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1、相交线与平行线专题总结、知识点填空1 .两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角，互为 .2 . 对顶角的性质可概括为： 3 .两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相4 .垂线的性质：过一点 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， 5 .直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 6 .两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中：如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种 关系的一对角叫做 ;如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 ;
2、如果两个 角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角 叫做.7 .在同一平面内，不相交的两条直线互相 同一平面内的两条直线的位置关系只有与两种.8 .平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 .9 .平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：3西条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：.）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 互补，那么这两条直线平行.简单说成：10 .在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 11 .
3、平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成： 西条平行直线被第三条直线所截， 同旁 内角互补.简单说成： .12 .判断一件事情的语句，叫做 命题由 西部分组成. 题设是已知事项，结论是 兔题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是 ，“那么” 后接的部分是.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫 做定理都是真命题.13 .把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫 做平移变换，简称 图形平移的方向不一定是水平的.14 .平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形
4、状与大小完全.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段 二：典型题型训练15 .如图，BC AC,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点A到BC的距离是 ,点B到AC的距离是点A、B两点的距离是 点C到AB的距离是16 .设a、b、c为平面上三条不同直线，若 ab,b/c,则a与c的位置关系是a b,b c,则a与c的位置关系是 a/b,b c,-2 -分线,试判断0D与0E的位置关系，并说明理由.则a与c的位置关系是 L17 .如图，已知 AB、CD、EF 相交于点 O, ABCD, 0G 平分/AOE, ZF0D= 28
5、,求 zCOE、ZAOE ZAOG 的度数.18.如图,AOC与 BOC是邻补角，OD、0E分别是 AOC与 BOC的平19 .如图，AB /DE,试问/B、ZB /BCE有什么关系.ACD解：/B+/E=/BCE 过点 C 作 CF /AB ,则 B (X .AB/DE, AB /CF,ZE= Z(.zB+ZE=Z1 +Z2即/B+/E=/BCE.20 .如图，已知/ 1 =Z2 求证：a/b.直线a/b,求证： 12.21 .阅读理解并在括号内填注理由:如图，已知 AB /CD, Z1 =Z2,试说明EP/FQ.证明：.AB/CD,JVIEB = ZMFD ()24.已知：如图/ 1= Z
6、2, /C=/D,问/A与/F相等吗？试说明理由.又,一/1 = /2 ,.dMEB-Zl =ZMFD -Z2 ,即 ZMEP=Z ( )22 .已知 DB/FG/EC, A 是 FG 上一点，/ ABD = 60 , jACE=36 ,AP 平分/BAC,求：/ BAC的大小；/ PAG的大小.尸D4pf n睚23 .如图，已知 ABC, AD BC于D, E为AB上一点，EF BC 于 F, DGBA交CA 于 G.求证12三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等
7、等均是互相平行的线段.正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何（罗巴切夫斯基几何、 黎曼几何及欧几里得几何），它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面 中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.例1如图118 ,直线a /b,直线AB交a与
8、b于A, B, CA平分/1, CB 平分 / 2,求证：/C=90例 2 如图 1 21 所示,AAi /BA2求/Ai=/Bi+ZA2.八.求证：A, B, C三点在同一条直线上.例6如图129所示.直线l的同侧有三点A, B, C,且AB /l, BC-10 -四，课后思考题例 3 如图 1 26 所示.AE/BD, /1=3 Z2, 72=25 ,求/C.K例 7 如图 130 所示./1= /2, /D=90 0 ,EFLCD.求证：/3=/B.例4求证：三角形内角之和等于 180 0 .国好例5求证：四边形内角和等于 3601 .如图 131 所示.已知 AB/CD, /B=100
9、 0 ,EF平分/BEC, EG2 .如图1 32所示.CD是/ACB的平分线，/ ACB=40,B=700图 1-320参考答案DE/BC.求/EDC 和/BDC 的度数.一：1 .邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直 有且只有垂线段最短 4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行 相交 平行3.如图 133 所示.AB/CD, /BAE=30,DCE=60,EF, EG7.平行这两直线互相平行 8.同位角相等 两直线平行； 内错角相等两 直线平行； 同旁内角互补 两直线平行. 9.平行10.两直线平行 同位角等分/AEC .问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么?相等；两直
10、线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论由已知事项推出的事项题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行垂直 15. 281185916. ODXOE 理由略 17.1 （两直线4,证明：五边形内角和等于 540 0平行，内错角相等） DE/CF （平行于同一直线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等）.18.一/ 1 = 7 2 ,又一/ 2=/ 3 （对顶角相等），/ 1 = / 3, a/b （同位角相等两直线平行）:ab ，/1 = /3（两直线平行，同位角相等）又:/ 2=73 （
11、对顶角相等）1=7 2.19.两直线5.如图134所示.已知CD平分/ACB,且DE/ACCD /EF.求证:平行，同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20.EF 平分/DEB.96 , 12 . 21.Q AD BC, FE BC EFB ADB 90oEF / AD 23 Q DG / BA, 3112.22. ZA =/ F-/ 1 = / DGF （对顶角相等） 又/1=/2，/DGF = /2，DB/ EC（同位角相等，两直线平行）DBA = / C （两直线平行，同位角相等） 又/C=/D ，/DBA = /D ，DF/AC （内错角相等，两直线平行）A =/ F（两直线平行
12、，内错角相等）.例1如图1 18,直线a / b,直线AB交a与b于A, B, CA平分/ 1, CB平分/ 2 ,求证：/ C=90分析 由于a/b, /1, /2是两个同侧内角, 因止匕/ 1+/ 2=1加 .那么! CZ1 + Z2）=90,问题在于如何使与/讨目等，这必须通过埔勘线将；/2转移到。点,为此过C点作直线l ,使l / a（或b）即可通过平行线的性质实现等 角转移.说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a, b被直线AB所截（如图120所示），CA CB分别是/ BAE与/ABF的平分线，若/ C=90 ,问直线a与直线b是否一定平行？”由于这
13、个问题与上述问题非常相似（将条件与结论交换位置），因此，不 妨模仿原问题的解决方法来试解.例2 如图 121 所示，AA/ BA求/A-/B+/A.证过C点作直线l ,使l / a（图1 19）.因为a / b,所以b/ l , 所以/ 1+/ 2=180 （同侧内角互补）. 因为AC平分/1, BCZCAE = -Zb /CBF/2,平分/ 2,所以2-又/ 3=/CAE /4=/ CBF的错角相等），所以/ 3+/ 4=/CAE它 CBF=-(Z1 + Z2)=1x180 =9022分析本题对/A, ZA, /B的大小并没有给出特定的数值，因此，答 案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说
14、，不管/ A, /A, /B 的大小如何，答案应是确定的.我们从图形直观，有理由猜想答案大概 是零，即/ A+/ A=/ B. 猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明.式给我们 一种启发，能不能将/ B一分为二使其每一部分分别等于/ A与/A.这 就引发我们过B点引AA（从而也是BA）的平行线，它将/ B一分为二.囹 1-22推广是一种发展自己思考能力的方法， 有些简单的问题，如果抓住了问 题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况.（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题.问题1如图124所示./ A+/A=/B,问AA与BA是否平行？证 过B
15、引BE/ AA,它将/ABA分成两个角：/ 1, /2（如图122所 示）因为AA/ BA,所以BE/ BA.从而/ 1 = /A, /2=/A（内错角相等）， 所以/ B=/1 + /2=/A+/A,即 /A-/B+/A=0.图 1-24问题2如图125所示.若/ A+/A+/A=/B+/B+/B-1,问 AA与 BA是否平行?这两个问题请同学加以思考.例 3 如图 126所示.AE/ BD, Z 1=3X2, / 2=25 ,说明（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于 AA/BA,它与连接 A, A两点之间的折线段的数目无关，如图 123所示.连接A, A之 间的折线段增加到4条：AB
16、, BA, AB, BA3,仍然有/ A+/ A+/ A3=/ B+/ B.（即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即/A-/ B+/A-/B+/A3=0.进一步可以推广为/ A-/B+/A-/ B + -/&i+/A=0.这时，连结A, A之间的折线段共有n段AB, BA,，B-A（当然，仍 要保持AA / BA）.求/ C.分析 平角为180。.若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中 到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种.证如图127所示，在 ABC中，过A引l / BC,则分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如/1 = /DFC或/AFB
17、若能将/ 1, Z2, /C “集中”到一个顶点处，这是最理想不 过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.解过F至I FG / CB交AB于G贝UZC=Z AFG同位角相等），Z2=Z BFG的错角相等）.因为AE / BD所以/ 1=/ BFA（内错角相等）,ZB=Z 1, / C=/ 2（内错角相等）.显然/1 + /BAC它2=平角，所以 ZA+Z B+/ C=180 .说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边 平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结 论.如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任 何一点处，不过，解法将较
18、为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的 证法.所以/ C=/ AFGW BFA/BFGW 1-/2=3/2-/ 2=2/2=50例5求证：四边形内角和等于360例4求证：三角形内角之和等于180说明（1）运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行 线）的常用技巧.（2）在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简 便的解法：/ 1=/ DFCN C+/ 2,即/C=/ 1-/2=2/ 2=50 .分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合” 在一起使它们之和恰为一个周角. 在添加平行线中，尽可能利用原来的 内角及边，应能减少推理过程.证如图128所示，四边形AB
19、CM,过顶点B弓I BE/ AR BF/ CR 并延长AB, CB到H, G.则有/ A=/ 2（同位角相等），/ D=/ 1（内错角 相等），/1 = /3（同位角相等）.ZC=Z 4（同位角相等），又/ABC理/ B尸/GBH的顶角相等）.由于/ 2+/ 3+/4+/GBH=360,所以/A+/ B+/ C+/ D=360 .说明（1）同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质 不变.（2）总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推 广：三角形内角和=180 =（3-2）X180 ,四边形内角和=360 =2X180 =（4-2）X180 .人们不禁会猜想：五边形内
20、角和二（5-2）X180 =540 ,n边形内角和二（n-2） X180 .这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单.（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以 适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这 是发展人的思维能力的一种重要方法.例6如图1 29所示.直线l的同侧有三点A, B, C,且AB/I , BC/ l .求证：A, B, C三点在同一条直线上.图 1-2Q分析A, B, C三点在同一条直线上可以理解为/ ABC*平角，即只要证 明射线BA与BC所夹的角为180即可，考虑到以直线l上任意一点为 顶点，该点分直线所成
21、的两条射线为边所成的角均为平角， 结合所给平 行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处.证 过B作直线BD,交l于D.因为AB/ l , CB/ l ,所以/1=/ ABD /2=/ CBD的错角相等）.又 / 1+/ 2=180 ,所以 / ABD廿 CBD=180 ,即/ABC=180二平角.A, B, C三点共线.思考 若将问题加以推广： 在 l 的同侧有 n 个点 A1, A2,，Ar-1, An,且有 AiAi+1 / l（i=1 ,2, n-1）.是否还有同样的结论？例 7 如图 130所示./ 1=/ 2, / D=90 , EFCD求证：/ 3=/ B.分析 如果/ 3=Z B,则应需EF/ BC又知/ 1 = 72,则有BC /AD从而，应有EF/AD这一点从条件 EFXCDSZ D=90不 难获得.证因为/ 1=Z2,所以AD/BC（内错角相等，两直线平行).12因为/ D=90及EFXCQ所以AD/EF（同位角相等，两直线平行).所以BC/ EF（平行公理），所以/ 3=/B（两直线平行，同位角相等).