 44共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为lAxByC:0，,lAxByC:0，,11112222(除)，其中是待定的系数( ()()0AxByCAxByC，,l111222245夹角公式: kk,21tan|,(1),. (，,) lykxb:,，lykxb:,，kk,1111222121kk，21ABAB,1221tan|,(2).(,). ,lAxByC:0，,lAxByC:0，,AABB，,011112222
24、1212AABB，1212,直线时，直线l与l的夹角是. ll,1212246 到的角公式: ll12kk,21tan,(1).(，,) lykxb:,，lykxb:,，kk,1111222121kk，21ABAB,1221tan,(2).(lAxByC:0，,lAxByC:0，,). AABB，,0111122221212AABB，1212,直线时，直线l到l的角是. ll,12122|AxByC，00AxByC，,0d,47 点到直线的距离 :(点,直线l:). Pxy(,)0022AB，48 圆的方程: - 8 - 222(1)圆的标准方程 . ()()xaybr,，,2222DEF，,
25、4(2)圆的一般方程 (,0). xyDxEyF，,0DE22DEF，,4当 =0 时，方程表示一个点 (,),2222DEF，,40当时，方程不表示任何图形。 DE12222DEF，,40当时，方程表示一个圆。圆心， (,),RDEF,，,42222222249点与圆的位置关系:点与圆的位置关系: Pxy(,)(x,a)，(y,b),rdaxby,，,()()0000点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内. dr,dr,dr,50直线与圆的位置关系: Aa，Bb，C222Ax，By，C,0直线与圆的位置关系有三种(): d,(x,a)，(y,b),r22A，B;. d,r,相离,0d,r,相切,
26、0d,r,相交,051 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OO,d，则: 121212; d,r，r,外离,4条公切线12; d,r，r,外切,3条公切线12r,r,d,r，r,相交,2条公切线; 1212d,r,r,内切,1条公切线; 120,d,r,r,内含,无公切线. 122bacb4,22(0)a,yaxbxcax,，,，()52二次函数的图象是抛物线: 24aa22bacb4,bacb41,，(1)顶点坐标为(,),(,),;(2)焦点的坐标为; 24aa24aa241acb,(3)准线方程是y,. 4a53 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 ABx
27、xyy,，,()()12122222或 ABkxxxxxxyyco,，,，,，(1)()4|1tan|1t,21211212y,kx，b,2ax，bx，c,0(弦端点A，由方程 消去y得到 (x,y),B(x,y),1122F(x,y),0,2AB,0,为直线的倾斜角，为直线的斜率，. k|()4xxxxxx,，,12121254证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行. 55证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平
28、行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 56证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直;(3) 转化为两平面的法向量平行。 57向量的直角坐标运算: 设a,，,则: (,)aaa(,)bbbb123123(1) a，,(,)ababab，;(2) a,(,)ababab,; bb112233112233(3)a, (?R); (4) a?,; (,),aaaababab，b123112233- 9 - 58 夹角公式: ababab，112233,，,，则. 设a(,)aaa(,)bbbcos,abb123123222222aaabbb，12
29、312359 异面直线间的距离 : |CDn,(是两异面直线，其公垂向量为，是上任一点，为间的距离). CD、dll,ll,ll,d,n121212|n60立体几何 22Srrl,，,()Srrl,，2(),圆柱表面积 圆锥表面积 圆台表面积 ,Srrrlrl,(),，11台体体积 椎体体积 台体体积 ,VSh,VSh,VSSSSh,，()33423SR,4,球的半径是R， ,( ,VR361 分类计数原理(加法原理):. Nmmm,，12n分步计数原理(乘法原理):. Nmmm,，12n1222262 方差: S,(x,x)，(x,x)，.，(x,x)n12n标准差:方差的算术平方根 63实
30、系数一元二次方程的解 2axbxc，,0实系数一元二次方程， 2b,bbac422,bac40x,bac40?若,则;?若,则xx,; 1,2122a2a2,bac40R?若，它在实数集内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数根2,bbaci(4)2. xbac,(40)2a四、教学重难点：64函数的几个重要性质: 145.286.3加与减（三）2 P81-83?如果函数对于一切x,R，都有或f(2a-x)=f(x)，那么函数，y,fxfa，x,fa,xy,fx上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。的图象关于直线对称. x,a5.圆周角和圆心角的关系:?函数与函数的图象关于直
31、线x,0对称; ，y,fxy,f,xy,0 函数与函数的图象关于直线对称; ，y,fxy,fx84.164.22有趣的图形1 整理复习2函数与函数的图象关于坐标原点对称. ，y,fxy,f,x本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!a65钩函数， y,x，a,0x，,，,，,函数在,a和a,，,上单调递增;在,a,0和
32、0,a上单调递减 66在三角的恒等变形中，角的各种变换 ,，,(,，,),(,)，, ,222,“1”代换;切化弦，弦化切 167弧度制下弧长公式和扇形面积公式 l,r,S,lr扇形268概率统计 （4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）(1)若事件A、B为互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件A、B为相互独立事件,则P(A?B)=P(A)?P(B) ，(3)若事件A、B为对立事件,则P(A)+P(B)=1一般地,， pA,1,PA(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有- 10 - n,kkk率: ， PK,Cp1,pnn69抽样方法: 简单随机抽样(抽签法、随机样数表法),常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取; 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个; 分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。二次函数配方成则抛物线的- 11 -